一道經(jīng)典幾何不等式的探究

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一道經(jīng)典幾何不等式的探究

福建省大田第五中學(xué)(366100)楊維州

1.解法探究

1.1放縮證明

1.2換元證明

1.3柯西不等式證明

1.4三角-琴生不等式證明

1.5柯西-琴生不等式證明

2.變式探究

2.1加權(quán)探究

推廣形式較為復(fù)雜，但對稱優(yōu)美，若對參數(shù)m,n,k取特定的值，可以得到許多簡潔優(yōu)美的不等式.不妨令m=n=2,k=1，則有如下推論：

2.2指數(shù)探究

在原題中作如下變換：a→ap,b→bp,c→cp，立得變式2成立.

證明:易知，在銳角三角形中，有b2+c2-a2>0,c2+a2-b2>0,a2+b2-c2>0，在原題中作如下變換：a→a2,b→b2,c→c2，立得變式3成立.