鴿籠原理的妙用

鴿籠原理是《組合數(shù)學(xué)》中一個(gè)重要的原理，它雖然簡(jiǎn)單，但應(yīng)用廣泛，可以解答很多有趣的問(wèn)題，其中有些問(wèn)題還具有相當(dāng)?shù)碾y度。

鴿籠原理（又名抽屜原理）：假設(shè)n+1件物體放入到n個(gè)盒子里，至少有一個(gè)盒子包含2件或更多件物體。

證明：（反證法）假設(shè)n個(gè)盒子里無(wú)一個(gè)盒子包含2件或更多件物體，則物體總數(shù)小于或等于n，這與假設(shè)有n+1件物體矛盾。得證。

先通過(guò)以下這個(gè)例子，看看怎樣運(yùn)用鴿籠原理。

例1 從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。

分析與解答：利用題設(shè)中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)“盒子”，此“盒子”特點(diǎn)：凡是“盒子”中有兩個(gè)數(shù)的，其和是34。現(xiàn)從題設(shè)中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由鴿籠原理（因?yàn)椤昂凶印敝挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)可以在同一個(gè)“盒子”中（符合上述特點(diǎn)）。由制造的“盒子”的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。

類似這樣的題目，看似無(wú)從入手，但應(yīng)用鴿籠原理來(lái)解決就顯得很簡(jiǎn)捷。運(yùn)用此原理解題構(gòu)造“盒子”是一大關(guān)鍵，下面談?wù)勅绾螛?gòu)造“盒子”。

一、分割區(qū)間構(gòu)造“盒子”