淺析導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

吳宗德

【摘 要】 導(dǎo)數(shù)在高中新課標(biāo)中的下移，對(duì)高中函數(shù)的諸多問題的解決帶了福音，如可以用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)中的最值問題，單調(diào)問題，不等式問題，還可以與解析幾何相聯(lián)系。因此，在中學(xué)教學(xué)過程中，對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)也就成了教學(xué)的重中之重，也是高考的必考點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；函數(shù)；中心對(duì)稱圖形；切線；旋轉(zhuǎn)

【中圖分類號(hào)】G633.22 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）07-0-01

導(dǎo)數(shù)在高中新課標(biāo)中的下放，對(duì)高中函數(shù)的諸多問題的解決帶來了福音，如：可以用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)中的最值問題，單調(diào)問題，不等式問題，還可以與解析幾何想聯(lián)系。因此，在中學(xué)教學(xué)過程中，對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)也就成了教學(xué)過程中的重中之重，也是高考的必考點(diǎn)。而本文則以導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的其中的一個(gè)方面（解決簡單函數(shù)圖形的中心對(duì)稱問題）來說明導(dǎo)數(shù)的妙處。

一、情境場景

在新課標(biāo)的教學(xué)過程中，一個(gè)偶爾的機(jī)會(huì)遇到這樣一題：

已知函數(shù)其中為常數(shù)。

證明：函數(shù)的圖形為中心對(duì)稱圖形。

而遇到這道題的時(shí)候，剛好我們教學(xué)內(nèi)容也進(jìn)行到導(dǎo)數(shù)這一章，于是我的第一反應(yīng)這道題應(yīng)該與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容有關(guān)（因?yàn)楹瘮?shù)的最高次數(shù)已經(jīng)是3次了），可具體的相關(guān)情況感覺是一頭霧水。于是靜坐下來對(duì)此題進(jìn)行了細(xì)心的分析，終于功夫不負(fù)有心人總算有所收獲，特此和大家一起來分享。

二、分析探討

首先我們從函數(shù)的形式上來分析：

第一、最高次數(shù)是三次，超出了我們高中階段對(duì)于一般函數(shù)圖形畫法掌握的要求，即使如此選擇多項(xiàng)式的合并提取等想關(guān)內(nèi)容也無法將高次變成低次的相關(guān)我們熟悉的形式，所以直接從三次圖形上或多項(xiàng)式的變形處理上來選擇明顯不合適。

第二、本函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)了參數(shù)，從而這道題不在是一個(gè)單一某個(gè)函數(shù)的問題，而是指這一類函數(shù)的情況，具有通性。也因?yàn)閰?shù)的出現(xiàn)，急需一種通法解決更是合適的決定，要不以后同類問題上還是會(huì)留下后遺癥。

第三、我們從函數(shù)所要解決的問題情況來看：不是解決常規(guī)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性的問題，而是函數(shù)圖形的中心對(duì)稱問題。

那么分析到這個(gè)時(shí)候問題就出現(xiàn)了：為什么在一個(gè)高次函數(shù)問題中（而且是含參數(shù)的函數(shù)）設(shè)計(jì)一個(gè)中心對(duì)稱圖形的問題呢？做為一個(gè)高中階段的學(xué)生或教師自然會(huì)想到——導(dǎo)數(shù)。那么如何解決這個(gè)問題呢？我們還要注意這道題中所包含了那些內(nèi)容呢？

三、內(nèi)容分析

我們知道中心對(duì)稱圖形是指如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形。該點(diǎn)稱為對(duì)稱中心.而在新課標(biāo)下來說，只對(duì)于簡單函數(shù)畫法做必須掌握的要求外，其它相對(duì)較復(fù)雜函數(shù)的圖形根本不做要求。也因?yàn)槿绱?，這個(gè)外加參數(shù)的函數(shù)圖形就更沒辦法去處理了。

而在高中教學(xué)過程中對(duì)處理這種簡單高次形式的問題，只能借助于導(dǎo)數(shù)去解決。

我們知道若函數(shù)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由函數(shù)的中心對(duì)稱原理可得，在與處的切線必平行（關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后圖形必重合）

那么，對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來說，要是的圖形中心對(duì)稱，則只需函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱即可。

四、解決問題

通過上面的分析可得，要證明這個(gè)命題，則只需證明，存在使得成立即可，那么現(xiàn)在這個(gè)問題很容易解決了：

解：因?yàn)闉橐粋€(gè)一元二次函數(shù)，以為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱函數(shù)，

所以滿足：，即存在。

那么函數(shù)必為中心對(duì)稱函數(shù)，

且以為對(duì)稱中心。

舉例：求以為對(duì)稱中心時(shí)函數(shù)中的的值_____。

解決辦法也是如此：

因?yàn)?，所以?duì)稱軸，則

到此為止，這個(gè)問題就便得到完整解決了，不難從中發(fā)現(xiàn)解決此類型的問題的關(guān)鍵是保證導(dǎo)函數(shù)為一個(gè)軸對(duì)稱函數(shù)即可。

細(xì)細(xì)品來，我感謝導(dǎo)數(shù)。如不是導(dǎo)數(shù)的存在，要想解決這個(gè)問題可不知要費(fèi)多大的工夫，我也慶幸我自己因?yàn)橛龅竭@一道題而使我認(rèn)真去思考解決這類問題，從而為我在今后的教學(xué)工作中多了一個(gè)問題解決的方法，多了一份自信。

這也恰恰是導(dǎo)數(shù)魅力之所在。