一個(gè)新的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)及其超混沌控制

謝艷云，蔡文良

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 重慶　永川　402160)

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一個(gè)新的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)及其超混沌控制

謝艷云，蔡文良

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 重慶永川402160)

[摘要]在三維耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,引入非線性控制器，構(gòu)建一個(gè)新的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)，分析了新系統(tǒng)平衡點(diǎn)的性質(zhì)、Lyapunov指數(shù)譜、吸引子的相圖等動(dòng)力學(xué)特性；利用線性反饋控制法，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的反饋增益,實(shí)現(xiàn)了新系統(tǒng)的超混沌控制.理論分析和數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性.

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)；延遲；混沌； 同步

近年來(lái),混沌已經(jīng)成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題,混沌系統(tǒng)在通信、電路、經(jīng)濟(jì)、生物和化學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1].混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為特性為保密通信和圖像加密提供了新思路,但用簡(jiǎn)單的混沌系統(tǒng)加密信息并不安全.1979年，Rossler首次給出了超混沌概念,并提出了超混沌系統(tǒng)[2].超混沌系統(tǒng)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù),其相軌跡較一般混沌吸引子而言,具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為更難預(yù)測(cè),具有更大的密鑰空間.本文在前人的研究基礎(chǔ)之上,基于耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)[3]引入一個(gè)非線性控制器,構(gòu)造一個(gè)新的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng),分析了系統(tǒng)的耗散性、Lyapunov指數(shù)與Lyapunov維數(shù)和吸引子等動(dòng)力學(xué)行為.根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)設(shè)計(jì)線性反饋控制器,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超混沌控制.數(shù)值模擬結(jié)果證實(shí)了該方法的有效性.

1新四維超混沌系統(tǒng)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[3]和[4],三維耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為

(1)

當(dāng)參數(shù)μ=2,a=3,ε=1時(shí),三維耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),混沌吸引子如圖1所示.

(a)x-y平面 (b)x-z平面 (c)x-w平面圖1　系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

根據(jù)產(chǎn)生超混沌吸引子的條件[5，6]，基于系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程引入一個(gè)非線性控制器w,其中m為新引入的參數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新的四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng).該系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為

(2)

新系統(tǒng)(2)保證了系統(tǒng)的維數(shù)為4,并且含有非線性乘積項(xiàng),滿足了產(chǎn)生超混沌的必要條件.

2新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1耗散性

對(duì)于新系統(tǒng)(2),向量場(chǎng)的散度:

可見(jiàn)，新系統(tǒng)(2)是耗散的,并以指數(shù)形式e-3收斂.當(dāng)t→∞時(shí),包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)小體積元以指數(shù)速率-3收縮到0.這說(shuō)明系統(tǒng)的所有軌跡最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限子集上,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為最終趨向于一個(gè)吸引子,說(shuō)明吸引子的存在性.

2.2Lyapunov指數(shù)與Lyapunov維數(shù)

從系統(tǒng)的吸引子相圖和時(shí)間響應(yīng)圖上很難區(qū)分混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng).Lyapunov指數(shù)是定量描述軌線彼此排斥和吸引的量,通過(guò)Lyapunov指數(shù)譜圖[7]可以十分清楚地區(qū)分系統(tǒng)所處的各個(gè)狀態(tài).一個(gè)四維連續(xù)自治系統(tǒng)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)中,有2個(gè)大于0、1個(gè)等于0、1個(gè)小于0時(shí)系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài);1個(gè)大于0、1個(gè)等于0、2個(gè)小于0時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);2個(gè)等于0、2個(gè)小于0時(shí)系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期狀態(tài);1個(gè)等于0、3個(gè)小于0時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài).

當(dāng)固定參數(shù)μ=2,a=3,ε=1時(shí),變量x隨參數(shù)m在[0,30]變化的Lyapunov譜圖如圖2(a)所示.圖2(b)為圖2(a)中m在[0,3]變化的放大圖.由圖2可以十分清楚地看到新系統(tǒng)(2)隨參數(shù)m變化的運(yùn)動(dòng)情況.

當(dāng)固定參數(shù)μ=2,a=3,ε=1,m=1.5時(shí)，利用Wolf方法[8]計(jì)算該四維非線性系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為λ1=0.164 9,λ2=0.089 1,λ3=0,λ4=-3.193 1 ,其中有2個(gè)大于0、1個(gè)等于0、1個(gè)小于0,說(shuō)明新系統(tǒng)(2)在這組參數(shù)下處于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

(a)m在[0,30]變化; (b)m在[0,3]變化圖2　系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)譜圖

根據(jù)Kaplan-Yorke猜想公式,計(jì)算新系統(tǒng)(2)的Lyapunov維數(shù)為：

新系統(tǒng)(2)的維數(shù)是分?jǐn)?shù)維數(shù),進(jìn)一步說(shuō)明該系統(tǒng)在這組參數(shù)下處于超混沌狀態(tài).

在上述參數(shù)下,新系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)超混沌吸引子在各個(gè)平面上的投影如圖3所示.由圖3可知，新系統(tǒng)(2)的超混沌吸引子具有復(fù)雜的折疊和拉伸軌跡,說(shuō)明超混沌系統(tǒng)比混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的不穩(wěn)定性.

2.3平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

計(jì)算得到4個(gè)特征根分別是1, 0.313 5,-2.156 8+3.114 6i,-2.156 8-3.114 6i.其中有兩個(gè)正值保證平衡點(diǎn)在某方向有排斥性,使其軌線分散.這從理論上證明了新系統(tǒng)(2)存在超混沌的可能性.

(a) x-y平面; (b) x-z平面; (c) x-w平面;(d) y-z平面; (e) y-w平面; (f) z-w平面圖3　系統(tǒng)(2)的超混沌吸引子在各平面上的投影

3超混沌系統(tǒng)的線性狀態(tài)反饋控制

采用線性狀態(tài)反饋控制法[9],將新的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(2)的超混沌運(yùn)動(dòng)控制到平衡點(diǎn)(0,0,0,0),構(gòu)造如下的受控系統(tǒng):

(3)

其中，k1x、k2y、k3z、k4w是線性反饋控制器,k1、k2、k3、k4是反饋系數(shù).系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處的Jacobia矩陣為

(4)

矩陣(4)的特征方程為：

(λ+k3-1)(λ3+b1λ2+b2λ+b3)=0

其中：

b1=4+k1+k2+k4

b2=13+2k1+2k2+4k4+k1k2+k1k4+k2k4

b3=13k4+2k1k4+2k2k4+k1k2k4

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù),當(dāng)且僅當(dāng)

k3-1>0,b1>0,b2>0,b1b2>b3

時(shí)Jacobia矩陣的所有特征值λ均具有負(fù)實(shí)部,因此只要k1、k2、k3、k4滿足上式,受控系統(tǒng)(3)漸進(jìn)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)(0,0,0,0).例如選取反饋系數(shù)k1=1,k2=1,k3=2,k4=1時(shí),k1、k2、k3、k4滿足Routh-Hurwitz判據(jù),選取初始值為(1,2,3,4),步長(zhǎng)為0.001.圖4給出了受控系統(tǒng)(3)的時(shí)間序列圖.數(shù)值仿真結(jié)果表明,新的四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(2)的4個(gè)狀態(tài)變量x、y、z、w快速收斂到平衡點(diǎn)(0,0,0,0),說(shuō)明采用線性狀態(tài)反饋控制能有效地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的超混沌控制.

(a) t-x; (b) t-y; (c) t-z; (d) t-w圖4　受控系統(tǒng)(3)的時(shí)間序列圖

4結(jié)論

本文提出基于三維耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)新的四維耦合發(fā)電機(jī)超混沌系統(tǒng),通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真,分析了新的四維耦合發(fā)電機(jī)超混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為，并基于線性反饋控制對(duì)該超混沌系統(tǒng)進(jìn)行超混沌控制.根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)姆答佋鲆?使新的四維耦合發(fā)電機(jī)超混沌系統(tǒng)的不穩(wěn)定行為快速得到控制，而且代價(jià)小.所得結(jié)果說(shuō)明：該超混沌系統(tǒng)具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,值得進(jìn)一步研究與推廣.

[參考文獻(xiàn)]

[1]CHEN G, DONG X. From chaos to order:Methdologies,perspectives and applications[M].Singapore: World Scientific,1998.

[2]ROSSLER O E.An equation for hyperchaos[J].Physics Ltters A,1979,71(2):155-157.

[3]LEIPNIK R B,NEWTON T A.Double strange attractors in rigid body motion with linear feedback control[J].Physics Ltters A,1981,86(2):63.

[4]王興元,武相軍.耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制與同步[J].物理學(xué)報(bào),2006,55(10):5077-5082.

[5]章秀君,吳志強(qiáng),方正.超混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2014,50(2):92-98.

[6]吳淑花,容旭巍,屈雙惠,等.超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的混沌同步及其電路實(shí)現(xiàn)[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào),2013,50(3):515-520.

[7]劉秉正,彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[8]WOLF A,SWIFT J B,SWINNEY H L,et al.Determining lyapunov exponents from a time series[J].Physics D:Nonlinear Phenomena,1985,16(3):285-317.

[9]李瑞紅,徐偉,李爽.一類新混沌系統(tǒng)的線性狀態(tài)反饋控制[J].物理學(xué)報(bào),2013,30(3):65-68.

(責(zé)任編輯穆剛)

A new four dimensional hyperchaotic coupled dynamos system and its hyperchaotic control

XIE Yanyun, CAI Wenliang

(Chongqing Water Conservancy and Electric Power Vocational Technology College, Yongchuan Chongqing 402160, China)

Abstract：The four dimensional hyperchaotic coupled dynamos system is built by adding a nonlinear controller to the three dimensional coupled dynamos system. Firstly, a set of parameters are identified when the system has hyperchaotic attractors. Then, the complex dynamic characteristics of the new system are analyzed, such as the dissipativity, the lyapunov exponents and lyapunov dimension, the equilibrium point. Hyperchaotic attractors is confirmed in the new system. Finally, the hyperchaotic motion of the new system is suppressed by using method of linear state feedback control. Theory and numerical simulations show the effectiveness of the method.

Key words：hyperchaotic; coupled dynamos system; lyapunov exponents’ spectrum; linear state feedback control

[中圖分類號(hào)]O322

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-8004(2016)02-0019-04

[作者簡(jiǎn)介]謝艷云(1980—)，女，湖南婁底人,講師，碩士，主要從事非線性系統(tǒng)理論方面的研究.

[基金項(xiàng)目]重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院院級(jí)資助項(xiàng)目(K201411).

[收稿日期]2015-10-26