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      一類中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解

      2016-04-11 02:01:48馮天維
      甘肅科技縱橫 2016年1期

      馮天維

      (蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

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      一類中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解

      馮天維

      (蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,甘肅蘭州730070)

      摘要:討論了Banach空間中的一類抽象中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解。在利普希茨條件下,建立了μ測(cè)度偽概自守函數(shù)對(duì)時(shí)間變?cè)胕(t)擾動(dòng)不變性的一個(gè)充分性條件,并且對(duì)一些復(fù)合定理進(jìn)行了推廣和改進(jìn),同時(shí),借助于測(cè)度偽概自守函數(shù)合適的組合定理結(jié)合算子半群理論和不動(dòng)點(diǎn)定理,建立了此方程測(cè)度偽概自守解的存在性和唯一性。

      關(guān)鍵詞:測(cè)度偽概自守函數(shù);抽象中立型泛函微分方程;不動(dòng)點(diǎn)定理

      DOI10.3969/j.issn.1672-6375.2016.01.022

      0 引言

      在20世紀(jì)中期,Bochner首次提出了概自守函數(shù)概念,它是概周期函數(shù)的一個(gè)自然推廣[1]。其后,許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)Banach空間上發(fā)展方程的概自守性質(zhì)進(jìn)行了廣泛而深入研究。N'Guerekata提出了漸近概自守函數(shù)的概念[7]。Liang等人[9]介紹了關(guān)于偽概自守函數(shù)的概念。N'Guerekata和Pankov引入了Stepanov概自守函數(shù)的概念并詳細(xì)論證了函數(shù)空間的完備性和組合定理[8]。Blot等人[2]給出了Banach空間中的加權(quán)偽概自守函數(shù)的定義。Chang等人[10]建立了Stepanov加權(quán)偽概自守函數(shù)的性質(zhì)和新組合定理,并對(duì)帶有加權(quán)偽概自守系數(shù)的一類非線性方程,研究了它們的加權(quán)偽概自守解的存在性。最近,Blot等人[3]應(yīng)用測(cè)度理論定義了遍歷函數(shù),并且給出了測(cè)度偽概自守函數(shù)的概念和相關(guān)定理。Luo在文獻(xiàn)[4,5]中分別討論了一類中立型微分方程和一類半線性積分方程測(cè)度偽概自守解的存在性。

      本論述主要在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,討論了如下抽象中立型泛函偏微分方程測(cè)度偽概自守解的存在性和唯一性:

      1 預(yù)備知識(shí)

      定義1.1[3]設(shè)連續(xù)函數(shù)稱為是概自守的,如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)序列都存在一個(gè)子序列使得

      對(duì)任意的t∈R是可以明確定義的,并且有

      記這類函數(shù)構(gòu)成的集合為AA(R,X)。

      定義1.2[3]設(shè)B?X是任意一個(gè)有界集合,連續(xù)函數(shù)稱為是概自守的,如果對(duì)于任意的t∈R有f(t,x)是概自守的,對(duì)所有x∈B是一致成立的,記這類函數(shù)組成的集合為AA(R×X,X)。

      定義1.3[3]設(shè)μ∈M,有界連續(xù)函數(shù)稱為μ-遍歷,如果f滿足下式

      將這類函數(shù)空間記為ε(R,X,μ)。

      注1.1[4]設(shè)μ∈M,則具有一致收斂拓?fù)湫缘目臻gε(R,X,μ)和ε(R×X,X,μ)是Banach空間。

      定義1.4[4]設(shè)μ∈M,連續(xù)函數(shù)稱為是μ-偽概自守的,如果f可以分解為其中,將這類函數(shù)記為,因此,可得。

      引理1.1[3]設(shè)μ∈M,τ∈R對(duì)于上的正測(cè)度μτ定義為

      對(duì)μ∈M,本論述總是假定以下條件成立:

      (H0)對(duì)任意τ∈R,存在α>0和一個(gè)有界區(qū)間I使得

      注1.2[3]設(shè)μ∈M且滿足(H0),則ε(R,X,μ)是平移不變的,同時(shí)PAA(R,X,μ)也具有平移不變性,且是Banach空間。

      1.3[10]設(shè)μ∈M且滿足(H0),f∈PAA(R,X,μ),則函數(shù)分解為是唯一的,其中。

      下面給出本論述所需要的基本假設(shè)條件:

      2 主要結(jié)果

      定義2.1對(duì)于任意t∈R,連續(xù)函數(shù)u∈BC(R,X)稱為中立型系統(tǒng)(1)適度解,若在(-∞,t)上是可積的且

      定理2.1設(shè)μ∈R,γ1和γ2滿足條件(H3)。若

      證明令μ=μ1+μ2∈PAA(R,X,μ),其中μ1∈AA (X),μ2∈ε(R,X,μ),由(H3)的假設(shè),γi可逆且。另一方面對(duì)于r>0,有

      注意到條件(H3)中的假設(shè)

      引理2.1[4]設(shè)μ∈M,f=g+h∈PAA(R×X,X,μ)若條件(Ⅰ)和(Ⅱ)成立:

      (Ⅰ)對(duì)于任意的x∈X和t∈R,f(t,x)在有界子集Q?X上是一致連續(xù)的;

      (Ⅱ)對(duì)于任意的x∈X和t∈R,g(t,x)在有界子集Q?X上是一致連續(xù)的。

      定理2.2設(shè)μ∈M,μ∈PAA(R,X,μ),假設(shè)條件(H1)成立,若函數(shù)ν滿足,那么對(duì)于任意的t∈R,有ν∈PAA(R,X,μ)。

      證明因μ∈PAA(R,X,μ)有μ=μ1+μ2∈PAA(R,X,μ),且μ1∈AA(R,X),μ2∈ε(R,X,μ),使得

      上式由μ2∈ε(R,X,μ)和勒貝格控制收斂定理亦可得。

      定理2.3設(shè)μ∈M,μ∈PAA(R,X,μ),若函數(shù)ω滿足,那么對(duì)于任意的t∈R,有 ω∈PAA(R,X,μ)。

      定理2.4設(shè)μ∈M,條件(H1)-(H3)成立。若

      那么方程(1)有唯一的μ測(cè)度偽概自守適度解。

      證明設(shè)Γ:PAA(R,X,μ)→PAA(R,X,μ)是非線性算子滿足

      進(jìn)而從定理2.2和定理2.3可得

      其次證明Γ有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

      由θ<0知Γ在PAA(R,X,μ)有唯一不動(dòng)點(diǎn),即方程(1)有μ測(cè)度偽概自守適度解。

      參考文獻(xiàn):

      [1]S.Bochner.Continuous mappings of almost automorphic and almost periodic functions,Proc.Natl.Acad.Sci.USA,52 (1964):907-910.

      [2]J.Blot,G.M.Mophou,G.M.N’Guerekata,D.Pennequin. Weighted pseudo almost automorphic functions and applications to abstract dierential equations[J].Nonlinear Anal,71 (2009):903-909.

      [3]J.Blot,P.Cleutat,K.Ezzinbi.Measure theory and pseudo almost automorphic functions:New developments and aplications[J].Nonlinear Anal,75(2012):2426-2447.

      [4]Yong-Kui Chang,Xiao-Xia Luo.Existence of μ-pseudo almost automorphic solutions to a neutral dierential equation by interpolation theory[J].Filomat,28(3)(2014):603-614.

      [5]Yong-Kui Chang,Xiao-Xia Luo,G.M.N’Guerekata. Asymptotically typed solutions to a semilinear integral equation[J].Integral Equations Appl,26(3)(2014):323-343.

      [6]T.Diagana,E.M.Hernandez.Existence and uniqueness of pseudo almost periodic solutions to some abstract partial neutral functional-dierential equations and applications[J]. Math.Anal.Appl.327(2007):776-791.

      [7]G.M.N’Guerekata.Sue les solutions presqu’automorphes dequations dierentielles abstraites[J],annales des scinence Mathematqiues du Qu ebec,51(1981):69-79.

      [8]G.M.N’Guerekata,A.Pankov.Stepanov-like almost automorphic functions and monotone evolution equations,Nonlinear Anal,68(2008):2658-2667.

      [9]J.Liang,J.Zhang,T.J.Xiao.Composition of pseudo almost automorphic and asymptotically almost automorphic functions [J].Math.Anal.Appl.340(2008):1493-1499.

      [10]R.Zhang,Y.K.Chang,G.M.N’Guerekata.Weighted pseudo almost automorphic mild solutions to semi-linear integral equations with Sp-weighted pseudo almost automorphic coecients[J].Discrete contin.Dyn.Syst-A 33 (2013):5525-5537.

      作者簡(jiǎn)介:馮天維(1989-),男,甘肅武威人,研究生在讀,主要研究方向:中立型泛函微分方程的測(cè)度偽概自守解。

      收稿日期:2015-12-10

      中圖分類號(hào):O175

      文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

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