復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力波傳播特性研究

馮勇明， 周　麗， 楊建元， 袁晚春

(1.北京航空工程技術(shù)研究中心，北京　100076； 2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京　210016)

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復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力波傳播特性研究

馮勇明1,2， 周麗2， 楊建元1， 袁晚春2

(1.北京航空工程技術(shù)研究中心，北京100076； 2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016)

摘要：基于鐵木辛柯梁理論，研究含半無限大分層復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)中波的反射與透射?？紤]表面無接觸壓力(張開分層)及表面完全接觸(閉合分層)兩種極端分層條件，對單向復(fù)合材料梁建模導(dǎo)出反射與透射矩陣，計算能量反射與透射系數(shù)。數(shù)值結(jié)果表明，能量反射與透射系數(shù)同隨波頻率及分層位置變化，能量傳輸遵循守恒定律。研究各模態(tài)能量分配，描述前兩階彎曲波及第一階膨脹波間模態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系；通過有限元仿真驗(yàn)證該理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：分層；反射與透射；能量傳輸；能量分配

分層作為復(fù)合材料最易出現(xiàn)的損傷形式，不僅會導(dǎo)致剛度下降，且會影響結(jié)構(gòu)承載能力、完整性、振動特性及穩(wěn)定性，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。文獻(xiàn)[1-2]分析含分層及不均質(zhì)梁結(jié)構(gòu)的振動問題，但僅限于含分層梁的振動特性(如固有頻率、振型)。研究表明，分層損傷引起的前幾階固有頻率及模態(tài)參數(shù)改變不敏感。當(dāng)瞬態(tài)波在含分層梁結(jié)構(gòu)中傳播時[3-4]，由損傷區(qū)域產(chǎn)生的反、透射波會攜帶損傷諸多本質(zhì)屬性。文獻(xiàn)[5-6]研究彎曲波在分層梁中的傳播，因分層引起總體彎曲剛度下降，分層區(qū)域彎曲波波速也會減小。Ostachowicz等[7]建立分層梁的有限元譜分析模型，獲得由分層損傷引起的額外波包即反射波信號，但未考慮分層區(qū)域子梁間相互作用。以上文獻(xiàn)均未考慮瞬態(tài)波能量傳輸問題，而其中往往含較多用于識別損傷的信息。文獻(xiàn)[8-9]分別由理論、試驗(yàn)研究梁結(jié)構(gòu)的能量傳輸，但未進(jìn)一步研究入射波與反射波及透射波關(guān)系。Bazer等[10]導(dǎo)出含分階面的三維介質(zhì)中平面波能量流通解，由分界面、邊界處微分方程獲得平面反、透射波，考慮能量平衡問題，入射波能量流等于反射波與透射波能量流之和，驗(yàn)證能量守恒。Wang等[11]研究含分層或不均質(zhì)各項(xiàng)同性梁的波傳播問題，但只考慮分層閉合情況，數(shù)值計算只給出對稱分層用于不均質(zhì)比較。因此，全面研究瞬態(tài)波在復(fù)合材料梁分層處的反、透射及模態(tài)轉(zhuǎn)換非常必要。

本文基于鐵木辛柯梁理論，用譜分析方法描述含半無限大分層復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)中波動，見圖1。對分層區(qū)域用兩種極端情況模擬波動過程中分層表面的應(yīng)力條件，即①設(shè)分層表面完全張開，表示分層后的兩根子梁之間無接觸壓力，進(jìn)入子梁中的透射波不會相互干擾；②設(shè)分層表面完全閉合，表明在分層表面存在接觸壓力，且兩根子梁耦合在一起。

圖1　半無限大分層梁中瞬態(tài)波的傳播 Fig.1 Transient wave propagation in beams containing semi-infinite crack

1彌散關(guān)系

以梁軸向?yàn)閤軸建立笛卡兒坐標(biāo)系，基于鐵木辛柯梁理論，復(fù)合材料梁的位移可描述為

(1)

式中：u(x,t)為梁軸向位移；ψ(x,t)為梁截面繞y軸轉(zhuǎn)角：w(x,t)為梁橫向(z向)位移。

據(jù)式(1)，應(yīng)變分量可寫為

εx=u,x+zψ,x，γxz=w,x+ψ

(2)

對稱鋪層復(fù)合材料梁平衡方程可表示為

(3)

對單層正交各項(xiàng)異性復(fù)合材料，其剛度矩陣為

(4)

由于梁厚度方向的剪應(yīng)變視為常量，引入剪切校正因子κ使橫向剪力與實(shí)際情況相符。考慮y向平面應(yīng)變梁，本構(gòu)關(guān)系可簡化為

σx=C11εx，τxz=κ2C55γxz

(5)

式中：κ2=π2/12為橫向剪切校正因子。

N=A11u,x,V=κ2A55(w,x+ψ),M=D11ψ,x

(6)

式中：A11，A55，D11為拉伸、剪切、彎曲剛度，分別定義為

(7)

式(3)可表述為位移微分方程，即

(8)

對平面波解，位移可表達(dá)為

u=U0ei(kx-ωt)，w=W0ei(kx-ωt)，ψ=Ψ0ei(kx-ωt)

(9)

彎曲波動彌散關(guān)系可通過式(8)獲得，即

(κ2A55k2-I1ω2)(D11k2+κ2A55-I2ω2)-

(10)

式(10)有4個解，分別為

(11)

低頻范圍內(nèi)鐵木辛柯梁存在一對傳播波(正、反向傳播)加兩個耗散波(近場波)。該對傳播波(k為實(shí)數(shù))稱為最低彎曲模態(tài)A0波。兩近場波(k為純虛數(shù))可視為沿正、反向衰減的耗散波。載波頻率超過截止頻率時兩對傳播波(兩列正向傳播，兩列反向傳播)同時存在，稱為A0，A1模態(tài)。即隨頻率增加其中一列非傳播波衰減越慢，最終變?yōu)閭鞑ゲ?；A1模態(tài)截止頻率可令k2= 0獲得，即

ωc=κcs/q

(12)

相速度、群速度分別描述為

cp=ω/k,cg=dω/dk

(13)

頻率接近無窮大時波速變?yōu)榉菑浬?，兩階彎曲波群速度可據(jù)式(10)、(13)簡化為

cg1=κcs,cg2=cl,ω→∞

(14)

可見兩群速度值與梁厚無關(guān)。

式(8)第2、3式的通解可寫為

(15)

對基于鐵木辛柯梁理論的非彌散膨脹波，波數(shù)可表達(dá)為

(16)

2入射與反射系數(shù)

一列入射波傳播到不連續(xù)分界點(diǎn)處(分層尖端)時將部分反射回去、部分透射過去。而反射波與透射波幅值及相位均由反射、透射系數(shù)確定。在單向復(fù)合材料梁遠(yuǎn)場處激勵的彎曲波視為入射波，其可同時產(chǎn)生傳播波(k為實(shí)數(shù))及近場波(k為純虛數(shù))?？紤]張開、閉合兩種極端分層條件分別導(dǎo)出反、透射系數(shù)。

2.1張開分層

考慮分層梁結(jié)構(gòu)(圖1(a))，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在分層尖端。整梁可分為左右兩區(qū)域，左區(qū)域?yàn)槲捶謱訁^(qū)域并含入、反射波；右邊分層區(qū)域可視為由上下兩子梁組成，由于分層表面張開的，兩子梁互不干擾。故分層區(qū)域只存在正向傳播的透射波。

考慮一列沿x正向傳播的彎曲波，在梁左區(qū)域(x≤0)波場由正向傳播的入射波w0及反向傳播的反射波ψ0組成，而在分層尖端處除彎曲波反、透射現(xiàn)象亦會出現(xiàn)轉(zhuǎn)換的膨脹波模態(tài)。左區(qū)域內(nèi)反方向傳播的膨脹波u0可描述為

(17)

為書寫簡潔、推導(dǎo)方便，省略時間指數(shù)項(xiàng)e-it。當(dāng)激勵頻率低于截止頻率時(ω<ωc)，第二階彎曲波為耗散波，波數(shù)k2為純虛數(shù)?？紤]反射波場趨于無限遠(yuǎn)處(x→-∞)時為有限值，波數(shù)k2應(yīng)選負(fù)號。系數(shù)a，b代表入射波前兩階彎曲模態(tài)幅值并取決于具體加載方式。在低頻區(qū)域內(nèi)入射波中第二階彎曲波為耗散波，不會傳播能量，且幅值沿x向成指數(shù)下降，最后消失。

在右邊區(qū)域(x≥0)，u1，w1，ψ1，u2，w2，ψ2描述兩子梁位移場，下標(biāo)1，2分別標(biāo)識上、下面子梁。在該區(qū)域只有透射波存在，因此整個位移場通解可描述為

(18)

式中：上標(biāo)(1)、(2)分別表示每根子梁的不同參數(shù)及位移分量。此參數(shù)可通過子梁剛度、密度、轉(zhuǎn)動慣量等參數(shù)求得。

據(jù)式(16)，膨脹波波數(shù)與厚度無關(guān)，即ke=ke(1)=ke(2)。

為表示反射波與透射波幅值引入9個未知變量，即ar，br，cr，at(1)，bt(1)，ct(1)，at(2)，bt(2)，ct(2)，可由反、透射系數(shù)矩陣與已知入射波聯(lián)系。通過在分層尖端(x=0)的位移連續(xù)條件及平衡條件建立方程組，即

(19)

將式(17)、(18)結(jié)合式(6)代入式(19)，得矩陣表達(dá)式為

(20)

由式(20)可導(dǎo)出聯(lián)系反、透射波與入射波間直接關(guān)聯(lián)表達(dá)式為

(21)

反射系數(shù)矩陣分量描述前兩階彎曲模態(tài)與第一階膨脹模態(tài)間轉(zhuǎn)換關(guān)系，如R12表示由二階彎曲模態(tài)入射波轉(zhuǎn)換為一階彎曲模態(tài)反射波系數(shù)。同樣，透射系數(shù)矩陣亦描述各模態(tài)間轉(zhuǎn)換系數(shù)。彎曲波進(jìn)入分層區(qū)域后同時出現(xiàn)彎曲波與膨脹波，其二者間的轉(zhuǎn)換值得研究，且轉(zhuǎn)換率隨激勵頻率、分層位置而變化。

2.2閉合分層

(22)

接觸壓力p可通過將式(22)中第1式與第3式相加消去，合成為

(23)

設(shè)平面波位移場為

(24)

將式(24)代入式(23)及式(22)第2、4式中，分層區(qū)域彌散關(guān)系可描述為

(25)

由于子梁間耦合效應(yīng)，分層區(qū)域有3個彎曲模態(tài)，兩截止頻率可通過式(25)中令波數(shù)為0獲得，即

(26)

當(dāng)頻率接近無窮大時3階彎曲模態(tài)的群速度解析表達(dá)式可由式(13)、(25)導(dǎo)出

(27)

對矩形截面單向復(fù)合材料梁，其橫、縱波速度在分層、未分層區(qū)域均一致，且可認(rèn)為單層復(fù)合材料中橫、縱波速度，只與材料密度、剛度有關(guān)。因此，分層區(qū)域兩截止頻率與3個群速度在頻率趨于無限大時可寫為

(28)

顯然，式(28)第1式表明兩截止頻率與張開分層條件下兩單獨(dú)子梁一階截止頻率時一致。通過比較式(28) 第2式與式(14)，兩種條件下彎曲模態(tài)群速度具有相同趨勢。

在閉合分層區(qū)域正向傳播的透射波位移場通解可描述為

(29)

式中

: Gj=-iκ2A(1)55k^jI(1)2ω2-D(1)11k^2j-κ2A(1)55

兩子梁的膨脹波模態(tài)與張開分層條件下一致。8個未知變量ar，br，cr，at，bt，dt，ct(1)，ct(2)可通過分層尖端(x=0)處連續(xù)、平衡條件確定，即

(30)

將式(17)、(29)結(jié)合式(6)代入式(30)，用矩陣描述為

(31)

反、透射波與入射波間關(guān)聯(lián)表達(dá)式為

(32)

式中：R3×2，T5×2為反、透射系數(shù)矩陣。

對完全接觸的分層表面，透射系數(shù)矩陣含三階耦合的彎曲模態(tài)與兩子梁兩階膨脹模態(tài)。因此，模態(tài)轉(zhuǎn)換系數(shù)與張開分層條件下有所不同。

3能量反射與透射

波傳播過程中不斷傳輸能量，在單位時間內(nèi)流進(jìn)一個截面的能量應(yīng)等于流出能量。能量傳播速度或稱為能量流可通過作用于截面的內(nèi)力做功速率給出。在時間周t0上基于鐵木辛柯梁的平均能量流〈P〉(波陣面單位長度)可描述為

(33)

在未分層區(qū)域同時存在入、反射波，由于入射波中無膨脹模態(tài)，式(33)中第3項(xiàng)為0，只存在兩階彎曲模態(tài)，對應(yīng)正實(shí)數(shù)波數(shù)k1,k2，且須在激勵頻率超過截止頻率時，否則k2為純虛數(shù)時不傳播能量。對應(yīng)波數(shù)k1的最低基礎(chǔ)彎曲模態(tài)，未分層區(qū)域入射波位移場為

(34)

將式(34)結(jié)合式(6)代入式(33)，得一個周期的第一階彎曲模態(tài)平均能量流為

(35)

第二階彎曲模態(tài)入射波可仿效式(35)獲得。將k1，F(xiàn)1，a代替為k2，F(xiàn)2，b，當(dāng)ω>ωc時，兩列傳播波同時存在，總?cè)肷洳ㄆ骄芰苛鳛?/p>

(36)

對進(jìn)入未分層區(qū)域的反射波，除兩階彎曲模態(tài)亦存在一階膨脹模態(tài)。因此，總反射波平均能量流為

(37)

式(37)中前兩項(xiàng)系數(shù)λ1，λ2與式(36)中一致，第3項(xiàng)為反射的膨脹波。

在半無限大分層區(qū)域，分別考慮入射波透射進(jìn)入張開、閉合分層內(nèi)。張開分層時每根子梁可視為較未分層區(qū)域具有不同剛度、厚度的獨(dú)立梁，因此，其透射波平均能量流可表達(dá)為

由于非傳播波不傳播能量，激勵頻率低于單根子梁截止頻率(ωc1,ωc2)時，式(38)中第二項(xiàng)為0。在閉合分層條件下兩子梁橫向位移相同并耦合，且存在三階彎曲模態(tài)，同時攜帶兩截止頻率(ωc1，ωc2)。兩截止頻率與張開分層條件下一致(見式(28)第1式)。對每階傳播模態(tài)，透射波平均能量流可按式(35)方法求得。而一階膨脹模態(tài)亦存在于閉合分層區(qū)域。因此，閉合分層區(qū)域總平均能量流可寫為

(39)

由于非傳播波不傳播能量，當(dāng)激勵頻率低于截止頻率ωc1或ωc2時式(39)第2項(xiàng)或第3項(xiàng)為0。由于反射波、透射波與入射波間通過反、透射系數(shù)矩陣聯(lián)系，故選b/a=1描述兩階相同幅值入射波入射下模態(tài)轉(zhuǎn)換。能量反、透射率定義為

(40)

由式(40)知，入射波在分層尖端通過反、透射后分三部分，即反射回未分層區(qū)域及透射進(jìn)分層區(qū)域每根子梁中。系數(shù)均為正值，且在0～1之間，描述梁的損傷信息。

模態(tài)轉(zhuǎn)換亦發(fā)生在分層梁的波動過程中，入射進(jìn)分層區(qū)域能量含彎曲波及膨脹波。通過定義能量分配率，可有效描述模態(tài)轉(zhuǎn)換，即

(41)

式中：分母為透射波總平均能量流；分子為進(jìn)入分層區(qū)域每個模態(tài)的平均能量流；上標(biāo)A0，A1，A2，S0表示不同傳播模態(tài)。

該系數(shù)表示出總透射波各模態(tài)能量分配。張開分層下存在兩階彎曲模態(tài)、一階膨脹模態(tài)，而閉合分層下有三階彎曲模態(tài)及一階膨脹模態(tài)，其余為A2模態(tài)。

4數(shù)值計算

本文數(shù)值計算采用IM7/5250-4石墨/環(huán)氧單向復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)，纖維方向與梁軸線平行，橫截面為矩形。IM7/5250-4材料特性見表 1。

復(fù)合材料梁未分層區(qū)域及閉合分層區(qū)域彌散關(guān)系見圖2。其中分層位于h1/h=0.4處，上標(biāo)0、D分別表示未分層、分層區(qū)域。由圖2(a)看出，分層與未分層的A0模態(tài)在整個頻域內(nèi)較相近，而頻率低于0.3ωc時分層后A0模態(tài)有一定下降，見圖2(b)，此為分層導(dǎo)致彎曲剛度下降引起。此外，兩A0模態(tài)均隨頻率趨于無限大趨向定值(κcs)。由于閉合分層區(qū)域的耦合效應(yīng)，引入一階彎曲模態(tài)(A2)，且出現(xiàn)兩個截止頻率，分層后子梁較未分層區(qū)域變薄，使兩截止頻率均高于未分層區(qū)的截止頻率。3個截止頻率將整個頻域分成4個區(qū)域(圖2(a))，隨頻率增高后兩階分層彎曲模態(tài)同未分層第二階彎曲模態(tài)，均趨于相同定值(cl)。

表1　IM7/5250-4 材料特性

圖2　彎曲模態(tài)群速度(實(shí)線為未分層區(qū)域，點(diǎn)線為閉合分層區(qū)域)Fig.2 The group velocities of flexural modes (solid line: un-cracked region; dotted line: closed cracked region)

圖3　分層位于h1/h=0.4處(實(shí)線為張開分層，點(diǎn)線為閉合分層)曲線Fig.3 Wave at h1/h=0.4(Solid line: open crack; dotted line: closed crack)

據(jù)能量反、透射系數(shù)表達(dá)式，分層位于h1/h=0.4處時系數(shù)隨頻率變化結(jié)果見圖3(a)。數(shù)值計算表明，在整個頻域內(nèi)能量傳輸遵循守恒定律，即R+T(1)+T(2)=1。張開、閉合兩種不同分層表面條件結(jié)果相近，僅在低頻域內(nèi)能量透射率略有不同。剛超過未分層梁的截止頻率時會出現(xiàn)高能量反射率效應(yīng)，因在該頻域內(nèi)傳播于兩子梁內(nèi)的波仍未超過其截止頻率，而已出現(xiàn)在未分層區(qū)域內(nèi)第二階彎曲模態(tài)的入射波無法轉(zhuǎn)換為能傳播能量的透射波，所有第二階彎曲模態(tài)入射波均反射回去，導(dǎo)致此頻域內(nèi)高能量反射率。張開、閉合分層條件下各透射波模態(tài)能量分配見圖3(b)。由圖3(b)看出，頻率低于未分層截止頻率時A0模態(tài)為主要能量轉(zhuǎn)換模態(tài)，少部分能量轉(zhuǎn)換到S0模態(tài)中；頻率超過ωc后膨脹模態(tài)占能量分配主要地位，此因第二階彎曲模態(tài)引入后分層區(qū)域子梁內(nèi)脹縮運(yùn)動主要轉(zhuǎn)換源于ψ(x,t)，其描述梁橫截面關(guān)于y軸轉(zhuǎn)角，導(dǎo)致由于分層表面缺乏軸向約束力而產(chǎn)生x方向強(qiáng)烈的脹縮運(yùn)動。兩階彎曲模態(tài)隨頻率越過截止頻率而相繼出現(xiàn)。而在張開分層條件下并無第三階彎曲模態(tài)，圖中實(shí)線僅有A0，A1及S0模態(tài)。因此，頻率超過ωc2時張開分層的A1模態(tài)攜帶能量等于閉合分層的A1，A2攜帶之和。此為兩種分層條件下能量透射的唯一不同，其它頻域內(nèi)兩種曲線吻合較好，說明分層表面條件對瞬態(tài)波傳播影響不大。

固定頻率下(ω=0.1ωc)能量反射率隨不同分層位置變化見圖4(a)。在該頻率上透射波只含S0，A0兩模態(tài)，膨脹波S0模態(tài)能量分配隨不同分層位置變化見圖4(b)。由于分層位置的對稱性，圖4中橫坐標(biāo)的取值范圍為h1/h∈(0,0.5]。h1/h小于0.4時兩種情況下能量反射率略有差別；h1/h接近0.5時兩曲線吻合較好。此因當(dāng)分層不對稱時分層表面接觸壓力越大。相反，若分層位置越接近中面接觸壓力影響亦越小。尤其當(dāng)出現(xiàn)對稱分層即h1/h=0.5時中面不會有接觸壓力，因此兩種條件下結(jié)果相同?？傮w而言，能量反射率隨分層位置接近中面而上升，并在h1/h=0.5時達(dá)最大值，可認(rèn)為由于對稱分層導(dǎo)致分層區(qū)域彎曲剛度下降最嚴(yán)重。對膨脹波能量分配率曲線(圖4(b))原因相同，能量分配曲線隨h1/h的增加近似線性增加，亦在對稱分層時達(dá)最大值。

圖4　ω= 0.1ωc時隨分層位置變化曲線(實(shí)線為張開分層，點(diǎn)線為閉合分層)Fig.4 Wave when ω= 0.1ωc (Solid line: open crack; dotted line: closed crack)

5與有限元結(jié)果比較

為驗(yàn)證本文提出的含半無限大分層梁中波的反、透射理論，用MSC.Partran有限元分析軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模，模擬瞬態(tài)波在模型中的傳播過程。含半無限大分層懸臂梁結(jié)構(gòu)幾何外形示意圖見圖5，其中l(wèi)=150 mm，L=550 mm，h=1.8 mm。點(diǎn)S1位于未分層區(qū)域中面，模擬傳感器測量傳過該處的入射波、反射波；點(diǎn)S2、S3分別位于兩子梁中面用于測量透射波信號。值得注意的是，由于反射的膨脹波模態(tài)幾乎為0，S1僅測量彎曲模態(tài)(橫向位移)，而S2、S3同時含中面處橫向、軸向位移。有限元單元選平面應(yīng)力4節(jié)點(diǎn)方型單元，單元尺寸大小取決于載波頻率，須滿足一個波長至少存在8個單元，以確保能準(zhǔn)確描述波形。

圖5　分層復(fù)合材料梁有限元模型示意圖Fig.5 The schematic of the beam modeled in FEM

理論分析表明，彎曲波能量流為載波頻率的函數(shù)。而不可能在有限時間域內(nèi)激勵單頻波，因此須激勵多頻域瞬態(tài)波信號，計算能量流時再在頻域上積分。本文在懸臂梁左端中面節(jié)點(diǎn)激勵一瞬時彎距，其函數(shù)可描述為

M(t)=M0[H(t)-H(t-5/f0)]×

(42)

此波包為加Hanning窗的5波峰窄頻信號，其可保證能量集中在中心頻率f0處。以50 kHz(0.1fc)為激勵信號中心頻率，因此只存在第一階彎曲模態(tài)。入射波先在懸臂梁左端被激發(fā)記為a0(t)，此信號頻域描述可通過傅里葉變換獲得

(43)

3個模擬傳感器位置采集的信號頻域幅值理論上可通過將反射系數(shù)或透射系數(shù)乘以入射波頻域信號獲得，由于從入射點(diǎn)到采集點(diǎn)傳播一定距離，故須考慮相位改變。因此理論分析的反、透射信號表達(dá)式在頻域內(nèi)描述為

(44)

式中：AS1(ω)為S1處頻域信號，包括入、反射波信號兩項(xiàng)。

由圖5看出，入射波從激勵點(diǎn)到S1處傳播距離l，反射波到達(dá)此處則傳播距離3l。而傳播過程均在未分層區(qū)域，波數(shù)為k1。AS2(ω)及AS3(ω)則描述分別在S2、S3處接收的彎曲波信號，該信號先在未分層區(qū)域內(nèi)傳播2l距離，入射分層區(qū)域又傳播距離l才到達(dá)測量點(diǎn)，因此相位計算須考慮兩不同區(qū)域內(nèi)的波數(shù)。CS2(ω)、CS3(ω)則分別代表S2、S3接收的膨脹波信號，在分層區(qū)域內(nèi)傳播時選擇膨脹波波數(shù)。以上信號的時域表達(dá)式可通過傅里葉逆變換求得，即

(45)

式中：A(ω)代表AS1(ω)，AS2(ω)，AS3(ω)，CS2(ω)及CS3(ω)。

算例選對稱分層情況，該情況描述彎曲剛度最大下降。理論分析與有限元節(jié)點(diǎn)處直接模擬所得信號比較見圖6，可見數(shù)值計算中表面分層條件對波的反、透射影響不大，此處理論分析選張開分層與有限元結(jié)果對比。由于對稱分層，S2及S3接收的信號相似，故僅給出S1、S2處結(jié)果。為方便比較，接收信號據(jù)入射信號進(jìn)行無量綱化。圖6(a)為S1處入、反射波的時域信號，可見理論分析與有限元結(jié)果吻合較好，且反射波峰值大約為0.1；圖6(b)、(c)分別為透射的彎曲波及膨脹波信號，可見用兩種方法所得信號吻合較好。而膨脹波較彎曲波更早到達(dá)S2處，此因透射波進(jìn)入分層區(qū)域后距離為l的傳播中，膨脹波速度大致為彎曲波速的6倍。圖6(c)中出現(xiàn)的額外波包為因膨脹波迅速傳播到懸臂梁右端邊界反射回來所致。

由于存在彌散現(xiàn)象，瞬態(tài)波能量流計算需考慮各頻域分量積分?？偲骄芰苛骺蓪憺?/p>

(46)

式中：λ(ω)為隨頻率變化的單頻能量流系數(shù)；A(ω)為橫向位移瞬態(tài)波幅值頻譜描述。

瞬態(tài)波能量反、透射率計算可通過理論分析結(jié)果結(jié)合積分式(46)獲得。由于有限元模型基于梁的彈性理論建立，與鐵木辛柯梁理論有所不同，其平均能量流表達(dá)式可描述為

(47)

式中：σx為應(yīng)力；τxz為位移u，w及坐標(biāo)x，z，t的函數(shù)。

為計算流過截面y-z的能量，x可取作常量x0，由于本文基于平面應(yīng)力條件，此變量可通過在z方向取所有有限元節(jié)點(diǎn)值積分獲得。式(46)、(47)給出兩種計算平均能量方法后，在給定中心頻率0.1fc處能量反射率及膨脹波能量分配率隨分層位置變化見圖7。由圖7看出，有限元仿真結(jié)果與理論分析非常接近。在中心頻率下能量反射率在對稱分層處達(dá)最大值0.011 5，而膨脹波能量分配率達(dá)最大值0.055 6。兩條曲線均近似隨分層位置線性變化，分層在厚度方向的位置變化可作為分層損傷位置識別的有效參數(shù)。

圖6　有限元節(jié)點(diǎn)處接收的位移信號與理論分析結(jié)果比較 Fig.6 The signals received from the FEM nodes compared with analytical results

圖7　ω=0.1ωc時有限元與理論分析結(jié)果比較Fig.7 Comparison of finite element and theoretical analysis results for ω=0.1ωc

6結(jié)論

通過研究瞬態(tài)波在含半無限大分層復(fù)合材料梁的反、透射現(xiàn)象，分別考慮兩種極端分層即張開、閉合分層，導(dǎo)出反、透射系數(shù)矩陣及能量反、透射率以及透射波能量分配率，分析模態(tài)轉(zhuǎn)換。結(jié)論如下：

(1)分層表面條件對瞬態(tài)波傳播影響不大，反、透射系數(shù)矩陣隨頻率及分層位置變化而變化。

(2)能量傳輸在整個頻域內(nèi)遵循守恒定律，能量反射率及膨脹波能量分配率隨分層位置近似呈線性變化，并在對稱分層時達(dá)最大值。

參 考 文 獻(xiàn)

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Wave reflection and transmission in composite beams

FENGYong-ming1,2,ZHOULi2,YANGJian-yuan1,YUANWan-chun2

(1. Beijing Aeronautical Technology Research Center, Beijing 100076, China；2. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and astronautics，Nanjing 210016, China)

Abstract:The wave reflection and transmission in composite beams containing a semi-infinite delamination were studied analytically based on the Timoshenko beam theory. Two extreme cases of delaminated surface conditions, non-contact(open) and full contact(closed) delaminations, were considered respectively for a unidirectional composite beam. The analytical solution of reflection and transmission matrices for a semi-infinite delamination was derived. Then the power reflection and transmission coefficients were obtained, which depend on both the wave frequency and the location of the delamination. The numerical results show the conservation of power transport. The power distribution was also investigated to describe the mode conversion between two flexural modes and one extensional mode. A finite element simulation was used to verify the validity of the analytical results.

Key words:delamination; reflection and transmission; composite beam; power transport

中圖分類號:V257

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.004

通信作者周麗 女，博士,教授,博士生導(dǎo)師,1963年生

收稿日期：2014-12-21修改稿收到日期：2015-03-23

基金項(xiàng)目：機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(MCMS-0513G02)

第一作者 馮勇明 男，博士,工程師,1983年生