關(guān)于穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)的一個(gè)注記

孫永亮

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

關(guān)于穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)的一個(gè)注記

孫永亮

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

文章中考慮了有足夠多投射對(duì)象的Grothendieck范疇的同倫范疇中的一個(gè)穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)及其三角粘和,并給出了穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)的一些性質(zhì).

穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)；同倫投射復(fù)形；一個(gè)注記

0 引言

從文獻(xiàn)[1]中的定理4.5.4和4.6.8我們知道，在有足夠多投射對(duì)象的Grothendieck范疇的同倫范疇中任意復(fù)形都有同倫投射和同倫內(nèi)射分解,并且這種分解在同倫范疇中是惟一的.很自然地我們看到同倫投射復(fù)形與正合復(fù)形是同倫范疇的兩個(gè)三角子范疇并且是同倫范疇的一個(gè)穩(wěn)定t結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備概念

定義1 設(shè)A是Abel范疇.A上的復(fù)形P稱為同倫投射復(fù)形,如果對(duì)A上的每個(gè)無環(huán)復(fù)形E,Hom復(fù)形Hom(P，E)仍是無環(huán)復(fù)形或等價(jià)的,則HomK(A)(P，E)=0.

定義2 設(shè)A是Abel范疇,如果A有正合的正向極限并且還有生成子,則稱它為一個(gè)Grothendieck范疇.

定義3 三角范疇(D，[1])的一個(gè)t結(jié)構(gòu)是D的一對(duì)全子范疇(D≤0,D≥0),使得(D≤n：=D≤0[-n]),(D≥n：=D≥0[-n])?n∈Z,滿足下面的條件(t1)、(t2)和(t3):

(t1) HomD(X,Y)=0，?X∈D≤0,Y∈D≥1.

(t2)D≤0?D≤1,D≥1?D≥0.

(t3) 對(duì)于任意X∈D,存在D中的好三角:A→X→B→A[1],使得A∈D≤0,B∈D≥1.

記號(hào)：K(A),Khproj,KE,Khinj分別表示A上的同倫范疇,同倫投射復(fù)形范疇,正合復(fù)形范疇以及同倫內(nèi)射復(fù)形范疇.

2 本文結(jié)論

引理1Khproj,KE,Khinj是K(A)的三角子范疇.

證明 對(duì)于Khproj其中(tr1),(tr3)顯然.我們證明(tr2)和(tr4).

(tr2) 對(duì)于任意的f:X→Y,把它嵌入到一個(gè)好三角當(dāng)中得到：X→Y→Z→X[1]，其中Z?con(f)?X[1]⊕Y.顯然HomK(A)(Z,E)?HomK(A)(X[1]，E)⊕HomK(A)(Y，E)?0.所以Z也是同倫投射的.

(tr4) 顯然,我們有K(A)中的一個(gè)八面體.由于(tr2)以及K(A)中的(tr4)我們知道(tr4)成立.

同理可知，KE，Khinj也是三角子范疇.

定理1 (Khproj,KE),(KE,Khinj)是K(A)中的穩(wěn)定t結(jié)構(gòu),其中A是有足夠多投射對(duì)象的Grothendieck范疇.

證明 由同倫投射復(fù)形的定義可知Homk(A)(Khproj,KE)=0.而在有足夠多投射對(duì)象的Grothendieck范疇的同倫范疇中任意復(fù)形都有惟一的同倫投射分解，即對(duì)于任意的X∈K(A)都存在擬同構(gòu)P→X，其中P∈Khproj.嵌入到好三角中去得到一個(gè)好三角P→X→E→P[1].由長(zhǎng)序列引理知E∈KE,即任意X∈K(A)的都可以得到一個(gè)t分解.因此(Khproj,KE)是K(A)的一個(gè)穩(wěn)定t結(jié)構(gòu).同理可得(KE,Kinj)也是K(A)的一個(gè)穩(wěn)定t結(jié)構(gòu).

推論1 在有足夠多投射對(duì)象的Grothendieck范疇的同倫范疇K(A)中有一個(gè)三角粘和:

證明 由穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)與三角粘和的關(guān)系直接可得.

我們給出穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)的一些性質(zhì).

命題1 設(shè)(U,V)三角范疇(T,[1])的穩(wěn)定t結(jié)構(gòu), (U1,V1)是三角范疇(T1,[1])的穩(wěn)定t結(jié)構(gòu).我們有：

1)若F∶U→U1,G∶V→V1是三角等價(jià),且對(duì)于任意u∈U,υ∈V都有同構(gòu)Sυu(píng)∶Hom(υ,u)?Hom(G(υ),F(u)),則存在一個(gè)三角等價(jià),且H∶T→T1,且HU?F,HV?G.

2)若F∶T→T1是一個(gè)三角等價(jià),且FU∶U→U1是一個(gè)三角等價(jià),則FV∶V→V1是一個(gè)三角等價(jià).

3)若F∶T→T1是一個(gè)三角等價(jià),且FV∶V→V1是一個(gè)三角等價(jià),則FU∶U→U1是一個(gè)三角等價(jià).

2)由于FU∶U→U1是一個(gè)三角等價(jià),以及F本身是一個(gè)三角等價(jià).容易知道F誘導(dǎo)了一個(gè)三角等價(jià):T/U→T1/U1.又因?yàn)橛腥堑葍r(jià):T/U?V和T1/U1?V1我們知道FVV:→V1是一個(gè)三角等價(jià).

3) 類似可證.

命題2 設(shè)(U,V)是三角范疇(T，[1])的穩(wěn)定t結(jié)構(gòu),且C?U,K?V是兩個(gè)三角子范疇，則*運(yùn)算構(gòu)成新的三角子范疇且有穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)(C,D)，其中C*D={X∈T|?}好三角c→X→d→c[1]，使得c∈C,d∈D.

證明 先證明C*D是一個(gè)三角范疇,(tr1)顯然.對(duì)于任意f:X1→X2把它嵌入到T中的一個(gè)好三角X1→X2→X→X1[1],由X1,X2的t分解和T中的4×4引理我們知道X∈C*D.(tr3)、(tr4)顯然.并且由于C?U,D?V,顯然C*D有穩(wěn)定t結(jié)構(gòu)(C,D).

[1]章璞. 三角范疇與導(dǎo)出范疇[M]. 北京：科學(xué)出版社,2014.

An Annotation about Stable t-structure

SUN Yong-liang

(Mathematics and Computer Science College，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030, China)

stable t-structure of the homotopy category of Grothendieck category was discussed with enough projective objects in the present article. Some properties of stable t-structure were also provided.

Stable t-structure; Homotopy projective complex

2016-10-11

孫永亮(1992—)，男， 江蘇鹽城人，碩士研究生，主要從事代數(shù)表示論方面的研究.

O153.3

A

1009-2102(2016)04-0008-03