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    對(duì)一類構(gòu)造基本不等式的解題反思

    2016-04-23 09:08李帶兵
    關(guān)鍵詞:基本不等式反思解題

    李帶兵

    摘 要:基本不等式在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求是C級(jí)的,它是高考中的考查熱點(diǎn),常作為壓軸題出現(xiàn). 有一類關(guān)于構(gòu)造基本不等式的題型在這種問(wèn)題中屬于難點(diǎn)問(wèn)題,不易克服;但如果尋根探源,不難發(fā)現(xiàn)復(fù)雜的問(wèn)題背后隱藏著一個(gè)非常簡(jiǎn)單的本質(zhì).

    關(guān)鍵詞:基本不等式;構(gòu)造思想;解題;反思

    數(shù)學(xué)的美麗不僅在于它的邏輯性,而且在于它的漸變性. 一道難的問(wèn)題,往往隱含著一個(gè)非常簡(jiǎn)單的本質(zhì). 基本不等式常作為高考填空題的壓軸選項(xiàng),而難倒了各路“英雄”. 在這類題目中有一類關(guān)涉構(gòu)造基本不等式的題型,常見(jiàn)于各大調(diào)研考試的試卷或各省的高考試卷中,對(duì)于它的歸納與總結(jié)有利于學(xué)生掌握這類問(wèn)題的處理方式.

    調(diào)研試題,引發(fā)反思

    眾所周知,基本不等式中有最值定理,簡(jiǎn)單點(diǎn)講即和為定值積有最大值;積為定值和有最小值. 但作為高考和各大市壓軸的填空題出現(xiàn)的基本不等式,往往就不是最值定理的運(yùn)用那么簡(jiǎn)單.它需要挑戰(zhàn)學(xué)生思維的靈活性,往往會(huì)有構(gòu)造思維在其中的運(yùn)用. 蘇州市2015屆高三第一學(xué)期期末考試的一道有關(guān)基本不等式的壓軸填空題,引發(fā)了筆者對(duì)構(gòu)造定值類的基本不等式的解題反思.

    例1 已知a,b為正實(shí)數(shù),且a+b=2,則+的最小值為_(kāi)_________.

    解析:從表達(dá)式直觀看來(lái),并不存在和為定值或積為定值的形式,因此解決問(wèn)題首先需要對(duì)表達(dá)進(jìn)行相關(guān)處理.根據(jù)分式的性質(zhì)可知,當(dāng)分子項(xiàng)的最高次數(shù)大于等于分母的最高次數(shù)時(shí),可以采用常數(shù)分離的數(shù)學(xué)方法處理. 化簡(jiǎn)后表達(dá)式為1++,根據(jù)基本不等式的最值定理可知,表達(dá)式有最小值,必須存在積為定值. 因此解題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為構(gòu)造表達(dá)式中積為定值.

    反思:在求解最小值的整個(gè)過(guò)程中,由于兩式分母之和a+b+1=3,所以將+乘以a+b+1再除以3,跟原表達(dá)式等價(jià),展開(kāi)后可得到2+,兩式這積為定值,根據(jù)基本不等式的最值定理,可求最小值. 能夠這樣處理的原因,在于兩式分母之和為常數(shù),因此,在解決諸如此類的問(wèn)題可研究表達(dá)式的分母是否為常數(shù),若為常數(shù)即可做乘以分母之和這樣的處理,以構(gòu)造積為定值.

    尋找源頭,探究根本

    對(duì)于這類構(gòu)造基本不等式的題型,有著深刻的理論基礎(chǔ)和最本質(zhì)的題目源頭;它有理論根據(jù)可依,有規(guī)律可循,因此可按照規(guī)律總結(jié)根本的解題策略和步驟.

    1. 尋找題目源頭,發(fā)現(xiàn)解題理論依據(jù)

    重新審視上述問(wèn)題解決的關(guān)鍵步驟:1++=1+

    (a+b)=2++,通過(guò)這1的代換來(lái)構(gòu)造+的形式. +這種形式最突出的特點(diǎn)是兩項(xiàng)之積為定值,對(duì)于積為定值的情況,可用基本不等式的最值定理求解最小值. 可以說(shuō)上述調(diào)研試題是這種1的代換逐步演變過(guò)來(lái)的,1的代換是上述調(diào)研試題的原型. 兩者所不同的是課本的例題是1的直接代換,而這道調(diào)研試題需要利用題設(shè)所給條件構(gòu)造1. 因此,利用1的代換,構(gòu)造和為定值或積為定值是突破這類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).

    在基本不等式中存在兩類最值定理,即和為定值時(shí)積有最大值;積為定值時(shí)和有最小值.所謂和為定值時(shí)積有最大值是指“若正數(shù)x,y滿足x+y=p,則xy有最大值”;所謂積為定值時(shí)和有最小值是指“若正數(shù)x,y滿足xy=p,則x+y有最小值2”. 反思這整個(gè)解題過(guò)程,不難發(fā)現(xiàn)解決這類問(wèn)題最終的步驟都脫離不了基本不等式的最值定理,因此如果將1的代換看成是這類問(wèn)題解決的突破口,那么最值定理就可以看成解決這類問(wèn)題的最終的手段.

    窺視問(wèn)題本質(zhì),總結(jié)解題策略方法

    透過(guò)上述理論分析,我們可以斷定形如調(diào)研試題的問(wèn)題的本質(zhì)就是1的代換,我們的策略就是通過(guò)給目標(biāo)表達(dá)乘以一個(gè)代表1的數(shù)學(xué)表達(dá)式,從而將目標(biāo)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成乘積為定值的兩個(gè)式子這和. 對(duì)于這種本質(zhì)的認(rèn)識(shí)可以將其抽象成這樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言:“正數(shù)x,y滿足x+y=k,那么形如+的最小值可通過(guò)如下構(gòu)造的方式來(lái)求解,即+=

    針對(duì)上述有關(guān)問(wèn)題本質(zhì)方面的認(rèn)識(shí),可以將這類問(wèn)題的解題步驟具體歸納為如下幾步:首先,對(duì)待求表達(dá)式,進(jìn)行變形,常用的處理方式有常數(shù)分離、利用分式的性質(zhì)將分子的表達(dá)式除到分母上;第二,觀察變形后的表達(dá)式的兩項(xiàng)的分母之和是否為常數(shù),若不是常數(shù),則根據(jù)分母的式子,調(diào)整題設(shè)中所給的定值表達(dá)式;第三,將變形后的待求表達(dá)式與調(diào)整后的定值表達(dá)式相乘,并調(diào)整系數(shù);第四,利用基本不等式的最值定理求解待求表達(dá)式的最小值.

    能力拓展,知識(shí)遷移

    理論總結(jié)的目的是為了更好解決問(wèn)題,但它也僅僅是抽象出了一種簡(jiǎn)易的模型,真實(shí)的問(wèn)題是多變的,它或多或少與抽象的數(shù)學(xué)模型有些差距,要真正掌握處理這類問(wèn)題的技能,需要用實(shí)際問(wèn)題來(lái)鍛煉自己思維.

    1. 變式一:定值表達(dá)式為分式

    例2 (鎮(zhèn)江市2015屆第一學(xué)期期末考試)已知正數(shù)x,y,滿足+=1,則+的最小值是_______.

    解析:從題設(shè)上看所給定值表達(dá)式由整式多項(xiàng)式變成分式多項(xiàng)式,但本質(zhì)上仍然為兩個(gè)整體之和為定值,因此需要做的處理是將待求表達(dá)式中的分母變成關(guān)于和的式子.

    將多項(xiàng)式分子除到分母上,則+=+,易知分母和:1-+1-=1;所以原式=

    反思:無(wú)論定值表達(dá)式是整式之和還是分式之和,解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠在待求表達(dá)式的分母中再現(xiàn)定值表達(dá)式中的元素,以便能夠做1的代換并調(diào)整系數(shù).

    2. 變式二:“定值”表達(dá)式為不等式

    例3 (蘇錫常鎮(zhèn)宿五市調(diào)研一)已知實(shí)數(shù)x,y,且x+y≤2,則+的最小值是_______.

    解析:通常情況下,基本不等式給出的定值表達(dá)式是等式,思維的定式,會(huì)讓學(xué)生在遇到給出“定值”表達(dá)式為不等式時(shí),有些不知所措,但問(wèn)題中1的代換的本質(zhì)并未改變,所不同的僅僅是將原來(lái)的等量關(guān)系變成不等關(guān)系而已.

    待求表達(dá)式中分母之和為x+3y+x-y=2(x+y),因?yàn)閤+y≤2,則2(x+y)≤4;

    在構(gòu)造積為定值時(shí),需要調(diào)整系數(shù),即+≥

    反思:當(dāng)定值表達(dá)式為不等式時(shí),在問(wèn)題的本質(zhì)上并未改變,問(wèn)題在于學(xué)生能否轉(zhuǎn)變思維的定式,從定值為等式的思維走出.

    回顧整個(gè)解題心得,我們可以從理論與實(shí)踐兩個(gè)角度來(lái)再度認(rèn)識(shí)這類問(wèn)題. 從理論的角度來(lái)審視這一類構(gòu)造基本不等式的問(wèn)題,其實(shí)質(zhì)乃1的代換的變形,它比最簡(jiǎn)單的1的代換要靈活,因?yàn)檫@類問(wèn)題在構(gòu)造1的過(guò)程中需要調(diào)整表達(dá)式的系數(shù);從實(shí)際的問(wèn)題來(lái)審視這類問(wèn)題,有一個(gè)通性:待求多項(xiàng)式的每一項(xiàng)的分母都含有題設(shè)所給定值表達(dá)中的元素. 因此在處理這類問(wèn)題時(shí)應(yīng)當(dāng)把握兩個(gè)突破口:其一,對(duì)待求表達(dá)式的變形與處理的方向應(yīng)當(dāng)是:使表達(dá)式的每一項(xiàng)的分母中帶有定值表達(dá)式中的元素;其二,正如文章第二部分?jǐn)?shù)學(xué)模型總結(jié)的那樣,在進(jìn)行1的代換操作步驟時(shí)應(yīng)當(dāng)注意系數(shù)的調(diào)整,保證表達(dá)式與原表達(dá)式是等價(jià)的.

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