函數(shù)組的廣義仿射線性相關(guān)性及其推廣

孫愛慧，程曉亮，吳秀蘭

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

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函數(shù)組的廣義仿射線性相關(guān)性及其推廣

孫愛慧，程曉亮，吳秀蘭

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

[摘要]給出了函數(shù)組廣義仿射線性相關(guān)與強(qiáng)仿射線性相關(guān)等概念，得到了函數(shù)組及其導(dǎo)函數(shù)組廣義仿射線性相關(guān)的充要條件和必要條件，證明了函數(shù)組線性相關(guān)與仿射線性相關(guān)等價(jià)的條件.

[關(guān)鍵詞]函數(shù)組；線性相關(guān)；強(qiáng)線性相關(guān)；廣義仿射線性相關(guān)；強(qiáng)廣義仿射線性相關(guān)

在代數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程中，線性相關(guān)性一直是人們熱衷的問題之一：文獻(xiàn)[1-2]給出了向量組線性相關(guān)性的概念和一些重要結(jié)論；文獻(xiàn)[3]提出了向量組強(qiáng)線性相關(guān)性的概念與一些相關(guān)結(jié)論；文獻(xiàn)[4-5]將仿射線性相關(guān)性和強(qiáng)仿射線性相關(guān)性的概念引入到向量組中；文獻(xiàn)[6-7]將線性相關(guān)性和廣義線性相關(guān)性引入到數(shù)列組中.受此啟發(fā)，將向量組的情形一般化到函數(shù)組、將仿射線性相關(guān)等性質(zhì)引入到函數(shù)組并推廣到廣義的情形是十分必要的.

1預(yù)備知識(shí)

用f(x)，g(x)，h(x)表示定義在區(qū)間I上的一元實(shí)函數(shù)，為了書寫簡(jiǎn)便，簡(jiǎn)記為f，g，h.我們約定：同一個(gè)定義或定理中出現(xiàn)的函數(shù)的定義域均相同；文中出現(xiàn)的數(shù)均為實(shí)數(shù).

2主要結(jié)果

定理1已知F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n是定義在區(qū)間I上的n個(gè)C1-函數(shù)，f1，f2，…，fn是其導(dǎo)函數(shù)組.則F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n廣義仿射線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)f1，f2，…，fn仿射線性相關(guān).

證明先證必要性.由已知，存在不全為零的n個(gè)實(shí)數(shù)λ1，λ2，…，λn，使得?x∈I，

λ1F1+λ2F2+…+λnFn+a=0.

對(duì)該式兩端求導(dǎo)得

即

λ1f1+λ2f2+…+λnfn=0，

從而f1，f2，…，fn仿射線性相關(guān).

下證充分性.由f1，f2，…，fn仿射線性相關(guān)，一定存在不全為零的n個(gè)數(shù)λ1，λ2，…，λn，使得

λ1f1+λ2f2+…+λnfn=0.

又知F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n分別是f1，f2，…，fn的原函數(shù)，故對(duì)等式λ1f1+λ2f2+…+λnfn=0兩端同時(shí)求不定積分有

∫λ1f1dx+∫λ2f2dx+…+∫λnfndx=0，

即

λ1F1+C1+λ2F2+C2+…+λnFn+Cn=0.

令C1+C2+…+Cn=a，則

λ1F1+λ2F2+…+λnFn+a=0，

即F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n廣義仿射線性相關(guān).

推論1設(shè)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n是定義在區(qū)間I上的n個(gè)C1-函數(shù)，f1，f2，…，fn是其導(dǎo)函數(shù)組.則F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n強(qiáng)廣義仿射線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)f1，f2，…，fn強(qiáng)仿射線性相關(guān).

推論2設(shè)A:f1，f2，…，fn是定義在區(qū)間I上的n個(gè)Cm-函數(shù).若函數(shù)組A廣義仿射線性相關(guān)，則

必仿射線性相關(guān).進(jìn)一步地，若m≥n，則

則A線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)A仿射線性相關(guān).

即

設(shè)

則

而d≠0，故λ1+λ2+…+λn=0.即函數(shù)組A仿射線性相關(guān).

類似地，我們可以得到下面結(jié)論.

則A強(qiáng)線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)A強(qiáng)仿射線性相關(guān).

我們下一步試圖將本文中函數(shù)組的結(jié)論推廣到向量函數(shù)組上，同時(shí)由于文獻(xiàn)[8]中給出了向量函數(shù)微分的非標(biāo)準(zhǔn)定義，于是，我們還要將著眼點(diǎn)放到更一般的非標(biāo)準(zhǔn)微分的情形上.

[參考文獻(xiàn)]

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2013:164-167.

[2]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007:217-254.

[3]楊聞起.強(qiáng)線性相關(guān)性與弱無關(guān)性[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，29(2):1-3.

[4]香花.關(guān)于仿射線性相關(guān)性的探討[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42(7):219-225.

[5]香花.強(qiáng)仿射線性相關(guān)性與強(qiáng)線性相關(guān)性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，36(3):211-215.

[6]楊建華.數(shù)列組的齊次線性相關(guān)性[J].武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31(9):81-82.

[7]楊建華.數(shù)列組的廣義線性相關(guān)性[J].武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31(12):79-81.

[8]陳東立，史艷維，董歡歡.向量函數(shù)微分的非標(biāo)準(zhǔn)定義[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47(3):37-39.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

The generalized affine linear correlation of function group and the forms of promotion

SUN Ai-hui，CHENG Xiao-liang，WU Xiu-lan

(College of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China)

Abstract:The present paper puts forward the concepts on generalized and strongly generalized affine linear correlation of function group. Some sufficient and necessary conditions are deduced to judge the generalized or strongly generalized affine correlation between the function group and its derivatives，as well as a necessary and sufficient condition on linear correlation and affine linear correlation of function group.

Keywords:function group；linear correlation；strongly linear correlation；generalized affine linear correlation；strongly generalized affine linear correlation

[中圖分類號(hào)]O 151[學(xué)科代碼]110·21

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[作者簡(jiǎn)介]孫愛慧(1978—)，女，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究.

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301215)；吉林省青年科研基金資助項(xiàng)目(20130522094H).

[收稿日期]2014-10-11

[文章編號(hào)]1000-1832(2016)01-0005-03

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.002