一類具非線性記憶的非線性阻尼波方程全局吸引子的存在性

李　婧，　蒲志林

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

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一類具非線性記憶的非線性阻尼波方程全局吸引子的存在性

李婧，蒲志林*

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

摘要：研究一類具非線性記憶的非線性阻尼波方程全局吸引子的存在性,采用新的先驗估計證明解半群S(t)是漸近緊的,從而證明該方程帶有Dirichlet邊界條件在H=H01(Ω)×L2(Ω)中吸引子是存在的.

關(guān)鍵詞：全局吸引子; 非線性阻尼; 非線性記憶; 先驗估計; 波方程

1引言與預(yù)備知識

設(shè)Ω?Rn是具有光滑邊界Γ的有界區(qū)域,γ是正常數(shù).考慮波方程

(1)

g(ut)是方程的非線性阻尼項,M(t-s)是方程的非線性記憶項,并且對任意的s屬于R+,M(s)是單調(diào)遞減的;f(u)是方程的非線性源項,滿足次臨界指數(shù)增長限制條件.

問題(1)描述的是具非線性記憶和非線性內(nèi)部阻尼的粘彈性問題.研究人員對具線性和非線性記憶項的波方程做了大量研究工作[1-5],考慮非線性內(nèi)部阻尼的情形.如果阻尼項g是線性的,其全局吸引子的存在性已被證明[6],本文通過對非線性內(nèi)部阻尼項g的增長限制,證明此類問題是存在全局吸引子的.

(2)

特別地,V0=H,V1=V.當(dāng)s1>s2時,有D(As1)D(As2)是緊嵌入,并且有[1,7]

(3)

C是僅依賴于n、Ω的常數(shù),λ1是算子A的第一特征值.

假設(shè)非線性項f(u)及它的原函數(shù)

是滿足下列條件的[7]:

(f2) |f′(s)|≤h1(1+|s|α),γ滿足:

(4)

(5)

對非線性阻尼項g(ut)的假設(shè)[8]：

(g1) g∈C1(R),g(0)=0,g是嚴格遞增的;

(g3) b1(|s|ν-b2)≤|g(s)|≤b3(1+|s|p),s∈R.

由(g3)和Young不等式可以得到

(6)

b是依賴于s的常數(shù).

從(g1)和(g2)中可以推出

(7)

對記憶核M滿足[1,4]:

(M1)M∈C1(R+)∩L1(R+);

(M2)M(s)≥0,M′(s)≤0,?s∈R+;

(M4) 存在m1,m2>0,使得m1M≤M′≤m2M.

關(guān)于問題(1)的適定性,有如下結(jié)果.

定理 1.1[1,7,9]在以上假設(shè)條件下,對所有的t∈[0,T],-△u(t)+kg(ut(t))∈L2(Ω).初值

滿足u0∈V,u1∈H,u(t)是方程(1)的唯一解,從而在H空間中有連續(xù)的半群(t)有:

定義 1.1設(shè)X是度量空間,S(t)是X中的半群,B是X的子集,如果X中的任意有界集B0,存在t1對任意的t≥t1(B0),使得S(t)B0?B,則B叫做S(t)在X中的吸收集.

定義 1.2[6,10]設(shè)X是一個完備的度量空間,A是X的有界子集,在X中非緊集的Kuratowski測度K定義如下:

K(A)=inf{δ|A有限開覆蓋的半徑≤δ}.

引理 1.1[6,9,10]在完備空間X中的非緊性測度K(A)有如下性質(zhì):

3)K(A+B)≤K(A)+K(B),對任意的A,B?X.

定理 1.2[6,10-11]設(shè)X是一個Banach空間,S(t)t≥0是X上的一個連續(xù)的半群,如果滿足下列2個條件:

1)S(t)t≥0在X里有有界吸收集;

2) 對X中的任意有界子集有K(S(t)B0)→0,則S(t)在空間X存在全局吸引子.

2有界吸收集的存在性

由非線性記憶項的特點,可以記

(8)

則

(9)

并令

(10)

用v=ut+εu與方程(1)作內(nèi)積:

(11)

于是

由(8)～(10)式及以上計算可得

綜上計算,(11)式可寫作

由(g1)～(g3)可知

則上式可寫作

(12)

式子里面的所有系數(shù)都為正數(shù),取

記上述式子中對t求導(dǎo)部分為E1，則

故(12)式可寫作

由(4)式可計算

故用Gronwall引理對任意的t≥0有

(13)

(14)

因此有H里的有界集B0,有S(t)B0?B,故

記

(15)

定理 2.1在空間H中,以0為中心μ為半徑的球B(0,μ)是S(t)在H中半群S(t)的吸收集.對H中的任意有界集B0都存在t0>0,使得當(dāng)t≥t0時有

t0和μ由(14)、(15)式給出.

3解半群S(t)的漸近緊性

用類似于文獻[7-9,12]中對解進行分解的方法,把方程(1)的解u分解成

從而可以得到如下2個方程組:

引理 3.1[1,7]在(1)式的假設(shè)下,存在δ>0使得對任意的{u,ut}∈Cb(R+,H)有

更進一步的對任意給出的H中的有界集B,都存在C(B)>0使得如果u0,u1∈B有

證明這個引理的證明與文獻[1]有類似的地方,但略有不同.

由(f2)有,n≥4時,f′(u)在L∞(Ω)上對任意的u∈H此結(jié)論都顯然是成立的.

在n=3時,由Sobolev嵌入定理可以得到

從而進一步可以得到

由(f2)可以得到

由Sobolev嵌入定理有

讓ν(t)∈V1-δ2,則有

用H?lder不等式

由前面的條件易知C(B)是有界的,則

在V1-δ的對偶空間Vδ-1里,其范數(shù)在Vδ-1上也是有界的.所以此引理得證.

n=1,2時,對任意的q<∞有

引理 3.2[8-9]方程以u0,u1∈S(t)B為初值,對任意的ε>0,都存在時間

在前面一節(jié)已給出,有

證明證明過程與文獻[8-9]類似,再結(jié)合引理3.1即可證得.

證明參見文獻[8].

定理 3.1[9]在度量空間H中,對任意的ε>0，有t1=t1(ε,B)使得

KH(S(t)B≤Cε

對所有的t≥t1成立.C是依賴于ε和t1的常數(shù).

證明方法與文獻[9]類似.

對任意的t1≥T=T(ε,B,t0),t0在前一節(jié)已經(jīng)給出,可以把方程(1)的解分解成如下形式:

于是

由引理3.2可以得到,方程以u0,u1∈S(t1)B為初值,對任意的ε>0,存在時間T(上面已經(jīng)給出),在t≥T時有

再結(jié)合引理1.1,即可得到

C只依賴于時間t0、t1和ε.于是定理得證.

最后由定理2.1和定理3.1即可證方程(1)滿足定理1.2,有如下定理.

定理 3.2對滿足條件(f1)～(f3),(g1)～(g3)和(M1)～(M4)的方程(1),在

中存在全局吸引子.

參考文獻

[1] HAN Y H, YU Z G, JIN Z G. Global attractors for damped wave equation with nonlinear memory [J]. J Math Res Appl,2012,32(2):213-222.

[2] ZHU C S. Existence of global attractors for wave equation of kirchhoff type with nonlinear damping and memory term at boundary[J]. Dynam PDE,2007,4(3):247-262.

[3] PATA V. Attractors for a damped wave equation onR3withlinearmemory[J].MathMethApplSci, 2000,23(7):633-65.

[4] FEI L, GAO H J. Global existence and blow-up of solutions for a nonlinear wave equation with memory[J]. J Inequal Appl,2012，2012(1):1-27.

[5] 羅宏. Chemotaxis-Growth 系統(tǒng)的整體吸引子[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,33(5):577-580.

[6] HALE J K. Asymptotic Behavior of Dissipative Systems[M]. Providence:Am Math Soc RJ,1988.

[7] TEMAM R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics[M]. New York:Springer-Verlag,1988.

[8] FEIREISL E. Global attractors for semilinear damped wave equation with supercritical exponent[J]. J Diff Eqns,1995,116:431-447.

[9] SUN C Y, YANG M H, ZHONG C K. Global attractors for the wave equation with nonlinear damping[J]. J Diff Eqns,2006:427-443.

[10] SELL G R, YOU Y. Dynamics of Evolutionary Equations[M]. New York:Springer,2002.

[11] MA Q F, WANG S H, ZHONG C K. Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractors for semigroups and applications[J]. Indiana University Math J,2002,51(6):1541-1559.

[12] 周蜀林. 偏微分方程[M]. 北京:北京大學(xué)出版社,2005.

[13] CHUESHOV l, LAIECKA I. Attractors for second-order evolution equations with a nonlinear damping[J]. J Dyn Diff Eqns,2004,16(2):469-511.

[14] 江澤堅,孫善利. 泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社,1994.

[15] DAFERMOS M. Asymptotic stabiblity in linear viscoelasticity[M]. Arch Ration Mech Anal,1970,37:297-308.

2010MSC：35B41

(編輯陶志寧)

Existence of Global Attractor for Nonlinear Damped Wave Eequation with Nonlinear Memory

LI Jing，PU Zhilin

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：The paper aims to study the existence of global attractor for nonlinear damped wave equation with nonlinear memory. Based on the new priori estimate that proves semigroup possesses asymptotic compactness, the paper demonstrates that the attractor in such an equation with Dirichlet boundary condition exists in (Ω)× L2(Ω).

Key words：global attractor; nonlinear damped; nonlinear memory; priori estimate; wave equation

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.004

中圖分類號：O213.2; O226

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0020-06

*通信作者簡介：蒲志林(1963—),男,教授,主要從事偏微分方程的研究,E-mail:puzhilin908@sina.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金(71171138)和國家自然科學(xué)基金青年基金(71301111)

收稿日期:2014-08-30