一題多變，探尋教材例題的教學(xué)價(jià)值

☉江蘇省南京市溧水區(qū)孔鎮(zhèn)中學(xué)　楊紹平

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一題多變，探尋教材例題的教學(xué)價(jià)值

☉江蘇省南京市溧水區(qū)孔鎮(zhèn)中學(xué)楊紹平

一題多變是通過(guò)題目的引申、變化、發(fā)散，提供問(wèn)題的背景，揭示問(wèn)題間的邏輯關(guān)系，課堂上“一題多變”的適當(dāng)運(yùn)用，不僅可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，還能激發(fā)學(xué)生的探究精神和學(xué)習(xí)熱情，更能達(dá)到拓展數(shù)學(xué)思維的作用.下面以蘇科版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施的教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第四章“一元二次方程”第1.4節(jié)“用一元二次方程解決問(wèn)題（3）”為例加以說(shuō)明.

一、課堂實(shí)錄

1.例題呈現(xiàn)

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC= 12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C 以2cm/s的速度移動(dòng)，問(wèn)：幾秒后△PQB的面積等于8cm2？

2.教學(xué)過(guò)程

本題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)求解不是很困難.

解：設(shè)x秒后△PQB的面積等于8cm2.（以下x都表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間）

解這個(gè)方程，得：x1=2，x2=4.

答：2秒或4秒后△PQB的面積等于8cm2.

師：大家做的很好，如果我換一個(gè)問(wèn)題，你能解決嗎？

生1：（利用前一問(wèn)的經(jīng)驗(yàn)，很快便有了答案）在Rt△PQB中，運(yùn)用勾股定理，得

師：回答的很好，看來(lái)這兩個(gè)題目都難不到你們，我再來(lái)?yè)Q一個(gè)問(wèn)題看看你們是否也能解決.

（板書變式2：若題目條件不變，幾秒后△PQD的面積等于28cm2？）

（片刻后）師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你怎么思考的？

師：你們同意嗎？

（學(xué)生們都面面相覷，有些小聲贊成，也有幾位同學(xué)表示反對(duì)）

師：這么多同學(xué)贊成，你卻反對(duì)，說(shuō)說(shuō)你有什么高見(jiàn).

生3：剛才生2這樣列方程其實(shí)默認(rèn)了∠PQD=90°，題目中并沒(méi)有這個(gè)條件.

（生2臉有點(diǎn)紅，也意識(shí)到自己錯(cuò)了）

師：你們同意嗎？

（眾生表示同意，并對(duì)生3嘖嘖稱贊.）

師：那么此題該如何解決呢？

生4：之前我們學(xué)習(xí)過(guò)利用“割補(bǔ)法”來(lái)求不規(guī)則圖形的面積，那么對(duì)于此題也可試試看，即：S矩形ABCD-S△DAPS△PBQ-S△QCD=S△PQD，于是根據(jù)題意可列方程：

師：看來(lái)我們要認(rèn)真審題，要從已知條件出發(fā)，切不可被圖形迷住了雙眼而硬生生地添加條件，其實(shí)此處利用“割補(bǔ)法”求△PQD的面積也正是我們常說(shuō)的“化斜為直”.（生3感到很開心，生2就顯得有點(diǎn)消沉.）但我要特別感謝生2，他讓我想到了另一個(gè)問(wèn)題.

（板書變式3：若題目條件不變，幾秒后DQ⊥PQ？）

（看到生2臉又紅了，微微一笑.筆者心想：老師的一句話既能解除生2的尷尬，又能活躍課堂氣氛，看來(lái)當(dāng)好一名老師真的很重要）

生5：在Rt△DPQ中運(yùn)用勾股定理列出方程［（6-x）2+ （2x）2］+［62+（12-2x）2］=122+x2.

（學(xué)生邊說(shuō)，教師邊板書，并有意將方程寫的很長(zhǎng)）

師：生5靈活利用勾股定理解決此題，的確很妙.但我對(duì)他有意見(jiàn)，這個(gè)方程寫下來(lái)好累呀！你們累嗎？有沒(méi)有更加簡(jiǎn)潔的方法？

（這時(shí)的課堂氣氛及學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)都非常好，思考片刻便有好幾個(gè)學(xué)生舉手）

師：不比不知道，一比嚇一跳.我們平時(shí)不僅要追求正解，還要思考有沒(méi)有其他解法，有沒(méi)有其他更簡(jiǎn)潔的方法，不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的收獲.我現(xiàn)在又要感謝生6了，他又讓我想到另一個(gè)問(wèn)題.

（板書變式4：若題目條件不變，幾秒后△DCQ與△QBP相似？）

（學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情已被激發(fā)出來(lái)了，能積極主動(dòng)地進(jìn)行探討，有學(xué)生說(shuō)不是跟上題一樣嗎？）

師：（追問(wèn)一句）真的一樣嗎？下面你們就小組討論到底是否相同.

（3分鐘后，小組代表匯報(bào)結(jié)論）

師：你還能對(duì)題目進(jìn)行怎樣的改編？

（思考片刻后有學(xué)生陸續(xù)舉手）

生8：若題目條件不變，幾秒后△DPQ是等腰三角形？

師：很好，你們能解決嗎？

生9：我覺(jué)得很簡(jiǎn)單，如圖1，由DP=DQ，得DP2=DQ2，即：

x2+122=62+（12-2x）2.

（底下竊竊私語(yǔ)，有不少學(xué)生舉手表示有不同意見(jiàn)）

生10：根據(jù)題目的意思，只要△DPQ是等腰三角形即可，所以要進(jìn)行分類討論，除了生9敘述的情況外，應(yīng)還有：

當(dāng)QP=QD時(shí)，有（6-x）2+（2x）2=62+（12-2x）2；

當(dāng)PD=PQ時(shí)，有x2+122=（6-x）2+（2x）2.

師：很好，我們考慮問(wèn)題一定要全面，遇到等腰三角形的題目很有可能需分類討論.

（正當(dāng)筆者小結(jié)時(shí)又有一個(gè)學(xué)生舉起了手）

（眾生贊嘆！一起鼓掌）

師：真了不起，我們要向生11學(xué)習(xí)，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、反思質(zhì)疑等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

師：今天大家參與的非常積極，肯定有不少收獲，你們談?wù)勛约旱母邢氚桑?/p>

生12：數(shù)學(xué)真的挺有意思的，同樣一個(gè)題目可以變化成這么多問(wèn)題，也考查了這么多數(shù)學(xué)知識(shí)……

二、幾點(diǎn)思考

從一個(gè)例題的展開，學(xué)生既能掌握所學(xué)知識(shí)，又能在探索與獲取知識(shí)的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的“美”.既培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.這節(jié)課下來(lái)，筆者也有以下幾點(diǎn)思考.

1.提高解題能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）明確指出：獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).本節(jié)課在每個(gè)變式得到解答后，筆者都注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行比較，對(duì)解題方法進(jìn)行思考，及時(shí)總結(jié)、概括知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，力求達(dá)到“解一題，會(huì)一片，通一類”的效果.如上述案例中，可讓學(xué)生總結(jié)出解決動(dòng)態(tài)變化題的一些策略，如：化動(dòng)為靜，求線段長(zhǎng)度通常利用勾股定理和相似，求面積可分為直接求和間接求（割補(bǔ)法）兩種，等腰三角形問(wèn)題往往需要進(jìn)行分類討論等.

2.拓展學(xué)生思維

“一題多變”是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的有效途徑之一.通過(guò)一題多變的訓(xùn)練，可以使學(xué)生認(rèn)清各個(gè)變式題之間的聯(lián)系和區(qū)別；可以開拓學(xué)生解題的思路，訓(xùn)練學(xué)生歸納總結(jié)、勇于探索的意識(shí)；有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，能進(jìn)一步深化對(duì)知識(shí)的理解和掌握，從而提高課堂教學(xué)效率.另外，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同方法進(jìn)行比較，優(yōu)化他們的解題思路，這也拓展了他們的思維.例如在變式3“若題目條件不變，幾秒后DQ⊥PQ？”解決過(guò)程中，有學(xué)生利用勾股定理構(gòu)造方程，也有學(xué)生利用三角形相似來(lái)構(gòu)造方程，使學(xué)生明白一題可能有多種解法，通過(guò)比較選擇最優(yōu)化方案.

3.引發(fā)探究熱情

“課標(biāo)”明確指出：學(xué)生獲得知識(shí)，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)接受學(xué)習(xí)的方式，也可以通過(guò)自主探索等方式；學(xué)生應(yīng)用知識(shí)并逐步形成技能，離不開自己的實(shí)踐；學(xué)生在獲得知識(shí)技能的過(guò)程中，只有親身參與教師精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)，才能在數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展.本節(jié)課筆者能利用親切、感人的教學(xué)語(yǔ)言喚起學(xué)生的熱情；努力營(yíng)造師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、生動(dòng)活潑的課堂氛圍；以平等、尊重的態(tài)度鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生共同探索，與學(xué)生一起感受成功與挫折、分享發(fā)現(xiàn)和結(jié)果.在經(jīng)歷了一系列的變式訓(xùn)練后，筆者靈機(jī)一動(dòng)拋出了“你還能對(duì)題目進(jìn)行怎樣的改編？”這一問(wèn)題，此時(shí)學(xué)生的積極性及探究熱情被充分地調(diào)動(dòng)起來(lái)，也體現(xiàn)了“課標(biāo)”中的理念：初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.

總之，在課堂教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合具體學(xué)情，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法創(chuàng)造性地使用教材例題，對(duì)其進(jìn)行一題多變，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，教給學(xué)生探究的方法和策略，挖掘“變”中的“不變”，努力探尋教材例題的教學(xué)價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的探究精神.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.何君青.例談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“一題多變，一題多問(wèn)”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2010（10）.

3.黃圣清.巧用“一題多變”培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（1-2）.