選用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，踐行“單元教學(xué)”——以“直線和圓的位置關(guān)系”起始課教學(xué)為例

☉江蘇省徐州市第三十四中學(xué)　孫　莉

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選用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，踐行“單元教學(xué)”——以“直線和圓的位置關(guān)系”起始課教學(xué)為例

☉江蘇省徐州市第三十四中學(xué)孫莉

一、教材分析

在九年級圓的教學(xué)時，與圓有關(guān)的位置關(guān)系是一個重要的教學(xué)單元，一般包括點和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將后者作為選學(xué)內(nèi)容，不列入考試要求之后，各版本教材對前兩種位置關(guān)系的設(shè)置也不相同，比如有些教材將點和圓的位置關(guān)系安排在圓的基本概念一節(jié)，與三角形的外接圓一起學(xué)習(xí)；有些教材將其組合在一個單元.但是，筆者比較多種版本教材發(fā)現(xiàn)一個共同點，這就是關(guān)于直線和圓的位置關(guān)系的引入情境多是同一類型：以太陽升起過程中，和地平線的位置關(guān)系來引入新課.從數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系來看，這樣的情境設(shè)計固然有一定的道理，然而從數(shù)學(xué)知識“前后一致、邏輯連貫”的角度看，重視“點和圓的位置關(guān)系”作為數(shù)學(xué)現(xiàn)實情境，也應(yīng)該是值得重視的一種情境引入方式，下面筆者展示近期執(zhí)教的一節(jié)“直線和圓的位置關(guān)系”研討課教學(xué)設(shè)計，并跟進(jìn)解讀教學(xué)立意，供研討.

二、“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）從“點與圓的位置關(guān)系”出發(fā)

開課設(shè)計：復(fù)習(xí)點和圓有關(guān)的位置關(guān)系，課前在黑板上畫出圖1（三個點，點B、C、D分別在圓內(nèi)、上、外），安排學(xué)生講出（教師板書）：點B在圓內(nèi)?BOr.

圖1

接著在三個圓外都取一點A，分別作直線AB、AC、AD；讓學(xué)生觀察直線與圓的位置關(guān)系，引出本節(jié)課的課題：直線和圓的位置關(guān)系.

類比點和圓的位置關(guān)系，問學(xué)生：如何研究直線和圓的位置關(guān)系呢？（預(yù)設(shè)：思考圓心O到直線的距離，如圖2，從而作出三條垂線段，即作OH⊥AB……）

圖2

繼續(xù)類比點和圓的位置關(guān)系，定義直線和圓相交、相切、相離的概念，并記圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，可歸納：直線和圓相交?dr.

【一組練習(xí)】

（1）圓的直徑是13cm，如果圓心與直線的距離分別是：①4.5cm；②6.5cm；③8cm，那么直線和圓分別是什么位置關(guān)系？有幾個公共點？

（2）已知Rt△ABC的斜邊AB=6cm，直角邊AC=3cm.圓心為C，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？半徑是多長時，AB與圓相切？

預(yù)設(shè)意圖：通過兩道習(xí)題及變式訓(xùn)練直線和圓的位置關(guān)系的一些概念，通過解題促進(jìn)概念理解和內(nèi)化.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）聚焦相切，研究性質(zhì)

過渡語：繼續(xù)關(guān)注黑板上三個圓，在直線和圓的位置關(guān)系中，相交、相離變化較多，暫且不研究，讓我們先研究它們的特殊位置關(guān)系，就是相切的情形（如圖3）.

圖3

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)：經(jīng)過半徑OC的外端并且垂直于半徑的直線就是圓的切線（即切線的判定定理）.

預(yù)設(shè)問題1：為什么這是一個定理，而不是公理？

預(yù)設(shè)意圖：啟發(fā)學(xué)生辨析公理和定理是重要的，九年級學(xué)生需要明白公理是不證自明的，定理是需要證明的，比如這里可以根據(jù)公理“過圓上一點C有且只有一條直線垂直于半徑”，或利用反證法推出矛盾來獲得證明.值得注意的是，教材沒有在這里給出詳細(xì)推證，教學(xué)時這里提及就可以，不必深究，啟發(fā)優(yōu)秀學(xué)生深入思考.

預(yù)設(shè)問題2：切線的判定定理反過來思考，可以提出如下命題：圓的切線一定垂直于過切點的半徑.請判斷該命題的真假，并說明理由.

預(yù)設(shè)意圖：其實是引導(dǎo)學(xué)生證明切線的性質(zhì)定理，也可以通過反證法的思路獲得證明.注意對兩個定理給出符號語言的表達(dá)語句，為后續(xù)例題解答提供格式上的規(guī)范.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）例題探究，變式思考

圖4

例1如圖4，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D.

求證：AC是⊙O的切線.

預(yù)設(shè)講評：根據(jù)切線的判定定理，引導(dǎo)學(xué)生作出輔助線（比如，連接OD，作OE⊥AC于點E），并說清楚這兩種輔助線在解決切線問題中是十分常見的.

例2已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF.如圖5所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是（至少說出兩種）：_______或者_(dá)_________.

圖5

圖6

預(yù)設(shè)追問：如圖6所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷.

預(yù)設(shè)講評：第一問主要訓(xùn)練學(xué)生對切線判定定理的理解；第二問對于初學(xué)者有難度，提示輔助線（連接OA）后，關(guān)鍵是證明∠OAE為直角，這里圖形的本質(zhì)是弦切角定理.考慮到教學(xué)時間的原因，可以根據(jù)學(xué)情，相機使用“變式追問”.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）“生長式”課堂小結(jié)

小結(jié)語（安排學(xué)生簡要小結(jié)本課內(nèi)容之后）：讓我們回到本課開始時的圖形，從圓外一點引圓的割線可作無數(shù)條；從圓外一點作圓的切線能作幾條呢？（再次利用PPT展示圖3，讓學(xué)生分析過點A能引圓的切線幾條.）

預(yù)設(shè)意圖：當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)有且僅有兩條之后，告知下一節(jié)課將繼續(xù)研究這種圖形，留下生長式的課堂小結(jié).

附：板書設(shè)計

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.教學(xué)內(nèi)容的組織，值得踐行“單元教學(xué)”

一年來，我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)》等刊物上讀到很多同行研究或賞析南通市啟秀學(xué)中學(xué)、專家教師李庾南老師的課例文章，特別是李老師幾十年如一日踐行著數(shù)學(xué)單元教學(xué).所謂單元教學(xué)，即根據(jù)數(shù)學(xué)知識發(fā)生的規(guī)律、內(nèi)在的聯(lián)系、學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與可達(dá)到的高度，以及發(fā)展思維能力，將學(xué)材分為單元或知識模塊，從整體上把握教學(xué)要求，安排教學(xué)內(nèi)容，分課時實施.從上文課例來看，教材上直線和圓的位置關(guān)系第1課時往往只是總結(jié)到三種位置關(guān)系，數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，就進(jìn)入系列練習(xí)鞏固階段，而我們在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計時，還基于從知識發(fā)展的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，研究直線與圓相切的關(guān)系，即切線的判定和性質(zhì)定理.由于教學(xué)時間原因，將切線長性質(zhì)作為課堂小結(jié)提出來，下一節(jié)課繼續(xù)探討.

2.教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，需要關(guān)注“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”

如本文開篇所指出的，新世紀(jì)以來的教材一個顯著的特點就是關(guān)于新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)，設(shè)置了大量的“生活現(xiàn)實”引入新課.然而“課標(biāo)（2011年版）”關(guān)于數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)做出了必要的糾偏平衡，這就是需要兼顧生活現(xiàn)實、數(shù)學(xué)現(xiàn)實及其他學(xué)科現(xiàn)實.筆者認(rèn)為，當(dāng)前值得關(guān)注的應(yīng)該是數(shù)學(xué)現(xiàn)實情境的創(chuàng)設(shè)，就如同本課例在開課階段，我們就舍棄了各種教材上流行的太陽升起與地平線之間的關(guān)系引入新課的情境創(chuàng)設(shè)，而選擇了點與圓的位置關(guān)系的圖形作為引入圖形，追求了章建躍教授所倡導(dǎo)的“前后一致、邏輯連貫”的建議.

3.單元教學(xué)起始課，預(yù)設(shè)“生長式小結(jié)”

對于單元教學(xué)起始課，很多同行會認(rèn)為這種課型往往容量、難度偏大，不適合一些農(nóng)村學(xué)?；虺青l(xiāng)結(jié)合部學(xué)校實踐.事實上，這是一種認(rèn)識上的封閉現(xiàn)象.所謂教學(xué)容量，常常應(yīng)該是預(yù)設(shè)大于生成，切實堅持以學(xué)定教.比如，上文課例中我們預(yù)設(shè)了好多追問、變式拓展和富有深度的問題，并不要求所有學(xué)生當(dāng)堂對有難度的問題都即時獲得理解消化.再比如，例題教學(xué)環(huán)節(jié)，在例2中我們預(yù)設(shè)了系列追問，也可以根據(jù)教學(xué)時間靈活選擇.還有，本課小結(jié)階段，我們引導(dǎo)學(xué)生回到開課階段的情境，過圓外一點A引圓的兩條切線，為下一節(jié)課研究切線長性質(zhì)提供一種生長式情境.所以這些教學(xué)預(yù)設(shè)都是為了追求不同課時之間的平滑過渡、無縫對接，想來戲劇、影視藝術(shù)中常常經(jīng)營轉(zhuǎn)場效果，也是如此吧.

參考文獻(xiàn)：

1.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（6）.

2.何明.追求邏輯連貫、生長自然的教學(xué)設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（3）.

3.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

4.仇錦華.從數(shù)學(xué)整體觀看單元教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（11）.