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    基于幾何學(xué)的二叉樹遍歷教學(xué)設(shè)計(jì)研究

    2016-04-08 07:08:31魏霞鄭勝
    大學(xué)教育 2016年3期
    關(guān)鍵詞:二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)

    魏霞 鄭勝

    [摘 要]本研究通過把幾何學(xué)的相關(guān)知識遷移到《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》教學(xué)中,應(yīng)用幾何學(xué)的對稱特性和等腰三角形巧解二叉樹前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。把文字描述變?yōu)閳D形表述,思路清晰明了,教學(xué)效果顯著。

    [關(guān)鍵詞]數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu);二叉樹;遍歷;幾何學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

    [中圖分類號] O18 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437(2016)03-0155-03

    《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》是計(jì)算機(jī)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課,樹形結(jié)構(gòu)是《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》課程中的一種非線形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。二叉樹是樹形結(jié)構(gòu)的重點(diǎn),也是難點(diǎn)。遍歷是二叉樹中一個(gè)最重要的運(yùn)算,是在二叉樹上進(jìn)行其他運(yùn)算的基礎(chǔ)。因此,掌握二叉樹遍歷相當(dāng)重要。[1]然而,二叉樹是一種非線性結(jié)構(gòu),其遍歷不像線性鏈表那樣容易,無法通過簡單的循環(huán)實(shí)現(xiàn)。如何通過簡便可行的、通俗易懂的方法,讓學(xué)生理解和掌握二叉樹遍歷,值得廣大教師探索、研究。

    一、二叉樹遍歷算法

    二叉樹遍歷就是指按照一定的規(guī)則和順序,依次對樹中的所有結(jié)點(diǎn)做一次且僅被訪問一次,即按一定規(guī)律排列成一個(gè)線性隊(duì)列。[2]二叉樹是一種遞歸定義的結(jié)構(gòu),包含根結(jié)點(diǎn)(N)、左子樹(L)、右子樹(R)三個(gè)部分。根據(jù)訪問根結(jié)點(diǎn)與左右子樹先后進(jìn)行命名,二叉樹的遍歷有三種方式:前序遍歷(NLR)、中序遍歷(LNR)、后序遍歷(LRN)。對于這種傳統(tǒng)的方法,教師講解起來非常簡單,但是學(xué)生比較難以掌握與應(yīng)用。特別是在做一些遍歷運(yùn)算的題目時(shí),雖然學(xué)生上課時(shí)聽得明白,但是做起題目來卻無從下手,思緒混亂。

    二、幾何學(xué)在二叉樹遍歷教學(xué)中的靈活應(yīng)用

    我們每個(gè)人都比較熟悉幾何學(xué),尤其是對稱性和等腰三角形。如何將我們熟知的幾何學(xué)應(yīng)用于二叉樹這一復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)教學(xué)中,簡化復(fù)雜的問題呢?本文將充分應(yīng)用牽移法思想,基于幾何學(xué)的淺顯概念及屬性,將幾何學(xué)與二叉樹遍歷教學(xué)聯(lián)系起來,讓二叉樹遍歷教學(xué)由繁變簡,讓學(xué)生能夠深刻掌握并靈活應(yīng)用所學(xué)知識。

    (一)應(yīng)用對稱對比,掌握二叉樹遍歷算法定義

    從上述的前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷三種遍歷的遞歸算法對比分析,可以以一個(gè)對稱性圖形對三類遍歷類型進(jìn)行教學(xué)。通過對比,可以讓三類遍歷類型簡單明了、通俗易懂。圖1是二叉樹遍歷類型圖。

    圖1演示了二叉樹三種遍歷的過程。從整體來看,圖1是一個(gè)對稱的圖形;從中序遍歷本身來看,它也是一個(gè)單獨(dú)的對稱圖形。圖1演示圖應(yīng)用了軟件工程UML圖形設(shè)計(jì)元素、開始和結(jié)束的圖形標(biāo)記,可以讓學(xué)生通過圖形,了解二叉樹的三種遍歷的對比關(guān)系。

    (1)開始:前序遍歷開始在根結(jié)點(diǎn),中序遍歷開始在左子樹,后序遍歷開始也在左子樹;

    (2)結(jié)束:前序遍歷結(jié)束在右子樹,中序遍歷結(jié)束也在右子樹,后序遍歷結(jié)束在根結(jié)點(diǎn);

    (3)根結(jié)點(diǎn)遍歷情況:前序遍歷的根結(jié)點(diǎn)最先遍歷,中序遍歷的根結(jié)點(diǎn)在中間遍歷,后序遍歷的根結(jié)點(diǎn)最后遍歷。

    (二)應(yīng)用等腰三角形巧解二叉樹遍歷的運(yùn)算

    若要寫出圖2二叉樹的三種遍歷,很多學(xué)生無法理出一個(gè)清晰的思路。在此,本論文引入等腰三角形這個(gè)幾何圖形。

    從圖2可見,A、B、C三個(gè)結(jié)點(diǎn)就好比一個(gè)三角形的三個(gè)點(diǎn),其中,B、C為底點(diǎn),因而A、B、C三個(gè)結(jié)點(diǎn)可以組成一個(gè)等腰三角形;B、D、E三個(gè)結(jié)點(diǎn)也好比一個(gè)三角形的三個(gè)點(diǎn),其中,D、E為底點(diǎn),因而B、D、E三個(gè)結(jié)點(diǎn)可以組成一個(gè)等腰三角形;以此類推,可以把二叉對所有結(jié)點(diǎn)進(jìn)行組合,看做多個(gè)三角形的組合體。而對于像CF、FH和DG這種只有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的,我們可以假設(shè)其存在第三個(gè)點(diǎn),比如,對于D、G兩個(gè)結(jié)點(diǎn),可以假設(shè)其還存在一個(gè)左子樹結(jié)點(diǎn),虛擬一個(gè)等腰三角形。在應(yīng)用等腰三角形進(jìn)行遍歷書寫時(shí),我們將按照從上到下,一層一層地查找三角形。這種不會出現(xiàn)混淆情況。以下是圖3所示的二叉樹的三種遍歷巧解過程。

    1.前序遍歷巧解過程

    如圖3所示,按照①②③④⑤五個(gè)等腰三角形的順序,逐一按前序遍歷的定義書寫二叉樹各結(jié)點(diǎn),并結(jié)合圖1所示二叉樹遍歷的規(guī)則,從上到下、從左向右,按順序?qū)懗龆鏄浔闅v。其步驟如下:

    第一步,寫第①個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的前序遍歷是ABC。

    第二步,寫第②個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的前序遍歷是BDE。此時(shí),結(jié)合第一步所得,綜合得到一個(gè)遍歷順序ABDEC。也可這么理解,即相當(dāng)于用遍歷BDE替換了遍歷ABC中的B。

    第三步,寫第③個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形沒有左底點(diǎn),即以C為父結(jié)點(diǎn)的二叉樹沒有左子結(jié)點(diǎn),即為空,在此,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)前序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的前序遍歷是C□F,在第二步綜合得到的遍歷順序ABDEC的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷ABDEC□F。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷C□F替換了遍歷ABDEC中的C。

    第四步,寫第④個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形也沒有左底點(diǎn),如第三步一樣,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)前序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的前序遍歷是D□G,在第三步綜合得到的遍歷順序ABDEC□F的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷ABD□GEC□F。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷D□G替換了遍歷ABDEC□F中的D。

    第五步,寫第⑤個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形沒有右底點(diǎn),如第三步一樣,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)前序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的前序遍歷是FH□,在第四步綜合得到的遍歷順序ABD□GEC□F的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷ABD□GEC□FH□。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷FH□替換了遍歷ABD□GEC□F中的F。

    第六步,①②③④⑤五個(gè)等腰三角形都已按前序遍歷規(guī)則逐一遍歷到,最終得到了ABD□GEC□FH□遍歷。此時(shí),我們把“□”去掉,最終得到了遍歷ABDGECFH,應(yīng)用傳統(tǒng)二叉樹遍歷解法進(jìn)行檢驗(yàn),ABDGECFH就是圖2所示的二叉樹的前序遍歷。

    2.中序遍歷巧解過程

    如圖3所示,按照①②③④⑤五個(gè)等腰三角形的順序,逐一按中序遍歷的定義書寫二叉樹各結(jié)點(diǎn),并結(jié)合圖1所示二叉樹遍歷的規(guī)則,從上到下、從左向右,按順序?qū)懗龆鏄浔闅v。其步驟如下:

    第一步,寫第①個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的中序遍歷是BAC。

    第二步,寫第②個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的中序遍歷是DBE。此時(shí),結(jié)合第一步所得,綜合得到一個(gè)遍歷順序DBEAC。也可這么理解,即相當(dāng)于用遍歷DBE替換了遍歷BAC中的B。

    第三步,寫第③個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形沒有左底點(diǎn),即以C為父結(jié)點(diǎn)的二叉樹沒有左子結(jié)點(diǎn),即為空,在此,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)中序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的中序遍歷是□CF,在第二步綜合得到的遍歷順序DBEAC的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷DBEA□CF。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷□CF替換了遍歷DBEAC中的C。

    第四步,寫第④個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形也沒有左底點(diǎn),如第三步一樣,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)中序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的中序遍歷是□DG,在第三步綜合得到的遍歷順序DBEA□CF的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷□DGBEA□CF。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷□DG替換了遍歷DBEA□CF中的D。

    第五步,寫第⑤個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形沒有右底點(diǎn),如第三步一樣,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)中序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的中序遍歷是HF□,在第四步綜合得到的遍歷順序□DGBEA□CF的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷□DGBEA□CHF□。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷HF□替換了遍歷□DGBEA□CF中的F。

    第六步,①②③④⑤五個(gè)等腰三角形都已按中序遍歷規(guī)則逐一遍歷到,最終得到了□DGBEA□CHF□遍歷。此時(shí),我們把“□”去掉,最終得到了遍歷DGBEACHF,應(yīng)用傳統(tǒng)二叉樹遍歷解法進(jìn)行檢驗(yàn),DGBEACHF就是圖2所示的二叉樹的中序遍歷。

    3.后序遍歷巧解過程

    如圖3所示,按照①②③④⑤五個(gè)等腰三角形的順序,逐一按后序遍歷的定義書寫二叉樹各結(jié)點(diǎn),并結(jié)合圖1所示二叉樹遍歷的規(guī)則,從上到下、從左向右,按順序?qū)懗龆鏄浔闅v。其步驟如下:

    第一步,寫第①個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的后序遍歷是BCA。

    第二步,寫第②個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的后序遍歷是DEB。此時(shí),結(jié)合第一步所得,綜合得到一個(gè)遍歷順序DEBCA。也可這么理解,即相當(dāng)于用遍歷DEB替換了遍歷BCA中的B。

    第三步,寫第③個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形沒有左底點(diǎn),即以C為父結(jié)點(diǎn)的二叉樹沒有左子結(jié)點(diǎn),即為空,在此,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)后序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的后序遍歷是□FC,在第二步綜合得到的遍歷順序DEBCA的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷DEB□FCA。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷□FC替換了遍歷DEBCA中的C。

    第四步,寫第④個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形也沒有左底點(diǎn),如第三步一樣,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)后序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的后序遍歷是□GD,在第三步綜合得到的遍歷順序DEB□FCA的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷□GDEB□FCA。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷□GD替換了遍歷DEB□FCA中的D。

    第五步,寫第⑤個(gè)等腰三角形所在三個(gè)結(jié)點(diǎn),這個(gè)三角形沒有右底點(diǎn),如第三步一樣,我們以“□”表示。同樣,根據(jù)后序遍歷規(guī)則,這三個(gè)結(jié)點(diǎn)的后序遍歷是H□F,在第四步綜合得到的遍歷順序□GDEB□FCA的基礎(chǔ)上,通過替換,可以得到一個(gè)新的遍歷□GDEB□H□FCA。道理與第二步相同,即相當(dāng)于用遍歷H□F替換了遍歷□GDEB□FCA中的F。

    第六步,①②③④⑤五個(gè)等腰三角形都已按后序遍歷規(guī)則逐一遍歷到,最終得到了□GDEB□H□FCA遍歷。此時(shí),我們把“□”去掉,最終得到了遍歷GDEBHFCA,應(yīng)用傳統(tǒng)二叉樹遍歷解法進(jìn)行檢驗(yàn),GDEBHFCA就是圖2所示的二叉樹的后序遍歷。

    三、結(jié)語

    在計(jì)算機(jī)專業(yè)里,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是一門規(guī)律性很強(qiáng)的學(xué)科。我們可以通過建模,使數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可視化,反映出其中的規(guī)律。我們的日常生活也蘊(yùn)藏著很多規(guī)律,我們可以通過聯(lián)想遷移的方法,用生活中司空見慣的常識來解決復(fù)雜的問題。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)教學(xué)中,雖然看起來非常復(fù)雜,但通過數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)學(xué)建模,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能在很多日常的生活上得以反映,并能讓數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)教學(xué)化繁為簡,提高教學(xué)效率。本文從幾何學(xué)中最通俗的對稱性和等腰三角形進(jìn)行挖掘,查找出了它們與二叉樹這一非線形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的潛在聯(lián)系,把復(fù)雜的問題簡單化。這樣在教學(xué)過程中,學(xué)生容易接受,教師講授也顯得輕松。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 喬良才,趙奇.二叉樹教學(xué)方法研究[J].攀枝花學(xué)院學(xué)報(bào),2012(2):124-126.

    [2] 陳莉莉,劉琴琴.中序遍歷二叉樹的教學(xué)方法研究[J].電腦知識與技術(shù),2011(9):2100-2102.

    [責(zé)任編輯:鐘偉芳]

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