解函數(shù)問題勿忘“我”

【關(guān)鍵詞】定義域的概念；定義域重要性；函數(shù)基本性質(zhì)；函數(shù)實(shí)際問題

函數(shù)內(nèi)容一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)。定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)的三要素，而定義域?yàn)楹瘮?shù)之根本。我在以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生直接去求解函數(shù)的定義域，學(xué)生一般可以做到，但是在解決函數(shù)綜合問題時，學(xué)生經(jīng)常會忽略題目中隱含的x的取值范圍或限定的x的取值范圍，導(dǎo)致解題錯誤。以下我就結(jié)合我在教學(xué)過程中遇見的學(xué)生常見錯解為例，淺析函數(shù)定義域的重要性。

1 首先認(rèn)識下“我”吧 —定義域的概念與確定原則

函數(shù)y=f（x）， x∈A. 其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域。

確定函數(shù)定義域的原則與函數(shù)的表示有關(guān)，當(dāng)函數(shù)是用列表形式表示時，函數(shù)的定義域?yàn)楸砀裰衳的集合；當(dāng)函數(shù)是用圖像表示時，函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)圖像投影到x軸上的范圍構(gòu)成的集合；當(dāng)函數(shù)是用解析式表示時，函數(shù)的定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)關(guān)系式有意義的x的集合。另外在解決函數(shù)的實(shí)際問題是除保持上述的三個原則外，確定函數(shù)的定義域還需結(jié)合x在實(shí)際問題中的意義。

2 解函數(shù)基本性質(zhì)問題請優(yōu)先考慮“我”—定義域

2.1 求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題

例如：求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，學(xué)生錯解案例：直接去求

，y'>0，得x<0或x>1；由y'<0，得0

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指在定義域內(nèi)的某個區(qū)間D上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則稱區(qū)間D為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；若函數(shù)值隨自變量的增大反而減小，則稱區(qū)間D為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間。從這定義可以看出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，所以求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時必須優(yōu)先考慮到函數(shù)的定義域。解出的單調(diào)區(qū)間需結(jié)合函數(shù)定義域，與之取交集，

這道題因?qū)W生事先沒有考慮到函數(shù)y=x-lnx的自然定義域?yàn)椋?，+∞），忽略解得的單調(diào)增區(qū)間（-∞，0）不在定義域（0，+∞）范圍內(nèi)，沒有舍去。所以函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)增區(qū)間應(yīng)為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）。

2.2 判斷函數(shù)奇偶性的問題

例如：判斷函數(shù)f（x）= x2-4，x∈[-1，2]的奇偶性，學(xué)生錯解案例：直接就令x=-x帶入函數(shù)得f（-x）= （-x）2-4=x2-4=f（x），所以得出函數(shù)f（x）= x2-4，x∈[-1，2]為偶函數(shù)。

函數(shù)的奇偶性是指對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（-x）= f（x），則稱函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；若都有f（-x）= -f（x），則稱函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。從定義可以看出，定義域需關(guān)于原點(diǎn)對稱，才有進(jìn)一步判斷函數(shù)奇偶性的意義。

這個函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1，2]，即得這個函數(shù)的定義域是不關(guān)于原點(diǎn)對稱的，所以直接就可以判斷函數(shù)f（x）= x2-4，x∈[-1，2]為非奇非偶的函數(shù)。此題因?qū)W生事先忽視函數(shù)限定定義域沒有關(guān)于原點(diǎn)對稱，導(dǎo)致錯解。

2.3 求函數(shù)的最值（值域）的問題

例如：求函數(shù)y=x2-2x在[2，4）上的最值、值域。學(xué)生錯解案例：y=x2-2x=（x-1）2-1，所以對稱軸為x=1，所以ymin=-1，ymax=8所以函數(shù)函數(shù)y=x2-2x在[2，4）的值域?yàn)閥∈[-1，8]。

把實(shí)數(shù)M稱為函數(shù)的最值需滿足兩個條件，首先M應(yīng)比定義域上的所有函數(shù)值大或小，其次還需在定義域內(nèi)存在x0使得f（x0）=M。所以定義域?qū)瘮?shù)最值（值域）具有絕對的制約性。

學(xué)生這樣解因沒考慮到函數(shù)y=x2-2x對稱軸與限定定義域[2，4）的位置關(guān)系，以及定義域區(qū)間的端點(diǎn)是否可取的問題，導(dǎo)致錯解。而這個函數(shù)的對稱軸x=1且開口向上當(dāng)x∈[2，4）函數(shù)值在隨x增大而增大，所以ymin=f（2）= 22-4=0， 但是當(dāng)x=4時函數(shù)不可以取，所以函數(shù)沒有最大值，即得函數(shù)y=x2-2x在[2，4）值域應(yīng)為y∈[0，8）。

3 解函數(shù)實(shí)際問題時請別忽略“我”—定義域

例如：某養(yǎng)雞場是一面靠墻，三面用鐵絲網(wǎng)圍成的矩形場地.如果鐵絲網(wǎng)長40 m，問靠墻的一面多長時，圍成的場地面積最大？

學(xué)生的錯解案例：設(shè)靠墻的一面長為x m，圍成的場地面積為y m2，此時矩形的寬為

解函數(shù)實(shí)際問題時，函數(shù)中的自變量x是具有實(shí)際含義，x的范圍除了要使函數(shù)關(guān)系式有意義外還需結(jié)合具體的實(shí)際問題而定。

學(xué)生解這題時忽略了自變量x的實(shí)際含義，認(rèn)為x∈R。但是此題中的x代表的是矩形的長，

代表的是矩形的寬，應(yīng)滿足x>0且

綜上所述學(xué)生在解函數(shù)問題中屢屢出錯，究其原因首先是學(xué)生對定義域的概念及定義域?qū)瘮?shù)的制約作用理解不深刻，其次是學(xué)生解題思維嚴(yán)密性不夠。作為老師，我們在教學(xué)中應(yīng)闡述清楚函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)關(guān)系式、函數(shù)基本性質(zhì)等概念，引導(dǎo)學(xué)生解函數(shù)題時辨別函數(shù)定義域?qū)忸}結(jié)論有無影響或定義域的范圍有無改變，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，避免解函數(shù)問題因忽略定義域?qū)е碌某Ｒ婂e誤。同時希望同學(xué)們在閱讀完此文后能夠理解函數(shù)定義域的重要性，養(yǎng)成解函數(shù)題定義域優(yōu)先的原則與習(xí)慣。

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