高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想及其實踐探究

柳玉鳳

摘 要：“數(shù)形結(jié)合”思想是數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一，貫穿于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 本文在從現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下的數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵意義闡述的基礎(chǔ)上，分析了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的必要性，提出了一些高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想；滲透；策略

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，也是引導(dǎo)和促進學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 作為數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一，“數(shù)形結(jié)合”思想始終貫穿于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教學(xué)中教師“要注重數(shù)與形的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中不斷體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.” 然而在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師對數(shù)形結(jié)合思想的重要性認識不足，或因受教材編寫所限，在具體教學(xué)時對數(shù)形結(jié)合思想的貫徹和落實就帶有一定的盲目性和隨意性. 因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)高中數(shù)學(xué)知識的特點，注重數(shù)與形的聯(lián)系，強化數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透與訓(xùn)練，恰到好處地向?qū)W生充分展示知識的形成過程，使學(xué)生在學(xué)會和掌握重要數(shù)學(xué)知識的同時，不斷地體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，學(xué)會用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識應(yīng)用，獲得必要的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能，形成優(yōu)良思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下的數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵意義

所謂“數(shù)形結(jié)合”，就是把數(shù)學(xué)中兩個非常重要的元素——數(shù)量關(guān)系和空間形式緊密結(jié)合起來，使代數(shù)問題與圖形問題在抽象思維和形象思維的相互作用中彼此轉(zhuǎn)化，代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.由此可見，“數(shù)形結(jié)合”不僅是一種數(shù)學(xué)思想，而且也是一種數(shù)學(xué)解題工具，一種解決問題的策略意識.可以說“數(shù)形結(jié)合”的思想方法無時無刻不活躍在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動之中. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)始終圍繞“形”“數(shù)”兩個角度來引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有利于使數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，有利于學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)概念和深層次的把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，加深對數(shù)學(xué)知識的理解和記憶，構(gòu)建和優(yōu)化數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu). 同時能使學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)思維，從而獲得終身受益的數(shù)學(xué)思想方法和解決問題能力.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的必要性

1. 滲透數(shù)形結(jié)合思想方法是落實課標(biāo)精神的需求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：基本數(shù)學(xué)思想是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，要求學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的同時要掌握基本的數(shù)學(xué)技能和基本的數(shù)學(xué)思想. 因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)以數(shù)學(xué)知識為載體，注重數(shù)與形的聯(lián)系，將數(shù)和形完美地統(tǒng)一起來，促進學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng).

2. 滲透數(shù)形結(jié)合思想方法是發(fā)展學(xué)生思維的需求

在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，通過或是化抽象為直觀，或是化技巧為程序操作，不僅能使學(xué)生數(shù)學(xué)的思考具有條理性，能多層次和多角度地來思考問題，而且可以幫助學(xué)生樹立良好的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維意識，拓展學(xué)生尋找解決問題的途徑和發(fā)散解題思維，促進學(xué)生在將來的學(xué)習(xí)中能自覺進行數(shù)學(xué)的思考.

3. 滲透數(shù)形結(jié)合思想方法是處理好教與學(xué)的需求

在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，不少教師對數(shù)形結(jié)合思想的重要性認識不足，對數(shù)形結(jié)合思想的貫徹和落實帶有一定的盲目性和隨意性，在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中不能合理布點、由淺入深，從數(shù)到形的轉(zhuǎn)換過程過于簡單，致使高中生對“數(shù)”和“形”的理解比較狹隘，運用數(shù)形結(jié)合法解題時出現(xiàn)構(gòu)圖不當(dāng)、轉(zhuǎn)換失真、數(shù)與形不等價、條件理解不深刻等問題，未能有效提高學(xué)生的解題能力.

基于以上三方面的分析，可以看出，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法既是落實課標(biāo)精神的要求，也是學(xué)生發(fā)展的要求，更是徹底改善目前高中數(shù)學(xué)教與學(xué)現(xiàn)狀的需要. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中只有效滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，才能讓學(xué)生在主動參與的學(xué)習(xí)過程中不斷體會數(shù)形結(jié)合的意義所在，獲得終身受益的數(shù)學(xué)思想方法和解決問題的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的策略

1. 恰當(dāng)運用多媒體技術(shù)手段動態(tài)展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法

信息技術(shù)具有動態(tài)可視化的效果，因此教學(xué)中可以利用多媒體技術(shù)來展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法，動態(tài)變化的演示過程不僅能將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀形象、變化有序地展示在學(xué)生面前，驗證發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的動態(tài)感，而且為學(xué)生進行建構(gòu)性學(xué)習(xí)提供了有利的平臺，使學(xué)生學(xué)會利用動態(tài)的眼光去看待問題.

高中解析幾何不僅是數(shù)和形的緊密結(jié)合，具有利用方程的性質(zhì)來研究相應(yīng)的幾何圖形的特點，而且它是把曲線，也包括直線看作按一定的幾何條件運動的集合.因此教學(xué)中用多媒體把“數(shù)”和“形”的潛在關(guān)系動態(tài)地顯示出來，并有針對性地加以講解或組織學(xué)生討論. 通過觀察、驗證、對比等一系列探究性活動尋找到一般規(guī)律和特殊屬性，從而充分揭示教學(xué)內(nèi)容中內(nèi)在的辯證關(guān)系，加深學(xué)生對幾何圖形的感知和理解，從而培養(yǎng)學(xué)生用運動、變化的觀點分析和解決問題的習(xí)慣，最終理解和掌握所學(xué)知識的實質(zhì).

2. 在探尋知識意義的實踐活動中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程不只是數(shù)學(xué)知識的習(xí)得，而應(yīng)是引導(dǎo)學(xué)生在“經(jīng)歷”“體驗”知識的產(chǎn)生、發(fā)展和形成過程中發(fā)展能力. 因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要創(chuàng)設(shè)開展數(shù)學(xué)活動的良好情境，給予學(xué)生充分的從事數(shù)學(xué)活動的時間和空間，在親歷中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

如，在教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”時，筆者安排了三個層次的教學(xué)活動：（1）以實際生活中的氣溫變化表、股市走勢等讓學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗進行思考；（2）出示函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生將圖象中上升或下降的趨勢用自己的語言描述出來；（3）用幾何畫板動態(tài)演示，讓學(xué)生觀察隨著x值的變化，函數(shù)值f（x）是如何變化的，然后再用數(shù)學(xué)語言對圖形中的上升或下降趨勢加以描述. 將圖象語言、符號語言、文字語言相結(jié)合，在探究、經(jīng)歷“函數(shù)單調(diào)性”的數(shù)學(xué)活動過程中使學(xué)生對“函數(shù)單調(diào)性”本質(zhì)內(nèi)涵進行理解，體驗數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

3. 在解題過程中合理引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，不僅是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會和掌握數(shù)學(xué)知識，更重要的是學(xué)會用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識的應(yīng)用. 作為解決數(shù)學(xué)問題時“由數(shù)思形”或“由形思數(shù)”的一種數(shù)學(xué)思想，它可以有效地將數(shù)字和圖形相互轉(zhuǎn)化，利用形象解決抽象，實現(xiàn)化難為易的效果. 因此教師在平時的教學(xué)中應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)形結(jié)合的思想運用于解答數(shù)學(xué)問題中去，提高學(xué)生的分析及解決問題的能力.

（1）由數(shù)思形，以形得數(shù)

如：已知f（x）=x2+4x+3，求f（x）在閉區(qū)間[-3，1]上的最大值、最小值.

分析：f（x）=x2+4x+3=（x+2）2-1圖象的開口向上，對稱軸x=-2，作此二次函數(shù)的大致草圖（如圖1），對稱軸在區(qū)間內(nèi)，并在區(qū)間中點的左側(cè)，故f（x）max=f（1）=8，f（x）min=f（-2）=-（2）由形思數(shù)，以數(shù)論形

如：如圖2，AB為半圓O的直徑，且AB=2，P是延長線上一點，且OP=2，Q為半圓上任一點，以PQ為一邊向△OPQ的外部作等邊三角形PQR，求四邊形OPRQ的面積的最大值，并求當(dāng)四邊形OPRQ面積最大值時∠QOP的值.

分析：要確定四邊形面積的最大值，必須由題目條件結(jié)合圖形，把面積的表達式寫出來.

設(shè)∠QOP=θ，則在△OPQ中，由余弦定理可得PQ2=5-4cosθ，故

.

四邊形OPRQ面積的最大值為，此時θ-=，所以θ=.

在引導(dǎo)學(xué)生對知識的反思的過程中提煉數(shù)形結(jié)合思想

高中數(shù)學(xué)很多知識點屮都蘊含數(shù)形結(jié)合思想，可以說貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終. 然而在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，很多教師往往就題論題，告知學(xué)生此題可利用數(shù)形結(jié)合思想來解，這樣不利于學(xué)生達到真正意義上的理解和接受. 因此教師要徹底改變重視“教”而忽略“學(xué)”的現(xiàn)狀，不僅要在整體上做好分類，有目的、有計劃地選取典型例題進行分析和講解，而且還應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生進行反思與歸納，在對知識的反思的過程中提煉數(shù)形結(jié)合思想，從而構(gòu)建完整的數(shù)形結(jié)合解決問題的策略體系.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要從著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高的視角，在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)對數(shù)形結(jié)合思想方法的關(guān)注和重視，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的激活，讓學(xué)生從解決問題的方法和過程中感悟與體會數(shù)學(xué)思想方法，在親歷自主探究解決問題的過程中實現(xiàn)知識的完整建構(gòu)，促進學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化、遷移思維與分析問題及、解決問題能力的提升，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).