基于近場動力學(xué)方法的混凝土板侵徹問題研究

顧　鑫， 章　青， 黃　丹

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京　211100)

?

基于近場動力學(xué)方法的混凝土板侵徹問題研究

顧鑫， 章青， 黃丹

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京211100)

摘要：由于近場動力學(xué)(Peridynamics)用統(tǒng)一空間積分-時間微分方程描述物體連續(xù)或不連續(xù)區(qū)域，改進常用微觀彈脆性模型(Prototype Microelastic Model, PMB)對勢本構(gòu)力函數(shù)，給出剛性體與變形體沖擊問題接觸算法；編制計算程序，驗證經(jīng)典簡支梁變形及Kalthoff-Winkler試驗；數(shù)值模擬剛性彈丸侵徹混凝土矩形板破壞過程，揭示損傷累積及裂紋擴展全過程與最終破壞形態(tài)。結(jié)果表明，改進的近場動力學(xué)模型及算法合理、可靠，能有效模擬混凝土結(jié)構(gòu)沖擊破壞及侵徹問題。

關(guān)鍵詞：混凝土板；剛性沖擊；近場動力學(xué)；改進PMB模型；非局部模型；裂紋模式

混凝土結(jié)構(gòu)廣泛用于工業(yè)、民用及軍工，為防止混凝土結(jié)構(gòu)受摧毀性打擊、遭破壞后及時修復(fù)，需對彈丸沖擊、侵徹混凝土結(jié)構(gòu)的破壞過程深入研究[1]?；炷两Y(jié)構(gòu)受沖擊、侵徹等動荷載時產(chǎn)生的損傷、破壞過程即結(jié)構(gòu)從連續(xù)體到非連續(xù)體的轉(zhuǎn)變過程[2-3]。試驗作為彈丸侵徹問題的研究方法往往耗資巨大，部分?jǐn)?shù)據(jù)不易獲得，難以準(zhǔn)確觀察沖擊現(xiàn)象細(xì)微過程。而數(shù)值計算成為研究侵徹問題的重要方法。傳統(tǒng)分析方法較難處理如靜動力裂紋擴展、沖擊破壞等不連續(xù)問題。研究表明，近場動力學(xué)以非局部、非連續(xù)特點，在分析不連續(xù)問題中具有巨大優(yōu)勢。

近場動力學(xué)(Peridynamics)方法作為非局部作用理論[4-5]，不再基于連續(xù)性假設(shè)與局部接觸作用假設(shè)建模及通過空間微分方程求解問題，而將物體離散為空間域內(nèi)一系列含材料所有物性信息、無幾何聯(lián)系、有質(zhì)量的物質(zhì)點(Material Point)，基于非局部作用思想建模，采用積分形式基本方程分析求解，適用于物體連續(xù)或不連續(xù)任何區(qū)域，頗受關(guān)注。

Huang等[6]運用近場動力學(xué)方法研究均質(zhì)混凝土板的拉壓破壞問題。沈峰等[7]對有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)、無網(wǎng)格方法(MF)及離散元法(DEM)在模擬沖擊侵徹問題中的優(yōu)劣勢進行評述，并用近場動力學(xué)方法研究剛性小球沖擊混凝土板的破壞問題，但所用本構(gòu)力函數(shù)較簡單。Macek等[8]用近場動力學(xué)與有限元耦合方法研究剛性球形彈丸撞擊、貫穿韌性鋁板問題。Demmie等[9]用近場動力學(xué)方法研究飛機撞擊鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)問題，通過發(fā)展近場動力學(xué)氣體模型，研究炸藥爆炸、彈頭破碎等問題。

本文通過對近場動力學(xué)模型中微觀彈脆性模型的本構(gòu)力函數(shù)進行改進，給出剛性體與變形體沖擊問題的接觸算法，并驗證簡支梁受彈性變形及經(jīng)典的Kalthoff-Winkler試驗。對剛性彈丸侵徹混凝土矩形板的破壞過程進行詳細(xì)數(shù)值模擬，獲得混凝土板損傷累積、裂紋擴展直至破壞的全過程。

1基于鍵作用的近場動力學(xué)方法

1.1基本運動方程

由圖1，x,x′為參考構(gòu)型物質(zhì)點坐標(biāo)矢量；y,y′為t時刻構(gòu)型物質(zhì)點坐標(biāo)矢量；u,u′為t時刻構(gòu)型中物質(zhì)點位移矢量；ξ為物質(zhì)點位置矢量；η為物質(zhì)點位移矢量，且有

y=x+u,y′=x′+u′,ξ=x′-x,η=u′-u

(1)

近場動力學(xué)理論中物質(zhì)點受近場范圍(Horizon)內(nèi)所有其它物質(zhì)點共同作用，以非局部作用積分項取代傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論運動方程中散度算子項，得基本運動方程為

圖1　物質(zhì)點間相互作用及變形示意圖Schematic of interaction between material points and deformation process

1.2微觀彈脆性(PMB)模型

物質(zhì)點間通過本構(gòu)力函數(shù)作用，該函數(shù)構(gòu)造為近場動力學(xué)建模首要問題。適合各向同性材料微觀彈脆性模型(PMB)[10]本構(gòu)力函數(shù)為

(3)

引入歷史依賴標(biāo)量函數(shù)μ，表征物質(zhì)點對破壞

(4)

定義近場動力學(xué)損傷值為物質(zhì)點近場范圍內(nèi)斷鍵數(shù)與鍵總數(shù)之比，即

(5)

求解彈性問題時不考慮損傷產(chǎn)生，將s0置為無窮大；考慮破壞問題時可建立臨界伸長率s0與能量釋放率GF的聯(lián)系，獲得“鍵”斷開的具體指標(biāo)。

1.3PMB模型中改進的本構(gòu)力函數(shù)

PMB模型中微觀模量c為常數(shù)，無法反映長程力的空間分布規(guī)律，影響計算精度。本文提出能反映物質(zhì)點間長程力基本特性的本構(gòu)力函數(shù)。近場動力學(xué)本構(gòu)力函數(shù)需滿足的基本性質(zhì)為：①遞減變化規(guī)律，即本構(gòu)力值隨物質(zhì)點間相對距離增大而減??；②有限值，即點對極限距離趨于零時本構(gòu)力達(dá)有限最大值，近場范圍邊界達(dá)零值，近場區(qū)域外為零；③對稱性，即本構(gòu)力服從作用力與反作用規(guī)律。

以三維問題為例，構(gòu)型在各向均勻拉伸荷載作用下發(fā)生純體積改變時，有各向均勻應(yīng)變ε1=ε2=ε3=ε0，此時彈性應(yīng)變能密度為

(6)

變形狀態(tài)對應(yīng)的近場動力學(xué)中有s=ε0，以球坐標(biāo)形式表示的應(yīng)變能密度為

(7)

由VV,el=VV,pd，推導(dǎo)得

(8)

同三維模型推導(dǎo)過程，對二維平面應(yīng)力問題(單位厚度)，推導(dǎo)得

(9)

式中：λ,G為拉密常數(shù)；E為彈性模量；ν為泊松比；w為發(fā)生位移時一個“鍵”存儲的能量密度。

2近場動力學(xué)方法數(shù)值實現(xiàn)

2.1局部阻尼引入

為利用近場動力學(xué)方法求解準(zhǔn)靜力問題，考慮傳統(tǒng)動力學(xué)的動態(tài)松弛法，在運動方程中引入局部阻尼項[12]，即

(10)

式中：C為人工阻尼系數(shù)，大小主要影響求解收斂速度、收斂方式，但對定量計算精度影響不大；其它變量同前。

2.2離散形式

按近場動力學(xué)方法進行空間離散，對節(jié)點xi考慮近場范圍內(nèi)(‖xp-xi‖≤δ)的相互作用，動力學(xué)基本方程離散為

(11)

(12)

(13)

(14)

2.3剛性體與非剛性體沖擊接觸算法

研究剛性彈丸沖擊變形體時，為實現(xiàn)沖擊接觸作用且不發(fā)生彈丸與靶體相互滲透，采用以下方法[11]：

剛性彈丸初速度為v0，靶體變形遵循近場動力學(xué)運動方程；靶體物質(zhì)點位置更新滯后于彈丸運動，接觸后彈丸與靶體發(fā)生滲透；為反映沖擊接觸真實物理過程，與彈丸疊合物質(zhì)點需更新位置；更新過程將疊合物質(zhì)點移動最短距離到彈丸外部，且物質(zhì)點與彈丸表面距離最近，見圖2。該過程反映任意時刻t彈丸與靶體間形成接觸面，能刻畫物體沖擊接觸問題。

圖2　剛性體與可變形體接觸中物質(zhì)點位置更新示意圖Fig.2 Relocation of material points inside a target deformable body to represent contact with the rigid projectile

(15)

t+Δt時刻物質(zhì)點xk對彈丸作用力為

(16)

t+Δt時刻彈丸所受合力為

(17)

2.4物質(zhì)點間短程排斥力

模擬靶體物質(zhì)點運動狀態(tài)時為防止靶體物質(zhì)點出現(xiàn)相互滲透等非物理變形現(xiàn)象，需增加短程排斥力項，即

fs(y′,y)=

(18)

(19)

3數(shù)值驗證

據(jù)近場動力學(xué)理論方法編制近場動力學(xué)計算程序，分析簡支梁靜力變形及Kalthoff-Winkler試驗。

3.1簡支梁受集中荷載作用

矩形截面簡支梁在跨中受集中力作用，用本文改進的PMB二維平面應(yīng)力(取單位厚度)模型分析變形。簡支梁長1 m，高0.1 m；梁上邊緣中點承受大小1 kN、垂直向下的集中荷載；設(shè)材料為均勻、各向同性的彈脆性材料，彈性模量E=20 GPa，泊松比υ=1/3。

靜力分析中用2 mm×2 mm方形晶格均勻離散，共離散成25 551個物質(zhì)點；將簡支梁兩端下部角隅處各約束1個物質(zhì)點，左端水平、豎直向均固定；右端只約束豎直向位移，在上表面中點處物質(zhì)點施加集中力1 kN；顯式動力迭代時間步長取Δt=4×10-7s，人工阻尼系數(shù)為C=106，共計算4萬步。

為便于比較、驗證本模型計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，有限元解、具有常微觀模量的PMB解、本文解及理論解所得梁中性軸豎向位移分布曲線見圖3。由圖3可知，PD解與理論解吻合良好，計算誤差小于有限元解，較常微觀模量PMB模型，本文改進的PMB模型計算結(jié)果更接近理論解。

圖3　簡支梁中性軸撓度曲線Fig.3 Deflection of neutral axis of simply supported beam

3.2三維Kalthoff-Winkler試驗[14-15]

該試驗用剛性柱體撞擊馬氏體時效鋼靶，為典型的動力斷裂問題，幾何模型見圖4(a)。馬氏體時效鋼指以無碳或微碳的鐵鎳馬氏體為基體，經(jīng)時效能產(chǎn)生金屬間化合物沉淀硬化的超高強度鋼[16]，具有強度高、斷裂韌性強、高溫力學(xué)性能優(yōu)異、表面硬度及疲勞極限高等力學(xué)性能。試驗結(jié)果表明，剛性柱體撞擊馬氏體時效鋼靶體時產(chǎn)生壓縮應(yīng)力波，并與裂尖相互作用，產(chǎn)生ΙΙ型開裂，恰當(dāng)選取撞擊速度可從裂尖起裂，發(fā)生剪切與拉伸混合型開裂，形成約68°的裂紋擴展角。能否成功模擬該試驗已成為判斷數(shù)值方法對脆性材料動力斷裂問題適用性手段。本文選材料彈性模量E=191 GPa，泊松比υ=1/4，質(zhì)量密度ρ=8 000 kg/m3，材料臨界伸長率取s0=0.015；剛性柱體彈丸質(zhì)量m=1.57 kg，初速度為-32 m/s。馬氏體時效鋼共均勻離散178 200個立方體晶格，尺寸1 mm×1 mm×1 mm，單晶格體積1×10-9m3；顯式動力迭代時間步長取Δt=8×10-8s，共計算4千步。近場動力學(xué)模擬結(jié)果見圖4(b)～4(c)。在沖擊剪切作用下預(yù)制裂紋裂尖產(chǎn)生損傷，累積到一定程度后發(fā)生裂尖起裂并在剪切與拉伸共同作用下不斷開裂，形成約67°擴展角的裂紋。以損傷值φ=0.35作為開裂判據(jù)，裂紋起裂時間約為28.56 μs，擴展完成時間為91.52 μs，試驗獲得起裂時間略低于29 μs；PD模擬與試驗所得裂紋起裂時間、擴展角高度一致。

該問題的瑞利波速(Rayleigh Wave Speed)為2 799.2 m/s，PD模擬的裂紋傳播速度與其它數(shù)值方法模擬結(jié)果[17-18]見圖5。由圖5看出，因物質(zhì)點尺寸較大，PD模擬計算的波速波動較大，但與其它兩種數(shù)值方法總體趨勢一致。

以上分析表明，PD方法能較好刻畫馬氏體時效鋼的裂紋擴展、撞擊破壞全過程，亦驗證近場動力學(xué)方法在模擬動力斷裂問題的適用性。

圖4　Kalthoff-Winkler試驗Fig.4 Kalthoff-Winkler experiment

圖5　馬氏體時效鋼裂尖傳播速度Fig.5 The crack propagation speed of Maraging steel

4剛性小球侵徹混凝土板過程模擬

用近場動力學(xué)方法及本文改進的本構(gòu)力函數(shù)模擬剛性小球侵徹撞擊混凝土板問題。

4.1計算模型

設(shè)混凝土為均勻、各向同性的脆彈性材料，彈性模量E=30 GPa，泊松比υ=1/4，能量釋放率GF=175 MN/m，質(zhì)量密度ρ=2 400 kg/m3；混凝土板幾何參數(shù)：長200 mm，寬100 mm，板厚20 mm；剛性小球半徑10 mm，質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3；小球初速度分別為10 m/s、20 m/s、50 m/s、100 m/s，垂直撞擊混凝土板上表面中心。

近場動力學(xué)模型中混凝土板離散為均勻立方體晶格，尺寸2 mm×2 mm×2 mm，共離散為56 661個物質(zhì)點，每個粒子體積為8×10-9m3；顯式動力迭代時間步長取Δt=1×10-7s，共計算5 000步。

4.2計算結(jié)果與分析

計算所得剛性小球撞擊混凝土板損傷累積、破壞漸進過程。4種不同沖擊速度、侵徹初始至2 200時間步時(間隔200時步)混凝土板損傷及破壞見圖6～圖9。其中淺色表示損傷度為1即物質(zhì)點處于完全損傷狀態(tài)，深色表示損傷度為0即物質(zhì)點處于無損狀態(tài)。

圖6　彈丸侵徹下的混凝土板損傷破壞過程(v=10 m/s)Fig.6 The damage progression of a concrete slabsubjected to rigid projectile(v=10 m/s)

圖7　彈丸侵徹下混凝土板損傷破壞過程(v=20 m/s)Fig.7 The damage progression of a concrete slab subjected to rigid projectile(v=20 m/s)

圖8　彈丸侵徹下的混凝土板損傷破壞過程(v=50 m/s)Fig.8 The damage progression of a concreteslab subjected to rigid projectile(v=50 m/s)

圖9　彈丸侵徹下的混凝土板損傷破壞過程(v=100 m/s)Fig. 9 The damage progression of a concrete slab subjected to rigid projectile(v=100 m/s)

由4圖看出，小球撞擊靶板正面后產(chǎn)生向靶板背面?zhèn)鞑サ膲嚎s應(yīng)力波，彈著點附近呈壓碎現(xiàn)象，產(chǎn)生壓縮破壞漏斗(彈坑)；反射拉伸應(yīng)力波與運動壓縮波共同作用致物質(zhì)點間作用弱化，產(chǎn)生錐形體(圓臺體)損傷區(qū)域，并伴隨大量微裂紋開裂損傷逐漸累積，隨沖擊過程進行裂紋擴展、貫通，形成錐形體沖切表面及沖切區(qū)域，沖切區(qū)內(nèi)由于拉壓應(yīng)力波共同作用發(fā)生破碎出現(xiàn)粒子飛濺脫離現(xiàn)象；錐形體界面為薄弱界面，有大量微裂紋產(chǎn)生、擴展，貫通形成數(shù)條徑向裂縫，并由錐形體表面向靶板正面擴展，擴展同時徑向主裂紋發(fā)生分叉產(chǎn)生次級裂紋，次級裂紋與其它微裂紋共同擴展貫通為環(huán)向裂紋。

在彈丸沖擊靶板問題中，靶板厚度與沖擊速度不同組合會使靶板形成4種破壞形態(tài)，即沖擊彈坑、沖擊震塌、沖擊貫穿、沖擊沖切[19-20]。本例中因靶板較薄，彈丸對混凝土板皆為穿透性沖擊，產(chǎn)生的表面彈坑與靶板背面震塌漏斗交匯，無明顯沖擊貫穿過程，故混凝土靶板主要表現(xiàn)為沖擊沖切破壞形態(tài)，形成錐形體或圓臺體沖切破壞區(qū)域，沖切部分內(nèi)部發(fā)生大量破碎；彈著點附近發(fā)生混凝土壓縮破碎、出現(xiàn)表面彈坑，并伴碎片粒子反向飛濺。而不同速度下沖切區(qū)域大小無顯著差別，但彈坑深度及周圍破碎程度受彈丸速度變化影響明顯，彈坑大小與破碎程度及沖擊接觸區(qū)域碎片反向飛濺數(shù)量與劇烈程度均隨撞擊速度增大而變大。

不同沖擊速度下2 400時間步時混凝土板彈著點所在面及彈丸出面破壞見圖10。由圖10看出，撞擊速度不同混凝土板破壞形態(tài)亦不同，速度越大徑向、環(huán)向裂紋數(shù)目越多，破碎程度越劇烈；彈丸出露面破壞較彈著點所在面更嚴(yán)重。此因彈丸在靶體內(nèi)產(chǎn)生球面壓縮波，致彈著點附近一定范圍內(nèi)混凝土被擠壓、粉碎，而壓縮波到靶板背面產(chǎn)生反射拉伸波，靶板出現(xiàn)徑向、環(huán)向裂紋，裂紋貫通使部分塊體從靶體脫落，形成震塌漏斗坑，產(chǎn)生大量粒子飛濺脫離。

圖10　混凝土板受不同速度彈丸沖擊作用上下表面破壞圖(t=2 400)Fig.10 The top and bottom monolayers of concrete slabs showing fragmentation with different velocity (t=2 400)

定義結(jié)構(gòu)所有物質(zhì)點損傷值之和與物質(zhì)點數(shù)目比值為該結(jié)構(gòu)累積總損傷量。彈丸不同初始速度下混凝土板累積損傷變化過程見圖11。由圖11看出，侵徹開始時混凝土板損傷量迅速增大；彈丸速度越大損傷量越大，破壞越劇烈，損傷量增幅亦越大；隨侵徹過程進行損傷量增加到一定程度后增量趨于平緩；彈丸貫穿混凝土板后損傷量仍有一定增加。速度為100 m/s時損傷量約為0.687，速度為10 m/s時損傷量僅0.164?？梢?，彈丸速度對靶板損傷程度影響較大，速度越大貫穿混凝土板時間越短，破壞程度越大。

圖11　不同初始速度彈丸侵徹下混凝土板累積損傷變化Fig.11 The accumulated damage evolution of concrete slabs with different velocity

彈丸初速度150 m/s及200 m/s時混凝土板最終損傷量值及彈丸殘余速度與不同初速度關(guān)系曲線見圖12。由圖12看出，彈丸初速度越大混凝土板最終損傷量值越大，破壞程度越大，且彈丸殘余速度與彈丸初速度成正比。

圖12　彈丸殘余速度及混凝土板總損傷量與彈丸初始速度關(guān)系Fig.12 Relationship between residual velocity and initial velocity, and relationship between accumulated damage and initial velocity

5結(jié)論

通過改進近場動力學(xué)方法微觀彈脆性模型，提出反映長程力空間變化規(guī)律的本構(gòu)力函數(shù)，給出剛性體與變形體沖擊問題接觸算法，編制近場動力學(xué)計算程序，驗證簡支梁變形與經(jīng)典Kalthoff-Winkler試驗，并對剛性球形彈丸侵徹混凝土矩形板破壞過程進行數(shù)值模擬，結(jié)論如下：

(1)本文方法能獲得剛性球形彈丸侵徹混凝土矩形板破壞過程，即混凝土板彈著點附近彈坑大小、混凝土破碎程度、板累積總損傷量及破壞程度均隨沖擊速度增大而增大。不同沖擊速度下裂紋形態(tài)差異顯著，低速時混凝土板裂紋數(shù)較少，且徑向裂紋明顯，破碎程度較低；高速時混凝土板裂紋數(shù)多、環(huán)向裂紋多、破碎程度高；彈丸殘余速度與初始沖擊速度成正比。

(2)對彈丸侵徹混凝土板的極限分析包括確定薄板厚度與極限貫穿速度定量關(guān)系及混凝土板背部出現(xiàn)剝離的極限速度等。由于目前近場動力學(xué)模型只考慮物質(zhì)點對的中心作用，忽略物質(zhì)點所處環(huán)境影響，故需進一步研究近場動力學(xué)狀態(tài)理論[21]。本文所提方法為模擬混凝土結(jié)構(gòu)沖擊破壞、侵徹問題的有效方法。

參 考 文 獻

[1] 劉海峰,寧建國. 沖擊荷載作用下混凝土動態(tài)本構(gòu)模型的研究[J]. 工程力學(xué), 2008, 25(12):135-140.

LIU Hai-feng, NING Jian-guo. Dynamic constitutive model of concrete subjected to impact loading[J]. Engineering Mechanics, 2008, 25(12): 135-140.

[2] 劉凱欣,鄭文剛,高凌天. 脆性材料動態(tài)破壞過程的數(shù)值模擬[J]. 計算力學(xué)學(xué)報, 2003, 20(2):127-132.

LIU Kai-xin,ZHENG Wen-gang,GAO Ling-tian. Numerical simulation for the dynamic failure process in brittle materials[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2003,20(2):127-132.

[3] 張德海,朱浮聲,邢紀(jì)波. 彈丸侵徹?zé)o鋼筋混凝土的數(shù)值模擬[J]. 巖土力學(xué),2006, 27(7): 1143-1152.

ZHANG De-hai, ZHU Fu-sheng, XING Ji-bo. Numerical simulation of projectile penetrating into plain concrete[J]. Rock and Soil Mechanics, 2006, 27(7):1143-1152.

[4] Silling S A. Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2000, 48: 175-209.

[5] 黃丹,章青,喬丕忠,等. 近場動力學(xué)方法及其應(yīng)用[J]. 力學(xué)進展, 2010, 40(4): 448-459.

HUANG Dan, ZHANG Qing, QIAO Pi-zhong,et al. A review on peridynamics method and its application[J]. Advance in Mechanics, 2010, 40(4): 448-459.

[6] Huang D, Zhang Q, Qiao P Z. Damage and progressive failure of concrete structures using non-local peridynamic modeling[J]. Science China Technological Sciences, 2011, 54(3): 591-596.

[7] 沈峰,章青,黃丹,等. 沖擊荷載作用下混凝土結(jié)構(gòu)破壞過程的近場動力學(xué)模擬[J]. 工程力學(xué), 2012, 29(A01): 12-15.

SHEN Feng, ZHANG Qing, HUANG Dan, et al. Peridynamics modeling of failure process of concrete structure subjected to impact loading[J]. Engineering Mechanics, 2012, 29(A01): 12-15.

[8] Macek R W, Silling S A. Peridynamics via finite element analysis[J]. Finite Elements in Analysis and Design, 2007, 43(15): 1169-1178.

[9] Demmie P, Silling S. An approach to modeling extreme loading of structures using peridynamics[J]. Journal of Mechanics of Materials and Structures, 2007, 10(2):1921-1945.

[10] Silling S A, Askari E. A meshfree method based onthe peridynamic model of solid mechanics[J].Computers and Structures, 2005, 83(17/18), 1526-1535.

[11] Madenci E, Oterkus E. Peridynamic theory and its applications[M].Berlin:Springer, 2014.

[12] Kilic B. Peridynamic theory for progressive failure prediction in homogeneous and heterogeneous materials [D].Tucson, AZ:The University of Arizona, 2008.

[13] Parks M L, Seleson P, Plimpton S J, et al. Peridynamics with lammps: a user guide V0.3 beta[R]. Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM, 2011.

[14] Kalthoff J F, Winkler S. Failure mode transition at high rates of shear loading[J]. DGM Informationsgesellschaft MbH, Impact Loading and Dynamic Behavior of Materials, 1988, 1: 185-195.

[15] Kalthoff J F, Bürgel A. Influence of loading rate on shear fracture toughness for failure mode transition[J]. International Journal of Impact Engineering, 2004,30(8): 957-971.

[16] 尹航,李金許,宿彥京,等. 馬氏體時效鋼的研究現(xiàn)狀與發(fā)展[J]. 鋼鐵研究學(xué)報, 2014, 26(3): 1-4.

YIN Hang, LI Jin-xu, SU Yan-jing, et al. Curent situation and development of Maraging steel[J]. Journal of Iron and Steel Research, 2014, 26(3): 1-4.

[17] Belytschko T, Chen H, Xu J, et al. Dynamic crack propagation based on loss of hyperbolicity and a new discontinuous enrichment[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2003,58(12): 1873-1905.

[18] Song J H, Areias P, Belytschko T. A method for dynamic crack and shear band propagation with phantom nodes[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 67(6): 868-893.

[19] 寧建國,王成,馬天寶. 爆炸與沖擊動力學(xué)[M].北京：國防工業(yè)出版社, 2010.

[20] 董軍,鄧國強,楊科之,等. 彈丸對混凝土薄板的沖擊破壞效應(yīng)[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2005, 24(4): 713-720.

DONG Jun, DENG Guo-qiang, YANG Ke-zhi, et al. Damage effect of thin concrete slabs subjected to projectile impact[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005, 24(4): 713-720.

[21] Silling S A, Epton M, Weckner O, et al. Peridynamic states and constitutive modeling[J]. Journal of Elasticity, 2007, 88: 151-184.

Peridynamics used in solving penetration problem of concrete slabs

GUXin,ZHANGQing,HUANGDan

(College of Mechanics and Materials, Hohai University, Nanjing 211100, China)

Abstract:Peridynamics uses uniform spatial-integral and time-differential equations to describe materials and structures in both continuous and discontinuous areas. It is a nonlocal extension of continuum mechanics and a new meshfree numerical method. The pairwise constitutive function widely used in PMB model was modified, and an algorithm for impact contact between rigid projectile and deformable body was proposed. The peridynamic method was validated through the deformation of a simply supported beam and the well-known Kalthoff-Winkler experiment. Furthermore, concrete slabs subjected to rigid projectile impact were simulated. The simulation results reveal explicitly the final failure patterns of concrete slabs and the whole process of concrete failure from the damage accumulation to the final failure. The numerical simulations illustrate that the modified peridynamic model is reasonable and reliable, and peridynamics is an effective method in simulating the impact problems of concrete structures.

Key words:concrete slab; rigid impact; peridynamics; modified PMB model; nonlocal model; cracking pattern

中圖分類號:O34; O347

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.009

通信作者章青 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年5月生

收稿日期：2014-11-19修改稿收到日期：2015-04-03

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11372099;11132003;51179064);江蘇省自然科學(xué)基金(BK20151493)

第一作者 顧鑫 男，博士生，1991年1月生