高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“變題”的方法與技術(shù)研究

章杰

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的解題能力培養(yǎng)是關(guān)鍵. 實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的解題能力不強(qiáng)，與多重因素有關(guān)，學(xué)生對(duì)習(xí)題情境的把握，對(duì)解題思路的判斷等，都是重要的影響因素. 變題研究，可以讓形似或神似的習(xí)題成為習(xí)題組，可以讓學(xué)生在對(duì)比的過(guò)程中形成深刻認(rèn)識(shí). 變題研究不能放棄傳統(tǒng)的思路，同時(shí)要重視變式思路；變題研究需要重視技術(shù)視角下的變題步驟，以確定好母題與子題.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；變題；變題研究；方法；技術(shù)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的解題能力是培養(yǎng)重點(diǎn)，傳統(tǒng)的教學(xué)思路中，學(xué)生的解題能力更多地在雜亂無(wú)章的題海中自然形成，低效性不言而喻. 而要想系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，除了基于已有的習(xí)題按知識(shí)體系進(jìn)行分類專題訓(xùn)練之外，“變題”是一種堪稱能夠迅速提升學(xué)生識(shí)題解題能力的“捷徑”，而變題的方法與技術(shù)則是變題研究的核心，近些年結(jié)合教學(xué)實(shí)踐以及他人的經(jīng)驗(yàn)，筆者展開(kāi)了相對(duì)系統(tǒng)的研究，形成一些粗淺的認(rèn)識(shí)，在此向同行們做個(gè)匯報(bào)，并希望得到有益的建議.

關(guān)于變題的背景與理論概述

對(duì)于當(dāng)前的教學(xué)實(shí)際來(lái)說(shuō)，習(xí)題可以說(shuō)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，在不帶偏見(jiàn)的情況下審視習(xí)題，可以發(fā)現(xiàn)習(xí)題就是教學(xué)的靈魂. 尤其是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，習(xí)題解答的過(guò)程，就是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合自身的數(shù)學(xué)思維，在分析問(wèn)題的基礎(chǔ)上尋找解決問(wèn)題途徑的過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力可以得到彰顯，分析思維能力得到體現(xiàn)，學(xué)習(xí)品質(zhì)與解題心智得到評(píng)價(jià)，因此習(xí)題解答是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑. 但在實(shí)際教學(xué)中，我們看到相當(dāng)一部分學(xué)生在面對(duì)習(xí)題時(shí)，常常暴露出思維單一、生搬硬套的缺點(diǎn)，而教師的感覺(jué)常常是：講過(guò)的才會(huì)；講過(guò)的也不會(huì)；無(wú)論怎么講都不會(huì)……背后暴露出來(lái)的，就是學(xué)生解題能力弱，而解題能力弱的原因，又是學(xué)生在面對(duì)變化了的習(xí)題面前，無(wú)法有效地判斷習(xí)題情境并尋找數(shù)學(xué)工具.

筆者反思過(guò)一個(gè)問(wèn)題：任何一道習(xí)題尤其是經(jīng)典的習(xí)題，常常是出題者心血的凝聚，更是教學(xué)智慧的凝聚. 在這個(gè)過(guò)程中，命題者會(huì)有什么樣的思維呢？在實(shí)際教學(xué)中，如果讓學(xué)生經(jīng)歷與命題者類似的心理活動(dòng)過(guò)程，那對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)不就是一種解題心理適應(yīng)能力的培養(yǎng)嗎？基于這樣的思考，“變題”及其訓(xùn)練就成為筆者研究的一個(gè)重點(diǎn).

變題對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)并不完全是一個(gè)新的概念，很早之前就有變式訓(xùn)練的提法（當(dāng)然，筆者的變題研究也相當(dāng)程度上借鑒了變式訓(xùn)練的思想），再后來(lái)有一題多變的提法. 進(jìn)入課程改革之后，習(xí)題的編制更加重視情境，于是接近生活的各類試題層出不窮，而透過(guò)這種變化的表象，可以看到實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)工具使用并沒(méi)有改變. 基于這樣的實(shí)際情況，筆者感覺(jué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施變題，有著明顯的實(shí)際意義. 而更加顯而易見(jiàn)的是，變題中的方法與技術(shù)應(yīng)當(dāng)是教師重點(diǎn)研究、學(xué)生重點(diǎn)感知的內(nèi)容.

也就是說(shuō)，以變題為主線的高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，應(yīng)當(dāng)是在教師掌握變題方法與技術(shù)的基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生在變題訓(xùn)練的過(guò)程中生成良好的解題直覺(jué). 階段性的研究表明，變題有形式之變與實(shí)質(zhì)之變之分，前者在新知教學(xué)之初，可以讓學(xué)生在形式之變中重復(fù)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，從而起到積累作用且不會(huì)讓學(xué)生有審美疲勞；而后者則可以開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，形成良好的解題視域.

高中數(shù)學(xué)變題方法技術(shù)研究

顯然，研究的重心應(yīng)當(dāng)放在變題的方法與技術(shù)上，在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中，我們首先確立了變題的基本思路，即對(duì)典型習(xí)題進(jìn)行分類整理，然后再去謀“變”. 當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教材版本眾多，但習(xí)題尤其是變題研究不應(yīng)當(dāng)拘泥于某一套教材，因?yàn)橹R(shí)是相通的，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也具有共性，因此基于所教教材，將眼光放至全國(guó)范圍并縱觀近年來(lái)各地的高考與模擬試題，是變題的基礎(chǔ)與指向.

研究表明，變題的方法有這樣的幾種：題型改變；數(shù)據(jù)改變；情境改變；已知、未知關(guān)系改變；變式思想引領(lǐng)下的改變等.

其中，題型改變主要應(yīng)針對(duì)當(dāng)前高考題型，可以將填空、選擇題改變?yōu)橛?jì)算題，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性；將簡(jiǎn)單計(jì)算題、證明題改為填空或選擇題，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的直覺(jué)性思維；數(shù)據(jù)的改變可以對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生施行，而情境的改變則應(yīng)當(dāng)面向除了極少數(shù)尖子生之外的其他學(xué)生，這可以培養(yǎng)他們良好的習(xí)題情境適應(yīng)性. 至于已知與未知關(guān)系的改變，則更多的是為了培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建基本的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，讓學(xué)生知道如何基于數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系尤其是數(shù)學(xué)公式進(jìn)行思路變換的訓(xùn)練.

以上一段不舉例說(shuō)明，一個(gè)重要的原因就是傳統(tǒng)的教學(xué)中對(duì)此已經(jīng)有足夠的重視，日常教學(xué)中的關(guān)鍵在于落實(shí). 且需要強(qiáng)調(diào)的是，這些思路看起來(lái)沒(méi)有所謂的新意，但對(duì)于學(xué)生而言卻是極好的思維訓(xùn)練手段，不可因?yàn)闆](méi)有新意而舍棄之. 此處筆者想強(qiáng)調(diào)的是基于變式思想進(jìn)行的變題研究.

變式變換的是習(xí)題的表現(xiàn)形式，同時(shí)保證習(xí)題的思想不變. 這里的思想不是指考查對(duì)象即數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，而是指對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查. 在實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常會(huì)看到隸屬不同知識(shí)點(diǎn)習(xí)題實(shí)際上是用的同一種數(shù)學(xué)思維，而學(xué)生恰恰難以意識(shí)到這一點(diǎn).基于此進(jìn)行變題研究，顯然很有價(jià)值.

例如，作圖是學(xué)生解數(shù)學(xué)題的基本功，實(shí)際教學(xué)中，相當(dāng)一部分學(xué)生作圖會(huì)出現(xiàn)不準(zhǔn)確的情形，即使常常因此出錯(cuò)也尋找不到原因. 于是筆者給出這樣的一組兩道試題（變題的結(jié)果）：

題1：判斷命題的正確性：當(dāng)a>1時(shí)，關(guān)于x的方程logax=ax沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

題2：已知方程x=sinx，則其解有幾個(gè).

這兩道試題看似沒(méi)有直接聯(lián)系，但在解題思路上卻存在著需要作圖的共同特征，而且這兩道題具有基礎(chǔ)性，可以在新知識(shí)教學(xué)或者階段性復(fù)習(xí)中使用. 筆者的使用是先呈現(xiàn)第一題，然后就學(xué)生出錯(cuò)的情況進(jìn)行尋因，同時(shí)不做評(píng)價(jià)；在第二題呈現(xiàn)并在學(xué)生產(chǎn)生類似解題感覺(jué)之后，再?gòu)?qiáng)調(diào)兩者的共性，即作圖要準(zhǔn)確. 這樣學(xué)生的認(rèn)識(shí)自然就會(huì)深刻，反之，不提供這樣的變題結(jié)果，學(xué)生很少有這種歸因的機(jī)會(huì)，也就很難認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)作圖的重要性.

從技術(shù)的角度來(lái)看，筆者所總結(jié)出的變題的一般步驟包括這樣幾步：尋找母題；分析母題；實(shí)施變題；解決變題；評(píng)估變題.

母題從哪里來(lái)？來(lái)源很多，但學(xué)生易出錯(cuò)的是重點(diǎn). 如上面的題1，筆者就是發(fā)現(xiàn)學(xué)生有即使找到了簡(jiǎn)便的思路即作圖，卻仍然無(wú)法得到正確答案的現(xiàn)象. 于是筆者以之為母題并進(jìn)行分析，然后尋求變題（變題可以是另外一道題目，也可以是母題的變換），上題2是筆者在題1的基礎(chǔ)上總結(jié)出的將兩個(gè)不同類型的函數(shù)即y=x與y=sinx建立等量關(guān)系，同時(shí)在作圖時(shí)如果容易出錯(cuò)的話，那就可以作為題1的母題.在學(xué)生完成解答之后，再回頭進(jìn)行評(píng)估. 評(píng)估的過(guò)程，其實(shí)就是解析思維過(guò)程，提升解題能力的過(guò)程.

總結(jié)以上提到的變題的方法與技術(shù)，可以看到變題的關(guān)鍵有三：一是扣準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要.高中數(shù)學(xué)習(xí)題如海，能總結(jié)出規(guī)律的也數(shù)不勝數(shù)，但切合學(xué)生需要的是最關(guān)鍵的，在不同的學(xué)習(xí)階段需要什么樣的變題組，是教師需要積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)；二是變題的方法不拘泥于新舊. 適合的才是最好的，傳統(tǒng)的變題方法未必不好，因?yàn)榻裉斓母咧袑W(xué)生在建構(gòu)新知識(shí)時(shí)仍然需要；新的變題方法也是必需的，因?yàn)槠涫沁m應(yīng)新習(xí)題的需要；三是變題之變?cè)谟谒枷胂嗤? 要變換的不僅僅是題目的形式，更是解題思想. 只有一個(gè)解題思想才能統(tǒng)領(lǐng)一類題目，也只有基于解題思想去實(shí)施變題，才能加大學(xué)生的解題視野，提升解題能力.

變題是如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的

在研究的過(guò)程中，筆者還關(guān)注一個(gè)問(wèn)題，那就是變題在促進(jìn)學(xué)生解題能力提高的過(guò)程中，具體是如何發(fā)揮作用的.研究發(fā)現(xiàn)，有以下三點(diǎn)值得重視：

一是注意變題的科學(xué)性.如前所說(shuō)，變題要切合學(xué)生的需要，有時(shí)能讓教師眼前一亮的習(xí)題未必是好題，因?yàn)樘峁┙o學(xué)生的時(shí)機(jī)可能不對(duì)，這一點(diǎn)同行們都比較清楚，不贅述.

二是注意變題的適切性.變題之后，子題與母題必須有明確的聯(lián)系點(diǎn)，且這個(gè)聯(lián)系點(diǎn)必須為學(xué)生所知道，只有這樣才能讓相似的試題成為組題，從而擴(kuò)充學(xué)生的記憶容量.

三是注重學(xué)生的主體參與.這也是容易忽視的一點(diǎn)，變題一定不能只成為教師的事情，一定需要學(xué)生的主體參與. 要改變單向的教師變、學(xué)生練的情形，要讓學(xué)生參與到變題的過(guò)程中來(lái)，他們?cè)谧冾}中表現(xiàn)出來(lái)的思路或者說(shuō)不足，應(yīng)當(dāng)成為教師變題時(shí)重點(diǎn)考慮的內(nèi)容. 同時(shí)，讓學(xué)生參與變的過(guò)程，也可以讓學(xué)生換一個(gè)視角，即從命題者的角度去看待習(xí)題. 有了這樣的視角與高度，學(xué)生解題時(shí)的心理會(huì)大不相同，這對(duì)于學(xué)生把握命題者思路、尋找解題途徑而言，極有好處.

此外需要強(qiáng)調(diào)的是，變題過(guò)程中教師需要大力關(guān)注學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，這對(duì)學(xué)生思維的把握，對(duì)教師把握變題研究及教學(xué)節(jié)奏來(lái)說(shuō)，也很重要，限于篇幅，亦不贅述.