淺析高數(shù)中的求解函數(shù)極限方法
2016-04-29 00:00:00郭歡
讀寫算·基礎(chǔ)教育研究 2016年12期
【摘 要】極限是微積分學(xué)習(xí)的過程中的的重要的概念，函數(shù)貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在進(jìn)行學(xué)習(xí)的過程中，主要是進(jìn)行求解函數(shù)的學(xué)習(xí)，高數(shù)數(shù)學(xué)主要是在普通高校階段展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的，函數(shù)極限求解是高數(shù)中的重要問題。文章主要闡明求解函數(shù)極限的內(nèi)涵，并對高數(shù)中中的求解函數(shù)極限的幾種方法進(jìn)行討論，探究學(xué)生在進(jìn)行函數(shù)極限學(xué)習(xí)時的方法，以此來擴寬解題思路。
【關(guān)鍵詞】高數(shù) 函數(shù)極限 求解方法
前言
函數(shù)極限的求解是高數(shù)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，函數(shù)極限的難易程度有所區(qū)分，將其可以分為物種，函數(shù)極限主要是用來解決高度的等數(shù)學(xué)難題的，例如在求解面積、體積，判斷無窮數(shù)列各項之和是否為定值、求曲線積分、求曲面積分、概率論、變分法等很多的方面都要使用到的，是高數(shù)中學(xué)生必須要掌握的重要內(nèi)容。文章下面就對函數(shù)極限的求解方法進(jìn)行探討，試著探究函數(shù)解題的思路。
一、函數(shù)極限的內(nèi)涵
1、函數(shù)極限的概念
函數(shù)的極限與數(shù)列的極限有相似之處，“極限”顧名思義就是“最”值，這個概念繞過了0的麻煩，引進(jìn)了過程任意小量，可以看到是在求解對精確的數(shù)值。函數(shù)極限可以考慮自變量X，f（x）看作因變量，通過f（x）的變化來觀察變化的趨勢。函數(shù)極限相較于數(shù)列極限，其復(fù)雜性更強，難度更高，自變量的變化程度更豐富多樣。對于函數(shù)極限的定義可以這樣來解釋：設(shè)f是定義在[a，+∞）的函數(shù)，其中A為實數(shù)，在任給的ε>0的條件下，有正數(shù)M（≥a）存在，如果x>M，則有|f（x）A|<ε，此時就可以認(rèn)為在x→+∞A就是函數(shù)f的極限，其表達(dá)式為：f（x）→A（x→+∞）。
第二，假設(shè)f（x）函數(shù)是在點的X0某個空心鄰域U0（X00；δ′）中有定義，此時A為定數(shù)，如果對于任給的ε>0，δ（<δ′）>0，使得當(dāng)0<|x-X0|<δ時則|f（x）-A|<ε，則當(dāng)x趨于X0時，可以稱函數(shù)f以A為極限，或者也可以稱作A是x→x X0時f（x）的極限，其可以記為f（x）→A（x→X0）。
2、函數(shù)極限的性質(zhì)
而函數(shù)極限的性質(zhì)可以總結(jié)為以下幾點：第一，函數(shù)極限有局部有界性，即如果f（x）→A（x→X0），則在X0的某個去心鄰域內(nèi)f（x）有界；第二，函數(shù)極限表現(xiàn)出顯著的唯一性，即當(dāng)x→X0時，存在f（x）極限，則這個極限是獨一無二的；第三，函數(shù)極限表現(xiàn)出局部保序性，即如果f（x）→A（x→X0），并且A>0或者<0，則對于任何正數(shù)r
二、函數(shù)極限學(xué)習(xí)的問題
1、難度增大，學(xué)生的焦慮性增強
高數(shù)學(xué)習(xí)相對于以前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)，難度增大，在進(jìn)行學(xué)習(xí)時，十分考驗學(xué)生的心理素質(zhì)，在進(jìn)行學(xué)習(xí)時，由于大學(xué)的環(huán)境較為寬松，課堂上主要進(jìn)行的是函數(shù)極限的教學(xué)，練習(xí)一般放在課下，課程的安排較寬松，學(xué)生的記憶程度會快速的下降，學(xué)生在學(xué)習(xí)時，很容易會產(chǎn)生焦慮。這一過程時考驗學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，學(xué)生的主動性較好，及時進(jìn)行鞏固復(fù)習(xí)，能夠很容易的進(jìn)行學(xué)習(xí)，但相反，學(xué)習(xí)的效果就會較差。
2、教師在教學(xué)時，學(xué)生缺乏思考
由于函數(shù)極限的學(xué)習(xí)較難，教師在進(jìn)行教學(xué)時，首先進(jìn)行概念的講解，然后講解例題，講解過后進(jìn)行習(xí)題練習(xí)，在大學(xué)的講課過程中，課程安排的較為松散，練習(xí)的時間一般集中在課下，課上教師講解的時間較長，講解的內(nèi)容難度大，學(xué)生練習(xí)的時間較少，學(xué)生的思考時間段，記憶深度不好，致使教學(xué)的效果不好。
三、函數(shù)極限求解的方法
在進(jìn)行函數(shù)極限求解課程的教學(xué)時，教師應(yīng)該遵循教學(xué)的規(guī)律，對于剛脫離高中的學(xué)生來說，從來沒有接觸過微積分，所以在進(jìn)行內(nèi)容的講解時，應(yīng)該循序漸近，可以通過動態(tài)圖的方式，盡可能的在視覺上來降低學(xué)習(xí)的難度。在進(jìn)行極限的講解時，可以通過作圖、實例來證明極限。在進(jìn)行函數(shù)極限的求解的過程中，不僅僅是將求解的方法學(xué)會，還要了解每種方法的實際的意義，將具體的理論能夠應(yīng)用在實踐活動中去。
1、利用極限的定義進(jìn)行函數(shù)極限求解
在進(jìn)行求解的過程中，定義求解釋比較常用的一種方法。定義法就是將函數(shù)極限作為一個常數(shù)，對其進(jìn)行證明，這種證明過程實際上是反證，在已知函數(shù)時極限的條件下，進(jìn)行的證明。
極限的定義描述如下：如果自變量的數(shù)值，無限增大，那么函數(shù)的結(jié)果會與常數(shù)無限的接近，這一過程中就可以說函數(shù)的結(jié)果是常數(shù)的極限，在這一過程中需要滿足的條件就是自變量要無限的增大，趨近于無窮。用公式進(jìn)行表達(dá)：
總結(jié)：在進(jìn)行定義法的使用時，可以將定義與實際的圖像結(jié)合起來，方便觀看證實的過程以及得出的結(jié)果。在使用極限定義時，首先要分清楚題的具體含義，將概念分析清楚，在進(jìn)行應(yīng)用，避免概念的混淆。使用概念解題的方法，是將一類數(shù)字的共性進(jìn)行辨別，針對這類數(shù)字進(jìn)行不同的運算。在函數(shù)極限求解的過程中，就是應(yīng)用極限的概念，發(fā)揮極限的共性，在進(jìn)行辨別的過程中，來對函數(shù)進(jìn)行求解，完成不同的求解過程。極限的定義求解法是將抽象的思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的內(nèi)容，再通過具體的例子再表現(xiàn)出來。運用概念來進(jìn)行解題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生將抽象思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的內(nèi)容，實現(xiàn)抽象思維的升級。
2、使用兩個重要極限函數(shù)來求解函數(shù)極限
用兩個極限函數(shù)來求解，這兩個極限函數(shù)包括，在進(jìn)行函數(shù)的解答的過程中，很多的問題都可以使用重要極限來進(jìn)行解答，這種解答的過程與數(shù)理極限中的帶入有相似之處，在進(jìn)行函數(shù)極限的解答時，將函數(shù)進(jìn)行化簡或者是進(jìn)行整合，來進(jìn)行解答。例如在習(xí)題的解答中，主要就是講題化簡、變形，將題的形式與極限的形式化為統(tǒng)一的整體。所下所示：
2.1 將運用重要極限這個式子進(jìn)行化簡。
，在進(jìn)行簡化的過程中，實際上就是將這個式子帶入在中去。
2.2 求的極限
，實際上就是將這個式子帶入在第二個式子中去。
總結(jié)：利用兩個重要極限函數(shù)來進(jìn)行函數(shù)極限的求解，實際上是一種簡化、組合的過程，將函數(shù)中的某一部分使用重要極限函數(shù)來替換，降低函數(shù)的難度。在進(jìn)行學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生應(yīng)該主動進(jìn)行函數(shù)的整合，教師發(fā)揮引領(lǐng)的作用，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行指導(dǎo)。
3、利用極限的等價定理來進(jìn)行函數(shù)極限的求解
極限的等價定理，在進(jìn)行求解時，主要是應(yīng)用在分段函數(shù)中，在進(jìn)行函數(shù)極限的求解時，要分析具體的狀況來觀看是否能夠解答。極限的等價定義在使用的過程中，一般主要是夾逼定理和單調(diào)有界數(shù)定理，在進(jìn)行數(shù)列幾心的求解時可以是哪個用到這兩種極限定理，也可以將定理運用在函數(shù)的存在性證明上。
例如在進(jìn)行函數(shù)的極限求值上，如下所示：
求的極限，對著議題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)tanx與sinx屬于三角形的正切、正弦，兩者之間可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以將tanx用來表示，那么tanx-sinx將其進(jìn)行通分，可以得到這種結(jié)果，分子上用sinx（1-sinx）來表示，分母上cosx來表示，綜合表示為，將這個式子帶入中，可以得到，將這個式子進(jìn)行化簡，可以得到，將化簡的進(jìn)行運算，可以得出，，這樣就能夠求出函數(shù)極限的值，這個過程實際上就是在求函數(shù)無限的接近的數(shù)值。
總結(jié)：在進(jìn)行函數(shù)極限的求解的過程中，學(xué)生在進(jìn)行求解時，應(yīng)該循序漸進(jìn)，按照求解的步驟進(jìn)行求解，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，教師應(yīng)該首先進(jìn)行教學(xué)方法的選擇，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，確定正確的教學(xué)方法，在進(jìn)行階梯式應(yīng)該聯(lián)系所學(xué)過的知識，將知識融入在教學(xué)的過程中，即對學(xué)過的知識進(jìn)行鞏固，又能增加學(xué)生的新知識的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。就像在例題的展示過程中，解答的過程實際上就是學(xué)生進(jìn)行討論的過程，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，鼓勵學(xué)生主動進(jìn)行求解學(xué)習(xí)。
4、利用無窮小量的性質(zhì)來進(jìn)行求解
無窮小量的應(yīng)用是高數(shù)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，無窮小量的性質(zhì)包括有限個無窮小量的代數(shù)和、積是無窮小數(shù)；任意常數(shù)與無窮小量的及仍是無窮小量；無窮小量與有界變量之積是無窮小量。范例如下：
求解
通過高中數(shù)學(xué)所學(xué)的知識可以判斷是有界函數(shù)，屬于有界變量，即，假設(shè)f（x）=x，當(dāng)x→0時，f（x）就是無窮小量，根據(jù)無窮小量的性質(zhì)可以得知，無窮小量與有界變量之積是無窮小量，由此可知，
5、使用羅比達(dá)法則來進(jìn)行求解
羅比達(dá)法則是極限函數(shù)求解中比較常用的方法之一，羅比達(dá)法則在使用時因該注意一個原則，在使用這一法則是，自變量可以無限的趨近于一個常數(shù)，也能夠無限的趨近于無窮大。同時羅比達(dá)法則還涉及到七個極限問題，其中最基本的極限問題有兩個，其他的可以轉(zhuǎn)變?yōu)榛镜臉O限問題來進(jìn)行解決，這兩個極限問題包括，這兩個極限屬于未定型極限，在進(jìn)行法則的使用時，首先要考慮所求解的函數(shù)是否屬于未定形函數(shù)，當(dāng)滿足“是”的條件時，可以進(jìn)行法則的使用，當(dāng)不滿足時，表明函數(shù)不存在，使用羅比達(dá)法則就不合適，應(yīng)該使用其它的極限方法來進(jìn)行函數(shù)極限求解。范例如下：
求解
表現(xiàn)為型，滿足了條件，所以可以使用羅比達(dá)法則來進(jìn)行運算。
總結(jié)：在運算的過程中可以看到主要是對羅比達(dá)法則的應(yīng)用，在進(jìn)行具體的求解過程中，因該將法則與實際的函數(shù)聯(lián)系起來，進(jìn)行求解。
四、結(jié)語
文章主要是介紹了在高數(shù)學(xué)習(xí)中的函數(shù)極限求解的幾種常用的方法，在進(jìn)行常用方法的解答時，首先教師應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會將求解方法的抽象概念化為具體的內(nèi)容，通過具體的實例來級行證明。在進(jìn)行函數(shù)極限求解的方法時，教師要關(guān)注學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的方法，讓學(xué)生在合作中進(jìn)行學(xué)習(xí)，掌握極限的法則，在具體的實例中進(jìn)行應(yīng)用，將理論聯(lián)系實際，提高教學(xué)效率?？偠灾邤?shù)中的函數(shù)極限求解是非常重要的內(nèi)容，師生應(yīng)該關(guān)注教學(xué)的方法。
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