具有臨界指數(shù)和Robin邊界的Kirchhoff方程解的存在性

楊　婧,　蒲志林*，　奉　衛(wèi)

(1. 四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066;　2. 內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 四川 內(nèi)江 641100)

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具有臨界指數(shù)和Robin邊界的Kirchhoff方程解的存在性

楊婧1,蒲志林1*，奉衛(wèi)2

(1. 四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066;2. 內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 四川 內(nèi)江 641100)

摘要：主要研究帶有非線性邊界耗散和臨界指數(shù)的Kirchhoff 方程在t→∞ 時的漸進性態(tài),證明弱解的存在性.首先,利用極大單調(diào)算子的理論證明局部解的存在唯一性,其次用能量等式證明全局解的存在性并給出其變分形式.

關(guān)鍵詞：Robin邊界條件; 臨界指數(shù); 極大單調(diào)算子; 解的存在性; 能量等式; 變分形式

1預備知識

1.1Kirchhoff方程的起源及研究進展考慮帶有非線性阻尼的Kirchhoff波方程

(1)

其中,u=(u1,u2,…,uN)=u(t,x)是一個向量,N≥1.Ω為Rn上的有界區(qū)域,M為函數(shù)M(λ)=a+bγλγ-1,λ≥0,a,b≥0,a+b>0,γ>1.

對于方程(1),當a>0,b≥0為非退化;當a=0,b>0,為退化;當a>0,b=0,則方程為通常所說的半線性波方程[1].

方程(1)起源于對微小振幅的彈性細繩振動的精確研究[2].實際上對于長度L>0的彈性細繩振動的數(shù)學模型的原始方程為

(2)

其中,u(x,t)=u是空間坐標x與時間t的橫向位移,E是Young系數(shù),ρ是細繩的密度,h是振動高度,L為長度,ρ0為初始軸向拉力,δ是阻尼系數(shù),f是外力.當δ=f=0時,Kirchhoff是第一個在研究彈性細繩振動時引入方程(2)的數(shù)學家,因此在他以后的這類波方程被稱為Kirchhoff方程.Kirchhoff方程在數(shù)學物理的許多領(lǐng)域都有重要的意義,對于Kirchhoff波方程的研究已經(jīng)有大量的文章,文獻[3-4]研究了方程

在邊界條件

全局解的存在性和指數(shù)衰減的問題.文獻[5]研究了方程

在Dirichlet邊界條件下時全局吸引子的問題.對于Robin邊界條件下的半線性波方程

文獻[6]研究其弱解的存在性及漸近收斂于一個全局的緊致吸引子.還有不少研究退化的Kirchhoff型方程[7]

在Dirichlet邊界條件下時弱解存在性的問題,而非線性退化的Kirchhoff型方程[8]

在Dirichlet邊界條件下時局部解存在性的問題也有人探討過.但據(jù)我們所知,對于非退化Kirchhoff型波方程在Robin邊界條件下解的存在性問題研究相對較少,本文將研究這一問題.

1.2本文的主要工作在已有文獻的基礎上,探討帶有Robin邊界條件的非退化Kirchhoff波方程解的存在性問題,具體考慮如下非退化具有非線性邊界阻尼的Kirchhoff波方程的初邊值問題

(3)

其中,Ω?R3為有界開集并具有光滑的邊界Γ,u=u(x,t)是Ω×[0,∞)上的實值函數(shù),邊界Γ的單位外法向量為v,?vu為外法向?qū)Ш瘮?shù),而f、g為非線性函數(shù),本文主要討論非退化的情形,即:M=M(λ)=a+bγλγ-1,λ≥0,a>0,b≥0,a+b>0,γ>1.

1.3函數(shù)空間記號令H=L2(Ω),范數(shù)為

令V=H1(Ω),其內(nèi)積為

范數(shù)為

其中

令Wm,p(Ω)={u∈Lp(Ω),Dαu∈Lp(Ω),0≤|α|≤m}范數(shù)為

H的對偶空間為H*,V的對偶空間為V*=H-1(Ω),

令

1.4極大單調(diào)算子理論的一些結(jié)果

定義 1[9]設H是一個Hilbert空間,令B,B1,B2:H→H是非線性算子,有序關(guān)系B2≤B≤B1是指滿足下列關(guān)系

(4)

定義 2設H是一個Hilbert空間,算子B:H→H,單調(diào)指滿足下列關(guān)系

(Bu-Bv,u-v)≥0,

定義 3設H是一個Hilbert空間,算子B:H→H,極大單調(diào)指:對?(x,y)∈H1(Ω)×(H1(Ω)′),若(x-u,y-Bu)≥0,u∈D(B),則必有x∈D(B)且y=Bx.

若B、B1、B2滿足(4)式且B1、B2是極大單調(diào)算子,則B也是極大單調(diào)的.事實上,若B1、B2是極大單調(diào)算子,由定義3知:?(x,y)∈H1(Ω)×(H1(Ω))′.若(x-u1,y-B1u1)≥0,u1∈D(B1),則x∈D(B1)且y=B1x.若(x-u2,y-B2u2)≥0,u2∈D(B2),則x∈D(B2)且y=B2x.

由定義1知:B2≤B≤B1則令

設(x-u,y-Bu)≥0,u∈D(B)有

即

則有

則可知B是極大單調(diào)算子.

2主要結(jié)果及其證明

考慮方程組(3),對f、g、M做如下的假設:

1) 增長限制性條件:對所有的s有f∈C2(R),且|f′(s)|≤c(1+|s|);

5) g(0)=0;

下面先對非線性函數(shù)g進行一些討論.

對s≥2R,運用假設4)和5)有:令k:0～s,μ:0～1,則k=μs,dk=sdμ.

同樣地,對于s∈(-2R,-ζ)有類似的結(jié)論.將這些式子合并在一起得到

(5)

同樣的方法,可得

有

(6)

敘述并證明本文的主要結(jié)果[11-13].

定理 1假設(u0,u1)∈H滿足初值條件,則方程組(3)存在惟一的弱解(u,ut)∈C([0,∞);H),并有以下的性質(zhì):

1) 有界正則性

(7)

2) 弱解滿足能量恒等式

(8)

3) 對所有的v∈H1(Ω),弱解滿足下列的變分不等式

(9)

定理 2假設u0∈H2(Ω),u1∈H1(Ω),并且u0,u1在邊界Γ上滿足:?vu0+u0+g(u1)=0且在原有的假設下有這個弱解是“強”的,且滿足下列的性質(zhì)

步驟 1局部解的存在惟一性.

(10)

令

則有

同樣地,令

則有

令

則有

對所有的(uj,vj)∈D(B1),j=1,2,令:u1-u2≥0,v1-v2≥0,則有

由假設4)知

即B1是單調(diào)算子,同理可得B2也是單調(diào)算子.

令

則有

即有

將u=v+h1代入v-△R(m1u+Rg(γv))=h2得

h2+△Rm1h1.

令

又由于映射I:H1(Ω)→(H1(Ω))′是有界、半連續(xù)、單調(diào)的.則I+B1是極大單調(diào)算子[12],那么B1就為極大單調(diào)算子.同理可證得B2也為極大單調(diào)算子.以上的證明是參照參考文獻[6]得來的,證得B為極大單調(diào)算子.

方程組(3)用算子理論可描述為

(11)

步驟 2全局解、能量恒等式、變分形式.先將方程(3)兩邊乘以ut積分得

再積分得

令線性能量泛函為

(12)

非線性能量泛函為

則有

(13)

又由于弱解是強解的極限,令

其中,t∈(0,tmax),且un→u在c([0,t];H),則在t∈(0,tmax)上強解可有

(14)

自然當un→u在c([0,t];H)上也有此結(jié)果.

由嵌入定理可知H1(Ω)?Lq(Ω),其中2≤q≤6.又對∫ΩF(u)有

而

則存在常數(shù)C=C(E(u(t)))使得

(15)

由假設2)知

其中

所以有

因為

則有

其中

可得

說明在任意時間線性能量方程有界,且依賴于初始能量、Ω的測度及f,即全局解是存在的.以上證明參照文獻[6]得來.

現(xiàn)計算其變分形式.將方程組(3)與φ∈H1(Ω)內(nèi)積得

即

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2010 MSC：35B33; 35G60

(編輯鄭月蓉)

On the Existence for the Solution of Kirchhoff Equation with Critical Exponent and Robin Boundary

YANG Jing,PU Zhilin,FENG Wei

(1.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan;2.SchoolofMathematicsandInformationsScience,NeijiangNormalCollege,Neijiang641100,Sichuan)

Abstract：In this paper, we study the Kirchhoff equation with nonlinear boundary dissipation and critical exponent of asymptotical state when t tends to infinity, and prove the existence of weak solutions. First, we use the maximal monotone operator theory to prove the local existence and uniqueness of solution, and then we use energy equation to prove the existence of global solution and to give its variation form.

Key words：Robin boundary condition; critical exponent; maximal monotone operators; existence of solution and dissipation; energy equation; variational form

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.005

中圖分類號：O177.92

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0026-07

*通信作者簡介：蒲志林(1963—),男,教授,主要從事偏微分方程的研究,E-mail:puzhilin908@sina.com

基金項目：四川省科技基礎研究項目(2011JY0057)

收稿日期:2014-06-17