集合思想在中職數(shù)學中的應用

初中數(shù)學課本中出現(xiàn)過一些數(shù)和點的集合，如：自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合、不等式解的集合等，但學生并不清楚“集合”在數(shù)學中的含義，只是對集合有了初步的印象。事實上，研究集合的數(shù)學理論在現(xiàn)代數(shù)學中被稱為集合論，在數(shù)學中占據(jù)著獨特的地位，其基本概念已經(jīng)滲透到數(shù)學的所有領域。如果把現(xiàn)代數(shù)學比做一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構成這座大廈的基石，由此可見它在數(shù)學中的重要性?！凹稀笔侵新殧?shù)學中接觸最早的數(shù)學概念之一，筆者作為一名中職數(shù)學教師現(xiàn)就集合思想在中職數(shù)學中的幾點應用與大家分享一下。

一、集合中蘊涵著數(shù)學史

數(shù)學史是學生學習興趣的源泉，課堂上我們可以利用它來引起學生的好奇心和求知欲。比如在講集合時，首先就給學生介紹康托爾的生平和成就。集合論是德國數(shù)學家康托爾于19世紀末創(chuàng)立的，1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念，他對集合的描述是：把若干確定的、有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，集合論提出來伊始，曾遭到許多數(shù)學家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈爭論的犧牲品，然而，二十余年后集合論最終獲得了世界的公認。他在研究無窮時提出了一些合乎邏輯但又荒謬的結論，致使許多大數(shù)學家唯恐陷進去而退避三舍。但是不到三十歲的康托爾勇敢的向神秘的“無窮”宣戰(zhàn)，他付出了艱辛的勞動，成功的證明了一條直線上的點能和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。這樣看來，一厘米長的線段內的點與太平洋上的點以及整個地球內部的點“一樣多”。隨后，康托爾針對無窮集合發(fā)表了一系列文章，通過嚴格證明得出了許多令人吃驚的結論……在這短短的幾分鐘，大大激發(fā)了學生的學習興趣，提高了學習集合知識的積極性，學生迫不及待地想知道究竟什么是集合，什么是無窮美……同時還可以讓學生來討論，你從康托爾身上得到了什么啟示，如果是你處在那樣的環(huán)境中，你也會堅持下來嗎？讓學生充分思考，盡量都發(fā)言，培養(yǎng)他們的語言表達能力和與人交流溝通的能力，起立發(fā)言的同時也培養(yǎng)了他們的自信心以及獲得同學們掌聲后體驗到了學習的成就感。

二、集合思想的應用

1、分類討論思想

集合就是把人們直觀的或思維中的某些確定的、容易區(qū)分的對象放在一起，成為命題中的構成要素，作為考慮問題的整體。組成一集合的構成要素稱為這一集合的元素。集合與元素是“屬于”與“不屬于”的關系。數(shù)學中有很多問題中含有參數(shù)，為了解決問題，必須對參數(shù)進行討論，從而產(chǎn)生了分類討論的問題，比如，

（1）我們在后面講分段函數(shù)時，設

求 的值時，我們會用到元素-2，0，1.5，3它們分別屬于 的哪個定義域區(qū)間，再按不同區(qū)間上的函數(shù)關系式來算函數(shù)值。

（2）在總結求函數(shù)定義域時，我們首先要看所給的函數(shù)是屬于哪種類型的函數(shù)，再分類討論。

（3）在利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質比較兩個冪值大小的時候，我們也要用到分類討論的思想。首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義來判斷是哪種類型的函數(shù)，再分別利用對應的性質來再分類最后再比較。比如比較 和 的大小時，第一步：觀察發(fā)現(xiàn)這兩個數(shù)底數(shù)相同而指數(shù)不同，即底數(shù)不變指數(shù)變，引導學生考慮指數(shù)函數(shù)；第二步，觀察底數(shù) ，判斷函數(shù)為減函數(shù)；第三步，判斷-2和-3的大??；第四步，根據(jù)減函數(shù)的定義判斷大小。

2、數(shù)形結合思想

在現(xiàn)實世界中，形與數(shù)是不可分離的結合在一起的。抽象的數(shù)學概念，復雜的數(shù)量關系，借助圖形可以做到直觀化、形象化、簡單化。同時復雜的形體可以用簡單的數(shù)量關系表示。在解題中借助數(shù)軸來完成無限數(shù)集之間的運算，在平面直角坐標系中解決點集之間的運算，若借助簡單的韋恩圖表示兩集合間的關系，可使問題變得直觀、具體，易于認清集合的特征，便于準確、快速地解決問題。

3、交集和并集思想

用集合的交集和并集語言可以表示出函數(shù)的定義域、值域、方程與不等式的解集，曲線上點的集合等。 集合中的交集思想可為后面求兩圖像的交點做預備。

4、子集和補集思想

在求不等式以及不等式組的解集時，最常用的就是集合中的子集和補集思想。例不等式組有幾種常見的解集：口訣是同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小為無處找。不就是綜合運用了交集、并集、子集思想嗎？

有些需要分類討論的問題，解題過程往往過于繁雜，此時運用補集的思想（即“正難則反”思想）去解答，常?？梢院喕懻摗?/p>

日本數(shù)學教育家米山固藏曾說：“我搞了多年的數(shù)學教育，發(fā)現(xiàn)學生們在學校里接受的數(shù)學知識。因畢業(yè)后進人社會沒有機會應用而很快忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務工作。唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學的思維方法、研究方法和著眼點，都隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！弊鳛閿?shù)學教育工作者，我們要我們應該積極努力地在培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方式以及數(shù)學應用意識和能力上進行實踐和探索，爭取為社會培養(yǎng)出更多的應用型的實用人才。

（作者單位：山西交通高級技工學校）