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    幺半群ODn的反保序平方冪等元的秩

    2016-04-11 02:53:33游泰杰郭桂容
    關鍵詞:保序六盤水類群

    薛 佳,游泰杰,郭桂容

    (1.貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院,貴州 貴陽 550001;

    2.六盤水師范大學數(shù)學系,貴州 六盤水 553004)

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    幺半群ODn的反保序平方冪等元的秩

    薛佳1,游泰杰1,郭桂容2

    (1.貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院,貴州 貴陽 550001;

    2.六盤水師范大學數(shù)學系,貴州 六盤水 553004)

    [摘要]設ODspan是上的保序與反保序變換半群,證明了當n≥1時,幺半群ODn的反保序平方冪等元的秩為n.

    [關鍵詞]保序與反保序變換半群;反保序平方冪等元;秩

    1預備知識

    設α∈Tn,若α2=α,則稱α為冪等元,用E(Tn)來表示Tn中的冪等元的集合;若α2≠α,但α4=α2,則稱α是一個平方冪等元,用QE(Tn)表示α中的平方冪等元集合.根據(jù)ODn的定義可知,ODn中的變換只有保序變換與反保序變換,從而我們可以把ODn中的平方冪等元分為兩類:保序平方冪等元與反保序平方冪等元,分別用符號OQE(ODn),RQE(ODn)表示.

    .

    顯然h不僅是一個反保序變換,也是平方冪等元,從而可知ODn不能只由保序變換生成,也不能由保序平方冪等元生成.因此,本文將考慮幺半群ODn是可由反保序變換生成,且可由反保序平方冪等元生成,并論證了ODn的反保序平方冪等元秩為

    詳見本文定理1.

    設ODn是幺半群,根據(jù)格林等價關系R,L,H和J的定義,可知對任意的α,β∈ODn,

    (α,β)∈L?im(α)=im(β),

    (α,β)∈R?ker(α)=ker(β),

    (α,β)∈J?|im(α)|=|im(β)|.

    其中J-類中Jn-1有n-1個R-類和n個L-類,且ODn的每一個H-類中只有兩個變換,一個保序變換,一個反保序變換.

    2主要結論

    對于半群中任意的H-類H,設變換α∈H,S是[n]上的一個非空集合,ρ是對[n]的分類.若im(α)=S,ker(α)=ρ,則記含有α的H-類為HS,ρ.若H-類中含有冪等元,則稱該H-類為H-類群.

    引理1[9]設HS,ρ,HT,σ?Ji,1≤i≤n.則HS,ρHT,σ=HT,ρ,當且僅當HS,ρ是H-類群.

    由引理1立即可得下面結論.

    引理4[8]當n≥2時,ODn=〈μ1,μ2,…μn-1,h〉,其中

    且有以下關系成立:

    (1) h2=1;

    (2) hμih=νi,1≤i≤n-1;

    (3) μiνj=νjμi,1≤i,j≤n-1,j≠n-i或j≠n-i+1.

    引理5ODn中任意一個H-類群中都有反保序平方冪等元.

    證明設S是ODn中的任意一個H-類群,即存在一個冪等元e,使得e∈S.又ODn的每一個H-類中有且只有兩個元素,一個保序變換和一個反保序變換,又由引理2,存在反保序變換ξ∈S,使得ξ2=e∈S,因此ξ是反保序平方冪等元.

    顯然由反保序平方冪等元的定義可知α不是反保序平方冪等元.同理可論證當k>i時,α也不是反保序平方冪等元.結論得證.

    G*(i)=GG(i),1≤i≤n-1.

    為方便,我們引入符號:

    p=n2

    引理8設1≤i≤n-1,且.則:

    進一步有下面結論成立.

    情形1α=β=h.顯然αβ=1?Jn-1.

    定理1設n≥1,則ODn的反保序平方冪等元秩為n,即rqdrank(ODn)=n.

    [參考文獻]

    [1]GOMES G M S,HOWIE J M. On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Semigroup Forum,1992,45:272-282.

    [2]GARBA G U. On the idempotent ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Portugal Math,1994,51:185-204.

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    [6]吳江燕,游泰杰.保序部分變換半群POn的平方冪等元[J].東北師大學報(自然科學版),2015,47(1):6-11.

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    [8]FERNANDES V H,GOMES G M S,JESUS M M. Presentations for some monoids of partial transformations on a finite chain[J].Communications in Algebra,2005,33:587-604.

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    [11]DINITROVA I,KOPPITZ J.On the maximal subsemigroups of some transformation semigroups[J].Asian-European Journal of Mathematics,2008(1):189-202.

    (責任編輯:李亞軍)

    On the order-reversing quasi-idempotent rank of the monoidODn

    XUEJia1,YOUTai-jie1,GUOGui-rong2

    (1.School of Mathematics and Computer Science,Guizhou Normal University,Guiyang 550001,China;2.Department of Mathematics,Liupanshui Normal College,Liupanshui 553004,China)

    Abstract:Let ODspanbe the order-preserving and order-reversing semigroup on . It is proved that the order-reversing quasi-idempotent rank of semigroup ODspanequals n when n≥1.

    Keywords:full order-preserving and order-reversing semigroup;order-reversing quasi-idempotent;rank

    [中圖分類號]O 152.7[學科代碼]110·21

    [文獻標志碼]A

    [作者簡介]薛佳(1990—),碩士,主要從事半群代數(shù)理論研究.

    [基金項目]國家自然科學基金資助項目(11461014);貴州省自然科學基金資助項目(黔科合J字LKLS[2013]31號).

    [收稿日期]2015-05-26

    [文章編號]1000-1832(2016)01-0049-05

    [DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.012

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