利用對稱性巧解函數(shù)穩(wěn)定點問題

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利用對稱性巧解函數(shù)穩(wěn)定點問題

浙江省紹興市魯迅中學(xué)(312000)陳少春虞關(guān)壽

近日在學(xué)校的一次教研活動中，筆者拋出了兩個關(guān)于函數(shù)不動點和穩(wěn)定點的問題：

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點.如果f(x)有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍.

對于第一個問題的解答，很多老師都會采用函數(shù)不動點和穩(wěn)定點的一個性質(zhì)：

對于第二個問題，參考答案所給出的方法是通過分類討論思想來求解，思考方式自然但過程冗長和繁瑣，學(xué)生若按這樣去思考與解答是很容易出錯的.為此我們就要考慮有沒有比較簡便的方法來解決這個問題？筆者認(rèn)為要解決這個問題關(guān)鍵是找到不動點和穩(wěn)定點的本質(zhì)關(guān)系，為此筆者想對兩者之間的關(guān)系作一些探究，跟各位同行交流.

上面給出的函數(shù)不動點和穩(wěn)定點的性質(zhì)其實已經(jīng)給出了兩者之間的一個關(guān)系，但筆者認(rèn)為條件太強了，它要求這個函數(shù)是單調(diào)遞增的才能得到不動點集合A等于穩(wěn)定點集合B.但是如果一個函數(shù)不單調(diào)，就沒法用這個性質(zhì)解決，筆者在一些報刊雜志上看到過討論研究不動點和穩(wěn)定點問題的文章，它們經(jīng)常會引用一個例子：“已知二次函數(shù)f(x)=ax2-1(x∈R)，且f(x)的不動點集合A、穩(wěn)定點集合B滿足A=B≠?，求實數(shù)a的取值范圍.”作為問題討論的依據(jù).

下面筆者給出函數(shù)不動點和穩(wěn)定點關(guān)系另一個常用的性質(zhì)：

設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，其不動點集合為A={x|f(x)=x}，穩(wěn)定點集合為B={x|f(f(x))=x}，則A=B當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像上不存在關(guān)于直線y=x(落在直線y=x上的點除外)對稱的點.

在證明這個性質(zhì)前我們先來研究一下穩(wěn)定點具有怎樣的幾何性質(zhì)，我們都知道不動點都是穩(wěn)定點，那么除了不動點之外還有沒有別的點也是穩(wěn)定點呢？我們不妨設(shè)x0是函數(shù)y=f(x)的一個穩(wěn)定點(x0≠f(x0))，即f(f(x0))=x0，令t=f(x0)，則x0=f(t).由上可得(x0,t)，(t,x0)是函數(shù)y=f(x)圖像上的點且f(f(t))=t，即t也是一個穩(wěn)定點，從而得到不是不動點的穩(wěn)定點的個數(shù)一定是偶數(shù)且這些穩(wěn)定點是兩兩關(guān)于直線y=x對稱的，所以穩(wěn)定點集合由不動點和函數(shù)圖像上關(guān)于直線y=x對稱的點的橫坐標(biāo)構(gòu)成.接下來我們證明上面給出的性質(zhì).

證明：(充分性)當(dāng)A=B時，即穩(wěn)定點都是不動點(落在直線y=x上的點的橫坐標(biāo))，故函數(shù)f(x)的圖像上不存在關(guān)于直線y=x(落在直線y=x上的點除外)對稱的點.

(必要性)反證法，假設(shè)A≠B，則存在x0滿足f(f(x0))=x0，令t=f(x0)且t≠x0，則x0=f(t).即(x0,t)，(t,x0)都是函數(shù)y=f(x)上的點，與函數(shù)f(x)的圖像上不存在關(guān)于直線y=x(落在直線y=x上的點除外)對稱的點矛盾.命題得證.

研究清楚了不動點和穩(wěn)定點的關(guān)系后，下面例舉幾題體會該性質(zhì)給問題解決帶來的方便.

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點.如果f(x)有兩個二階周期點x1，x2，試確定a的取值范圍.

解：(1)略.

圖1

圖2

根據(jù)上面的解題過程，我們可以對該題作進(jìn)一步的推廣：

圖3

證明：由

例3已知實數(shù)集為R，f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f(f(x)),x∈R}，那么

(1)當(dāng)a=1，且A={-1,3}時，B=；

(2)A與B的關(guān)系為；

(3)當(dāng)b=0,c=-1,且A=B≠?時，求實數(shù)a的取值范圍.

解：(1)f(x)=x2+bx+c，-1,3是方程f(x)=x的兩個不同實數(shù)根，則由韋達(dá)定理知-1+3=1-b，-1·3=c，∴b=-1，c=-3.

(2)A?B；

(3)f(x)=ax2-1，若a=0不符合題意；

例4已知函數(shù)y=f(x)，若存在x0，使得f(x0)=x0，則稱x0是函數(shù)y=f(x)的一個不動點，若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b-2.

(1)當(dāng)a=2,b=1時，求函數(shù)f(x)的不動點；

(2)若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個不同的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)對任意實數(shù)b，方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有兩個不同的根，即ax2+bx+b-2=0恒有兩個不同的根.∴Δ=b2-4a(b-2)=b2-4ab+8a>0對任意實數(shù)b恒成立，Δ1=16a2-32a<0，

∴0

參考文獻(xiàn)

[1]彭佳麒.函數(shù)的不動點和穩(wěn)定點[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2011(7)：37.

[2]2013全國及各省市高考試題全解.