在基本圖形的導(dǎo)航下進行合理思考

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué)　蔡衛(wèi)兵

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在基本圖形的導(dǎo)航下進行合理思考

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué)蔡衛(wèi)兵

一、試題再現(xiàn)

題目如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上任意一點（不與點A重合），連接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE與AE交于點E，則DE、DC有什么數(shù)量關(guān)系？請給出證明.

圖1

本題既能反映學(xué)生對特殊圖形性質(zhì)的掌握程度，對全等三角形的判定與性質(zhì)的運用能力，還能考查學(xué)生從特殊到一般進行探索、猜想、驗證的數(shù)學(xué)思想方法和在復(fù)雜圖形中提煉基本圖形的能力.題目表述相對簡約，問題的設(shè)置深淺有度，作為中考第一輪三角形基礎(chǔ)復(fù)習(xí)時的每日一題，由學(xué)生在課外獨立思考后，在第二天課堂中的前幾分鐘由一名學(xué)生主講，其他學(xué)生進行補充或質(zhì)疑，平時學(xué)生的參與熱情很高，基本上能在較短的時間內(nèi)順利完成每日一題的講題活動，但此次活動受阻，隨機確定的前幾個主講同學(xué)只是憑直覺猜想DE=DC，但不知如何驗證，有點出乎筆者的意料，為了引導(dǎo)學(xué)生順利走出當前困境，進一步感悟在基本圖形的導(dǎo)航下進行合理思考的解題方法，筆者開展了如下的解題教學(xué).

二、解題教學(xué)

1.感知基本圖形

師：如何猜想DE、DC的數(shù)量關(guān)系？你會進行怎樣的操作？

生1：選擇特殊位置，比如點D與點B重合，如圖2，易證四邊形ACDE為正方形.

生2：當D為AB的中點時，如圖3，△CDE為等腰直角三角形，為此猜想DE=DC.

圖2

師：這是從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，歸納猜想DE=DC，

那通常用什么方法來證明兩條線段相等呢？

生（眾）：全等或等腰.

師：如圖2中可通過分別包含邊DC、DE的兩個三角形全等；如圖3中可通過判定△DCE為等腰三角形.這是兩個基本圖形，形全等——線相等，形等腰——線相等.

圖3

師：在圖1中，D是AB上任意一點時，能找出基本圖形嗎？

生3：考慮△BCD和△ADE全等.

生4：因為AD是隨著點D的運動而變化，BC是固定的，所以考慮△BCD和△ADE全等的思路肯定是錯的.

生5：連接CE，考慮△CDE為等腰直角三角形，但算不出∠DCE=45°.

2.聚焦基本圖形

師：根據(jù)所給問題的條件和目標，那你應(yīng)將解決問題的焦點聚集在什么地方？

生6：因為DC=DE，DC⊥DE，都跟點D有關(guān)，所以重點關(guān)注點D位置的特征.

師：點D位置有何特征？

生（眾）：線垂直.

師：直角頂點處有我們經(jīng)常遇到的基本圖形嗎？若找不到完整的基本圖形，則嘗試找到基本圖形的一部分，并通過構(gòu)造輔助線將其補全，接著能不能利用它？

生7：聚焦公共頂點的雙直角的基本圖形，如圖4.

圖4

圖5

解法1：如圖5，過點D作DF⊥AB與AC的延長線交于點F.

因為DE⊥DC，所以∠FDC=∠ADE.因為EA⊥AC，所以∠F=∠DAE.又因為∠ACB=90°，AC=BC，所以∠DAF=45°，所以DA=DF.所以△FDC≌△ADE（ASA），所以DE=DC.

解法2：如圖6，過點D作DF⊥AB與AE的延長線交于點F.同解法1得∠FDE=∠ADC，DF=DA，∠F=∠DAC，所以△FDA≌△ADC（ASA），所以DE=DC.

圖6

圖7

解法3：如圖7，過點D作DF⊥AC，DG⊥AE，垂足分別為F、G.由EA⊥AC，可知四邊形AGDF為矩形，所以DG=FA.同解法1得∠CDF=∠EDG，所以Rt△CDF≌Rt△EDG，所以DE=DC.

生8：聚焦三邊分別互相垂直的兩個直角三角形的基本圖形，如圖8和圖9.

圖8

圖9

解法4：如圖10，過點D作GF⊥BC與BC交于點F，與AE的延長線交于點G.由∠ACB=90°，EA⊥AC，可知四邊形ACGF為矩形，所以CF=GA.因為∠DAC=45°，所以∠DAE=45°，即△ADG為等腰直角三角形，所以AG=DG，所以CF=DG.由DE⊥DC，可證∠FCD=∠GDE，所以Rt△CDF≌Rt△DEG，所以DE=DC.

圖10

圖11

解法5：如圖11，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點E 作EG⊥DF，垂足為G.同解法4，可證Rt△CDF≌Rt△DEG，所以DE=DC.

解法6：如圖12，過點C作CF⊥AB，垂足為F，過點E作EB⊥AB，垂足為G.因為∠DCF=∠EDG，∠CFD= ∠DEG=90°，所以Rt△CDF∽Rt△DEG，所以.由等腰直角△AFC和等腰直角△AEG，得CF=AF，EG=AG，所以，所以DF=AG=EG，所以Rt△CDF≌Rt△DEG，所以DE=DC.

圖12

生9：聚焦角平分、線相等、形翻折的基本圖形，如圖13.

圖13

解法7：如圖14，在AC上截取一點F，使得AF=AE，連接DF.因為∠DAF=∠DAE=45°，AD=AD，所以△ADF≌△ADE，所以DF=DE，∠DFA=∠E.在四邊形ACDE中，∠CDE=∠CAE=90°，所以∠DCA+∠E=180°，所以∠DCA+∠DFA=180°.因為∠DFC+∠DFA=180°，所以∠DCA=∠DFC，所以DC=DF，所以DE=DC.

圖14

圖15

解法8：如圖15，在AE上截取一點F，使得AF=AC，連接DF.因為∠DAF=∠DAE=45°，AD=AD，所以△ADC≌△ADF，所以DC=DF，∠DCA=∠F.在四邊形ACDE中，∠CDE=∠CAE=90°，所以∠DCA +∠DEA =180°.而∠DEA+∠DEF=180°，所以∠DEF=∠F，所以DF=DE，所以DE=DC.

生10：聚焦角直角、弦直徑的基本圖形，如圖16和圖17.

圖16

圖17

解法9：如圖18，連接CE，作△CDE的外接圓，因為DE⊥DC，所以CE為圓的直徑.因為EA⊥AC，所以點A在CE為直徑的圓上，即A、C、D、E在同一圓上.所以∠DEC= ∠DAC=45°，所以DE=DC.

圖18

圖19

生11：聚焦線平行、形相似的基本圖形，如圖19.

解法10：如圖20，延長CD交AE的延長線于點F.由∠ACB=90°和EA⊥AC，得BC∥AF，所以△BCD∽△FDA，所以.由∠F=∠F，∠FDE =∠FAC =90°，得△FAC∽△FDE，所以，所以BC=AC，所以DE=DC.

圖20

3.演變基本圖形

師：圖形作為幾何學(xué)科的研究對象，不論它多么復(fù)雜，都是由一個或者若干個最簡單、最基本的圖形組合而成，找到這些基本圖形往往也就找到了解決問題的突破口.

話音剛落，生12起立，此題要分類討論，因為點D為AB上任意一點，上述只證明了點D在線段AB中點上方的情形，當點D在線段AB中點的下方時，圖形的位置發(fā)生了改變，如圖21，所以有必要再加以說明.

圖21

圖22

圖23

生13：還是可用上述的證明方法，我認為當D為直線AB上任意一點（不與A重合），如圖22和圖23，DC=DE的結(jié)論仍然成立，而且這些證明方法都可通用.

師：前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雅諾思卡婭曾說：“解題——就意味著把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題.”在原題的探索、猜想、驗證的過程中借助已解決的公共頂點的雙直角的基本圖形中的同角的余角相等，三邊分別互相垂直的兩個直角三角形的基本圖形中的三角形相似，角平分、線相等的基本圖形中的三角形全等，角直角、弦直徑的基本圖形中的四點共圓，線平行的“A”型和“X或Z”型中的三角形相似，分析圖形并聯(lián)想基本圖形——作輔助線完善圖形——利用基本圖形發(fā)現(xiàn)思路，輔助線的添加是有理有據(jù)的.生12、生13又在已解決的基本圖形的導(dǎo)航下進行合理思考，通過改變點D的位置進行演變圖形.俗話說“變則通，通則久”，那你還能在此探究的基礎(chǔ)上進一步嘗試改編試題，使解題通法再延伸嗎？

小組合作，不斷提出延伸性問題：

問題1：在圖7、圖10、圖11的導(dǎo)航下結(jié)合HL定理提出可交換問題的條件與結(jié)論，如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，EA⊥AC，D是AB上任意一點（不與A重合），若DC=DE，則DE、DC有怎樣的位置關(guān)系？請給出證明.

問題2：在圖5、圖6、圖7、圖8、圖10、圖11、圖20的導(dǎo)航下結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)或銳角三角函數(shù)提出改變條件探索結(jié)論，如圖24，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，D是AB上任意一點（不與A重合），連接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE與AE交于點E，則DE、DC有什么數(shù)量關(guān)系？請給出證明.

圖24

圖25

問題3：如圖24，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，D是AB上任意一點，連接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE與AE交于點E，則DE、DC有什么數(shù)量關(guān)系？請給出證明.

問題4：在圖14、圖15、圖16的導(dǎo)航下結(jié)合圓的基本性質(zhì)與解直角三角形提出改變圖形探索條件，如圖25，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=∠BAE=60°，D是AB上任意一點（不與A重合），連接DC，DE，當∠CDE為多少時DC=DE成立？請說明理由.

問題5：如圖25，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，∠BAE=β，D是AB上任意一點（不與A重合），∠CDE+∠CAE=180°，請用含ɑ，β的三角函數(shù)表示

……

三、思考感悟

所謂基本圖形就是將在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)過程中具有一定典型性的概念、公式、定理、例題、習(xí)題中反復(fù)出現(xiàn)、經(jīng)常用到的對應(yīng)圖形，是結(jié)論化的圖形，是圖形化的公式.它作為構(gòu)成幾何圖形的基本要素，如果能夠從較復(fù)雜的圖形中識辨、抽象、分離、構(gòu)造出基本圖形，借助基本圖形中的基本元素及其相互關(guān)系進行思考，可以使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，提高學(xué)生對于圖形與幾何的學(xué)習(xí)水平，有利于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.因此，在幾何的解題教學(xué)中，我們應(yīng)重視重要結(jié)論所對應(yīng)的基本圖形的積累，重視引導(dǎo)學(xué)生分析圖形并聯(lián)想基本圖形，在基本圖形的導(dǎo)航下發(fā)現(xiàn)思路、作輔助線完善圖形、解決問題、歸納規(guī)律、演變圖形、拓展結(jié)論、圖形重組等合理思考，從而發(fā)現(xiàn)“輔助線如何添”，頓悟“輔助性為何這樣添”，明白“思路從哪里來”，領(lǐng)悟“問題到何處去”，真正為學(xué)生思維升華拓展空間.

參考文獻：

1.高一子.基本圖形在平面幾何中的教學(xué)運用——以平行線的判定為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（6）.

2.陳金紅.模型出面繁簡轉(zhuǎn)換［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（7）.