基于高層次數(shù)學(xué)認知的課堂實錄研究

胡曦茜+++周超

摘 要： 無論是國內(nèi)的青浦實驗還是國外的許多研究，都體現(xiàn)了我國中學(xué)生對高層次數(shù)學(xué)認知的缺失，因此，作者通過對九年級《反證法》的一節(jié)課的具體研究，分析目前課堂教學(xué)中各層次數(shù)學(xué)任務(wù)的所占比例及落實情況，對如何在課堂教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認知水平提出具體建議。

關(guān)鍵詞： 高層次 數(shù)學(xué)認知 課堂教學(xué)

在目前的數(shù)學(xué)教育中，人們普遍認為中國學(xué)生善于解決常規(guī)問題，而不善于解決非常規(guī)、開放性問題，這一觀點在國內(nèi)外多項研究中都得到了驗證。顧泠沅教授組織的青浦實驗在1990年和2007年分別對八年級學(xué)生的數(shù)學(xué)認知水平進行了大樣本的測試。這兩次測試的結(jié)果表明，學(xué)生在“計算”、“概念”、“領(lǐng)會”水平上已經(jīng)取得了較大的突破，但是在“分析”水平上，不但幾乎沒有任何進步，反而還有倒退的跡象。解決非常規(guī)、開放性問題和顧泠沅教授所劃分的“分析”水平，均屬于高層次數(shù)學(xué)認知。因此，什么是高認知層次數(shù)學(xué)任務(wù)，以及如何在課堂教學(xué)提高學(xué)生高水平數(shù)學(xué)認知亟待解決。

對此，鮑建生等人根據(jù)青浦實驗小組的數(shù)學(xué)認知水平分析框架，認為“分析”水平應(yīng)包括以下五點高認知層次數(shù)學(xué)任務(wù)：

（1）發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題：從各種情境中發(fā)現(xiàn)所包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系或結(jié)構(gòu)，提出合適的數(shù)學(xué)問題；

（2）解決非常規(guī)的和開放性的數(shù)學(xué)問題；

（3）提出猜想與構(gòu)造模型：分析條件和結(jié)論間主要關(guān)系或重點步驟，形成假設(shè)或初步的數(shù)學(xué)模型；

（4）特殊化與一般化：全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進行推廣或特殊化；

（5）數(shù)學(xué)推理與證明：用數(shù)學(xué)語言形成結(jié)論并給出嚴(yán)格的證明。

本文將以此為框架，對一節(jié)具體的九年級數(shù)學(xué)課進行課堂實錄研究。

1.《反證法》內(nèi)容及教材分析

本節(jié)課是華東師范大學(xué)版初中九年級教材下冊29.2節(jié)《反證法》，在教學(xué)中，學(xué)生需要體會反證法的含義，掌握反證法的步驟與綜合法的根本區(qū)別，并且能用反證法證明一些較簡單的命題。反證法是一種常用的數(shù)學(xué)證明方法，但是，對九年級學(xué)生來說，反證法需要較高的數(shù)學(xué)思維水平，且反證法是他們從來沒有接觸過的證明方法，因此讓學(xué)生理解反證法的含義和掌握證明步驟成為本節(jié)課的教學(xué)重點。同時，尋找問題的反面是本節(jié)課的難點。

2.教學(xué)過程分析

表1 各數(shù)學(xué)任務(wù)用時分布情況表

本節(jié)課包括：情境引入、方法形成、反證法證明過程的分解練習(xí)、例題、練習(xí)、擴展練習(xí)、總結(jié)7個部分，將每個部分細化，與上述框架對應(yīng)，筆者發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課教師對其中四點落實較好，但較少涉及解決非常規(guī)和開放性的數(shù)學(xué)問題。具體過程如上表：

2.1形成并發(fā)現(xiàn)合適的數(shù)學(xué)問題。

這節(jié)課在情境引入和方法形成的第一步中，教師幫助學(xué)生形成并發(fā)現(xiàn)合適的數(shù)學(xué)問題。

首先，引入課題的是兩個現(xiàn)實生活中的情境，這兩個問題用反證法更容易解釋得清楚，但教師直接讓學(xué)生解釋，在學(xué)生解釋不清的時候，再提示學(xué)生從結(jié)論的反面入手。這樣的做法給了學(xué)生充足的思考時間，這就幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題，即，什么樣的問題需要用反證法證明？反證法的好處是什么？怎么用反證法證明？在方法形成的第一步中，教師同樣做到了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和形成數(shù)學(xué)問題，請看第一步的教學(xué)實錄：

師：我們看一個具體的數(shù)學(xué)問題。在一個△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.這個命題是真命題嗎？

生：是。

師：這是什么？

生：勾股定理。

師：這就是我們熟悉的勾股定理。接下來教師把他改一改我把剛才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，這是真命題嗎？

生：是。（回答人數(shù)不多，學(xué)生有些猶豫。）

師：是。為什么呢？

師：思考一下，這個問題很難直接回答，那我們是不是也可以從它的反面來講一講。想想看我們這個命題是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？

生：a■+b■=c■.

師：那么我假設(shè)a■+b■=c■，你會得到一個什么結(jié)果？

生：∠C=90°.

師：為什么會得到∠C=90°呢？

生：因為勾股定理的逆定理。

師：也就是說因為勾股定理的逆定理知道這是一個直角三角形，因為C是斜邊，所以∠C=90°。這與已知條件中∠C≠90°矛盾。一旦出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)還成立嗎？

生：不成立。

師：那么就是導(dǎo)致了a■+b■=c■這個命題不成立，也就是a■+b■≠c■，這個命題是一個真命題。

這個過程中，教師一直在引導(dǎo)學(xué)生，給出提示，讓學(xué)生自己說出結(jié)果。雖然處理方法與情境引入相似，但情境引入是兩個生活實例，而這個問題是一個純粹的數(shù)學(xué)問題。如果在情境引入中教師能啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并形成數(shù)學(xué)問題，那么在這個問題中，教師希望學(xué)生自己能發(fā)現(xiàn)這個問題與情境引入中問題的相似，從而自己發(fā)現(xiàn)問題中包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系和結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)問題。

2.2解決非常規(guī)和開放性的數(shù)學(xué)問題。

在本節(jié)課的最后，進行完例題與習(xí)題的講解，教師給出了一個有趣的問題，如下：

討論問題：有A，B，C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A，B都撒謊，則C必定是在撒謊，為什么？

這是一個非常規(guī)和開放性的數(shù)學(xué)問題，在之前的授課中，學(xué)生練習(xí)的均為常規(guī)的程序性數(shù)學(xué)問題，這道非常規(guī)開放性的數(shù)學(xué)問題有利于拓寬學(xué)生思路，同時加深對反證法的理解，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。但是可惜由于時間關(guān)系，教師僅僅用自己提問然后自己回答的方式，證明了一下C必定撒謊這一結(jié)論，整個過程用時很短，從課堂反應(yīng)上看，學(xué)生似乎對此問題的理解不夠。

2.3提出猜想與構(gòu)造模型。

在方法形成的第二步，教師引導(dǎo)學(xué)生提出了勾股定理的否命題，便在黑板上板書了反證法的詳細證明步驟。值得一提的是，教師并沒有自己歸納，而是請一名同學(xué)回憶上述問題的證明過程，自己歸納。這便做到了提出猜想與構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。對具體問題的證明和抽象出一般的證明方法之間有著較大跨度，讓學(xué)生自己歸納有利于培養(yǎng)學(xué)生分析條件和結(jié)論之間主要關(guān)系或重點步驟，形成初步數(shù)學(xué)模型的能力。

2.4特殊化與一般化。

在形成一般化的證明方法以后，教師適時地按照證明步驟回顧了情境引入和勾股定理否命題這兩個問題的證明。這樣的做法正好符合了一般化與特殊化的原則，全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進行推廣或特殊化?；仡櫪拥倪^程有利于讓學(xué)生把程序化的證明方法和證明過程的實際聯(lián)系起來，深化對反證法證明過程的理解。

接著進行了對反證法證明過程的分解練習(xí)，具體做法如下：

第一步：練習(xí)如何進行假設(shè)。讓學(xué)生說出“a//b”、“∠A不小于60度”、“線段AB，CD互相平分”、“至少有一個”這四個命題的反面是什么。

第二步：給出證明的大致框架，讓學(xué)生填空。

在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C。

分解練習(xí)對于初學(xué)者來說有一定的必要性，教師由于有較多的教學(xué)經(jīng)驗，知道學(xué)生對于反證法的薄弱環(huán)節(jié)在于第一步“假設(shè)”。“假設(shè)”其實是對結(jié)論進行否定，而對于初中學(xué)生來說，對“不大于”、“至少有一個”這樣的命題進行否定存在比較大的困難，教師第一步進行假設(shè)的練習(xí)解決了學(xué)生普遍存在的這一類問題。在第二步中，給出證明框架，讓學(xué)生填空的做法，是給予了學(xué)生一個對反證法整體思路的熟悉過程。這種循序漸進的教學(xué)方法對于學(xué)生的接受有積極作用。同時，上述的第四點特殊化與一般化要求：全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進行推廣或特殊化；而這兩步分解練習(xí)是對模型（反證法的證明步驟）中的各個要素進行分解和詳細闡釋，為學(xué)生進一步進行特殊化做好了鋪墊。

分解練習(xí)之后，又講解了兩道例題，并請同學(xué)在黑板上板書了一道習(xí)題。這同樣也是對反證法證明模型的進一步運用，通過分解練習(xí)和例題的講解，學(xué)生在練習(xí)中反應(yīng)較好。

2.5數(shù)學(xué)推理與證明。

以上進行例題的講解和練習(xí)的過程同時也是數(shù)學(xué)推理與證明的過程。教師多次強調(diào)證明的格式規(guī)范，學(xué)生也能夠?qū)λo習(xí)題進行嚴(yán)格證明。

3.教學(xué)建議與反思

綜合對本節(jié)課以上五個方面的考察，筆者認為，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注意以下方面。

3.1在發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題之初，教師應(yīng)留給學(xué)生足夠的思考時間。

就本節(jié)課而言，反證法這種證明方法很可能是學(xué)生從來沒有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸過的，因此，對于情境引入中的實際問題，即使他們明白其中道理，并且發(fā)現(xiàn)從正面去解釋存在困難，他們也想不到用反證思想。這個時候，教師應(yīng)適當(dāng)提示，步步引導(dǎo)，并且在此過程中給予學(xué)生充足的思考時間。如果這個時候教師急于說出答案，那么讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和形成合適的數(shù)學(xué)問題就變成了老師給出合適的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生從一開始對該問題中包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系和結(jié)構(gòu)認識的不夠深刻，這會影響學(xué)生掌握和運用該知識。

3.2在課堂中，教師應(yīng)適當(dāng)增加非常規(guī)和開放性數(shù)學(xué)問題的比例。

在本節(jié)課中，教師一共講了3道例題和一道習(xí)題，再加上5道分解練習(xí)，這些題均為學(xué)生熟知的幾何性質(zhì)，對于這一類問題，學(xué)生掌握較好。而非常規(guī)的問題，教師用了一個辨別誰在說謊的開放性問題進行，題目選取得當(dāng)，有趣味性。然而在對這個問題的處理上，教師并沒有給學(xué)生思考時間也沒有請同學(xué)回答，而是自己說出了解答過程，且僅用時1分48秒。雖然當(dāng)時臨近下課，教師這樣處理可能是出于對時間的考慮，但是這也多少反映了教師對非常規(guī)和開放性的問題不夠重視，把一節(jié)課主要定位在讓學(xué)生熟練掌握常規(guī)的程序性問題上。然而，一道好的非常規(guī)和開放性數(shù)學(xué)問題不僅有利于加深學(xué)生對該知識點的理解，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力和數(shù)學(xué)問題解決的能力，像這樣源于生活的趣味性問題，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而更熱愛數(shù)學(xué)。因此，適當(dāng)增加非常規(guī)和開放性數(shù)學(xué)問題的比例十分必要。

3.3構(gòu)造模型和將模型一般化需要結(jié)合起來。

在本節(jié)課中，教師先從一道具體問題啟發(fā)學(xué)生用反證法的思想證明，然后讓學(xué)生回憶剛剛的證明，歸納反證法的一般證明步驟，這就是構(gòu)造了一個用反證法證明的模型。但老師并沒有直接進入例題的講解，而是立即用剛剛歸納的證明模型再次回顧了之前那道具體問題的證明。這個過程中學(xué)生充分理解了模型與具體問題之間的關(guān)系，加深學(xué)生對模型的理解。因此筆者建議，在教學(xué)中教師整理出一類初步的數(shù)學(xué)模型之后，立即用該模型回顧一個學(xué)生已經(jīng)理解的具體問題，會取得更好的教學(xué)效果。