從四個(gè)方面體驗(yàn)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約美

余寶霞

【摘 要】本文結(jié)合古今中外名人名家的故事、歷史名題，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美，讓學(xué)生在領(lǐng)略數(shù)學(xué)豐富的文化底蘊(yùn)的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)的魅力。

【關(guān)鍵詞】簡(jiǎn)約 簡(jiǎn)潔 數(shù)學(xué)美

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）02B-0082-03

簡(jiǎn)潔明快是美的表現(xiàn)，簡(jiǎn)潔體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中就是簡(jiǎn)約。簡(jiǎn)約的美，是一種藝術(shù)的美，能使人的心靈深處得到放松的美。數(shù)學(xué)的諸多美中，簡(jiǎn)約美是首要推崇的，有一句古老的拉丁格言這樣說(shuō)：“簡(jiǎn)約是真理的標(biāo)志?！睌?shù)學(xué)中每一步進(jìn)展，都與更簡(jiǎn)單方法的運(yùn)用密切相關(guān)。龐大、復(fù)雜的數(shù)學(xué)體系通過(guò)公理體系處理后變得相當(dāng)簡(jiǎn)潔，這個(gè)過(guò)程本身充滿了神奇的魅力。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔有著非常豐富的內(nèi)涵。追溯數(shù)學(xué)的歷史文化長(zhǎng)河，從中我們可以體驗(yàn)到，數(shù)學(xué)家運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示使得數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約而易于推廣。提出簡(jiǎn)潔數(shù)學(xué)問(wèn)題引發(fā)研究的浪潮，致力尋求最簡(jiǎn)潔證明來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展;提出簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)理論使數(shù)學(xué)成為科學(xué)之典范。這一系列行為所表現(xiàn)出來(lái)的簡(jiǎn)約美，給我們以簡(jiǎn)潔美的切身體驗(yàn)，讓我們深深陶醉于數(shù)學(xué)的魅力中。

一、精巧符號(hào)，數(shù)學(xué)之巧妙

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征是廣泛運(yùn)用符號(hào)。在研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式時(shí)，數(shù)學(xué)符號(hào)提供了比自然語(yǔ)言更加簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確的思維與表達(dá)工具。如圓⊙，菱形◇，正方形□，三角形△，平行∥，垂直⊥，角∠等，這些既簡(jiǎn)單，又惟妙惟肖直觀形象的圖形符號(hào)示意了幾何概念、命題、推理之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

數(shù)學(xué)，由于它的語(yǔ)言、記法以及看上去很奇特的符號(hào)，使一些人把數(shù)學(xué)設(shè)想成受冷酷無(wú)情的定義、法則、定理、公式和符號(hào)統(tǒng)治著的專制王國(guó)，里面充滿著機(jī)械和單調(diào)。其實(shí)不然，就簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)符號(hào)而然，它的思想奇特而妙不可言，其外形又不缺乏圖畫(huà)般的動(dòng)人之美妙。一個(gè)簡(jiǎn)單的式子，能將毫無(wú)關(guān)聯(lián)的符號(hào)巧妙地聯(lián)系在一起，蘊(yùn)藏著豐富的思想;一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)，卻在數(shù)學(xué)乃至科學(xué)上起著舉足輕重的作用。我們看到，歐拉把數(shù)學(xué)上幾個(gè)重要的常數(shù) 0，1，i，e，π通過(guò)公式 eiπ+1=0 巧妙地、簡(jiǎn)約地聯(lián)系在起來(lái)，無(wú)窮不循環(huán)的小數(shù)與簡(jiǎn)單的數(shù)1和0以及虛數(shù)單位 i 構(gòu)成一恒等式，打破了無(wú)理數(shù)、虛數(shù)間的隔絕。我們不由地贊嘆，數(shù)學(xué)符號(hào)體現(xiàn)了我們?nèi)祟愔腔鄣木A，并凝煉成光芒四射的美麗結(jié)晶。還有歐拉公式“V+F-E=2”，宇宙間無(wú)窮無(wú)盡的多面體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)都符合這個(gè)極其簡(jiǎn)單的公式。式子極其簡(jiǎn)潔，思想?yún)s又極其豐富，堪稱簡(jiǎn)潔美典范。不只歐拉致力數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)造，使得數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約而更容易表述、推廣，德國(guó)大哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家萊布尼茲也是歷史上偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他創(chuàng)立了積分符號(hào)。萊布尼茲用“∫”這一簡(jiǎn)捷的符號(hào)傳達(dá)了定積分和原函數(shù)之間的微妙關(guān)系。許多數(shù)學(xué)愛(ài)好者和數(shù)學(xué)家都把積分符號(hào)堪比“美女”，是數(shù)學(xué)中漂亮的符號(hào)，它充分體現(xiàn)了女性的曲線美。正因?yàn)榫哂幸惶變?yōu)越的符號(hào)體系，微積分理論得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。曾曉新（1990）提到：“萊布尼茲提出的微分符號(hào)、導(dǎo)數(shù)符號(hào)、積分符號(hào)等，使用起來(lái)極為方便，進(jìn)行微積分運(yùn)算簡(jiǎn)直就像是在自動(dòng)進(jìn)行似的?！蔽⒎e分中一套成熟漂亮的符號(hào)體系：dx，∞，∑，lim 等，有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。18世紀(jì)，數(shù)學(xué)分析的進(jìn)步就是在萊布尼茲微積分學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展所取得的。

利用了符號(hào)，數(shù)學(xué)上的每一個(gè)論斷和它所描述的東西就可以更快地被人所了解。對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí)、理解和靈活地運(yùn)用，有助于我們深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的奧秘，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之巧妙。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家魯金在談到歐拉時(shí)說(shuō)：歐拉的洞察力是那樣的深邃，不論多么復(fù)雜深?yuàn)W的公式，在他強(qiáng)有力的手里，都變得服服貼貼，如柔軟的蜂蠟一樣;在他的威力面前，都規(guī)規(guī)矩矩地獻(xiàn)出一切……他可以本能地直接感受到公式里的真理與虛假。歐拉創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f（x）等，至今沿用。歐拉曾運(yùn)用簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)符號(hào)完美解答了著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”，并開(kāi)創(chuàng)了“圖論”。

我們來(lái)看一看哥尼斯堡七橋問(wèn)題。18世紀(jì)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城叫哥尼斯堡，普萊格爾河橫貫城區(qū)。河中央有兩座美麗的小島，七座橋把兩個(gè)島和河岸連結(jié)。城中的居民經(jīng)常沿河過(guò)橋散步，久而久之形成一個(gè)問(wèn)題：如何不重復(fù)又不遺漏地一次相繼走遍這七座橋？每一個(gè)到此游玩或散步的人都想試一試，卻無(wú)一人成功（如圖1）。

歐拉將它轉(zhuǎn)化為“一筆畫(huà)”問(wèn)題。把河的兩岸、兩個(gè)小島看成四個(gè)點(diǎn)，把七座橋看成是七條線，轉(zhuǎn)化成幾何圖形后得到圖2。于是問(wèn)題變?yōu)椋喝绾螌⒋藞D一筆畫(huà)出？運(yùn)用簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)符號(hào)表示后，該問(wèn)題迎刃而解。

懷特認(rèn)為，復(fù)雜的東西是用簡(jiǎn)單的東西表示出來(lái)的。在某種觀點(diǎn)下，數(shù)學(xué)可以定義為相繼用簡(jiǎn)單概念來(lái)代替復(fù)雜概念的科學(xué)（曾曉新，1900）。如果體驗(yàn)不了符號(hào)在數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)理論中的簡(jiǎn)約作用，那我們也不可能深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)的美。

二、簡(jiǎn)潔問(wèn)題，研究之動(dòng)力

數(shù)學(xué)問(wèn)題為我們進(jìn)行研究提供了源泉和動(dòng)力，當(dāng)代美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾斯曾形象地指出，問(wèn)題是“數(shù)學(xué)的心臟”。在歷史的長(zhǎng)河中，存在許多經(jīng)久不衰的、令人廢寢忘食的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如費(fèi)爾馬猜想、黎曼猜想、哥尼斯堡七橋問(wèn)題、哥德巴赫猜想等，這些歷史問(wèn)題以極其簡(jiǎn)明而深刻的表述方式吸引著人們的注意，引發(fā)研究的浪潮。一個(gè)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題必然突出主題，體現(xiàn)主要的和本質(zhì)的東西，也必定是簡(jiǎn)潔、通俗易懂的。簡(jiǎn)潔、清晰的數(shù)學(xué)問(wèn)題，極易引起人們思考的興趣。所以，如希爾伯特一樣，簡(jiǎn)潔與否必將成為衡量一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是否有價(jià)值的重要標(biāo)準(zhǔn)。難怪希爾伯特說(shuō)：“問(wèn)題的完美提法意味著已經(jīng)解決了一半?！?/p>

在整個(gè)數(shù)學(xué)史上很難找出像幾何的三大尺規(guī)作圖問(wèn)題那樣具有歷久不衰的魅力。三等分角問(wèn)題、化圓為方的問(wèn)題、倍立方問(wèn)題等，要求的條件簡(jiǎn)單，只要圓規(guī)和直尺，表述簡(jiǎn)潔，通俗明白，誰(shuí)都能容易理解其所提出的問(wèn)題。幾千年來(lái)，它激發(fā)了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者研究的興趣，如古希臘的希波克拉底、門奈克木斯、阿基米德、達(dá)·芬奇、高斯、拿破侖等大數(shù)學(xué)家、大畫(huà)家都投身于尺規(guī)作圖三大問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)愛(ài)好者而言，問(wèn)題極富誘惑力，難以抗拒，甚至?xí)淖円粋€(gè)人的人生軌跡。最典型的就是，因解決了正十七邊形（n 為奇數(shù)）尺規(guī)作圖的難題，當(dāng)時(shí)才17歲的高斯興奮不已，并在研究中深受鼓舞，于是立即放棄了從事語(yǔ)言學(xué)的念頭，決心投身于數(shù)學(xué)。最后，他成為歷史上四個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，并被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。

簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)問(wèn)題深刻影響笛卡爾。1618年，荷蘭的布萊達(dá)街頭公開(kāi)征求數(shù)學(xué)問(wèn)題的解，那是一個(gè)極富挑戰(zhàn)的問(wèn)題。笛卡爾被這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題深深地吸引，并很快地給出了正確解答。這個(gè)難題的解決，使他對(duì)自己的數(shù)學(xué)能力獲得了巨大信心。于是，笛卡爾開(kāi)始了數(shù)學(xué)的思考與研究。笛卡爾對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，他創(chuàng)立了解析幾何。解析幾何簡(jiǎn)潔地用點(diǎn)、坐標(biāo)刻劃出位置和數(shù)量關(guān)系，使形與數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，讓許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)約。解析幾何的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大突破，作為變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟，解析幾何的建立對(duì)微積分的誕生功不可沒(méi)。這些簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，不僅極大地激發(fā)了數(shù)學(xué)愛(ài)好者的神經(jīng)，讓他們陶醉于問(wèn)題解決之中，讓他們體驗(yàn)奮斗的愉快，享受著勝利的喜悅，還極大地推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

三、證明的簡(jiǎn)潔美，數(shù)學(xué)之發(fā)展

概念是數(shù)學(xué)的“磚瓦”，是數(shù)學(xué)的基本要素。數(shù)學(xué)證明是“粘合劑”，用邏輯把數(shù)學(xué)概念、定理有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，構(gòu)建起輝煌的數(shù)學(xué)宮殿。發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)命題要得到承認(rèn)，就不得不依賴數(shù)學(xué)證明。每一項(xiàng)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)要想獲得大家的接受，就必須通過(guò)數(shù)學(xué)證明。不斷尋求越來(lái)越簡(jiǎn)明扼單的方法證明定理和解答問(wèn)題是數(shù)學(xué)的真諦（馬丁·加德納）。數(shù)學(xué)家總是致力尋求最簡(jiǎn)潔的證明。簡(jiǎn)約的證明，思路巧妙，條理清晰，顯示出數(shù)學(xué)證明不容辯解的邏輯力量。簡(jiǎn)潔證明，寓意豐富，表達(dá)明快，讓人品玩稱奇、愜意開(kāi)懷，極易被人們接受。高斯證明代數(shù)基本定理時(shí)，為尋求一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明，嘗試了不下10種證明方法，其中許多證明方法追求的就是使證明本身簡(jiǎn)潔。高斯說(shuō)：“吸引我研究的主要?jiǎng)恿κ侨で笠环N最美和最簡(jiǎn)潔的證明。”我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)，1966年剛完成關(guān)于哥德巴赫猜想1+2的證明時(shí)，由于證明冗長(zhǎng)不夠簡(jiǎn)潔而沒(méi)有全文發(fā)表，經(jīng)過(guò)7年的努力后，200多頁(yè)的證明最終簡(jiǎn)化成只有18頁(yè)，1973年在《中國(guó)科學(xué)》一發(fā)表，立即在國(guó)際數(shù)學(xué)界引起了轟動(dòng)。陳景潤(rùn)的證明至今仍被認(rèn)為是該猜想的最好結(jié)果，被國(guó)際數(shù)學(xué)界譽(yù)為“陳氏定理”。

數(shù)學(xué)家對(duì)冗長(zhǎng)、煩瑣的證明不會(huì)無(wú)動(dòng)于衷的，坐視不理的?？倳?huì)有不少的數(shù)學(xué)家耿耿于懷，一心致力于冗長(zhǎng)數(shù)學(xué)證明的簡(jiǎn)化。而每次簡(jiǎn)化必將伴隨理論上或方法上的突破，出現(xiàn)重大的改進(jìn)，從而加速數(shù)學(xué)的發(fā)展。對(duì)于有關(guān)數(shù)學(xué)證明的簡(jiǎn)約與嚴(yán)格之間的關(guān)系，希爾伯特這樣認(rèn)為：“把證明的嚴(yán)格化與簡(jiǎn)單化絕對(duì)對(duì)立起來(lái)是完全錯(cuò)誤的。嚴(yán)格的方法同時(shí)也是比較簡(jiǎn)單、比較容易理解的方法。”簡(jiǎn)約的證明，體現(xiàn)人類思維的精巧。煩瑣、冗長(zhǎng)的證明，凸現(xiàn)的是人類思維的蠻力，往往由于晦澀難懂，難以獲得大家的認(rèn)同。曾經(jīng)，美國(guó)數(shù)學(xué)家德貝蘭花了30年的功夫，好不容易證明了連最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家也感到為難的比勃巴赫猜想，卻由于證明長(zhǎng)達(dá)300多頁(yè)，過(guò)程冗長(zhǎng)得超乎想象，令人望而卻步，無(wú)人愿意審核論文，在美國(guó)數(shù)學(xué)界受到了冷遇。后在蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家的幫助下，將300多頁(yè)的論證濃縮成十余頁(yè)簡(jiǎn)潔的證明過(guò)程，因此德貝蘭的成果獲得了數(shù)學(xué)界的認(rèn)同。簡(jiǎn)化的過(guò)程，巧妙的證明，又徹底解決了一個(gè)歷史難題。

四、數(shù)學(xué)理論的簡(jiǎn)約，科學(xué)的典范

數(shù)學(xué)是一種表述簡(jiǎn)潔、清晰、歧義較少的理論體系。數(shù)學(xué)的0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字非常絕妙，區(qū)區(qū)十個(gè)數(shù)字加上十進(jìn)位制竟然能表達(dá)任何數(shù)。記法是如此簡(jiǎn)潔，運(yùn)算上又是如此方便，“簡(jiǎn)易得難以估量”。數(shù)學(xué)的運(yùn)算表示又是極其簡(jiǎn)單明了的，如在乘法運(yùn)算上，n·a 簡(jiǎn)潔地表示了 n 個(gè)數(shù) a 相加;而 an 簡(jiǎn)潔地表示了 n 個(gè)數(shù) a 相乘。數(shù)學(xué)的概念如函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)、微分、積分等，還有加、減、乘、除、等于、大于、小于，都是涵意明確，簡(jiǎn)潔、約定的。將數(shù)學(xué)的公式、定理統(tǒng)一起來(lái)，形式是極其簡(jiǎn)潔的。如圓的切線定理、割線定理、切割線定理統(tǒng)一為圓冪定理;（下轉(zhuǎn)第97頁(yè)）（上接第83頁(yè)）雙曲線、拋物線、橢圓統(tǒng)一為二次曲線，在極坐標(biāo)系中圓錐曲線方程統(tǒng)一為，e 的大小決定二次曲線的形狀。圓（棱）錐、臺(tái)、柱體的體積公式可以統(tǒng)一為，h 為立體的高，s1，s2 為上、下底面的面積。這些簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)表達(dá)式，何其和諧統(tǒng)一。數(shù)學(xué)的理論體系是簡(jiǎn)約的，歐氏幾何用清晰、直觀的圖形，表達(dá)復(fù)雜的邏輯關(guān)系。皮亞諾用了三個(gè)原始概念、五個(gè)公理的簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)，建立現(xiàn)代科學(xué)大廈，簡(jiǎn)單的算術(shù)公理體系與龐大復(fù)雜的數(shù)學(xué)領(lǐng)域形成鮮明的對(duì)比，我們不能不為皮亞諾的算術(shù)公理體系的簡(jiǎn)潔而折服。解析幾何簡(jiǎn)潔地用點(diǎn)、坐標(biāo)刻劃出位置和數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)形結(jié)合的深刻理論，讓許多復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)約而迎刃而解。數(shù)學(xué)的內(nèi)容，數(shù)學(xué)的表達(dá)式和理論體系，無(wú)一不以它所特有的精巧的字母符號(hào)、精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、簡(jiǎn)潔的表達(dá)方式、嚴(yán)密的邏輯體系向我們展示出數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美的魅力。

數(shù)學(xué)之所以成為科學(xué)的典范，離不開(kāi)數(shù)學(xué)理論的高度簡(jiǎn)約性。歐幾里得利用幾個(gè)原始概念和5組公理、公設(shè)去演繹出歐氏幾何體系，去統(tǒng)一了公元前7世紀(jì)以來(lái)希臘豐富又紛紜龐雜的整個(gè)幾何系統(tǒng)。瑰寶《幾何原本》的問(wèn)世，在數(shù)學(xué)史上樹(shù)立起演繹幾何的豐碑，演繹的數(shù)學(xué)理論成為大多數(shù)科學(xué)所追溯的典范。牛頓所創(chuàng)立的經(jīng)典力學(xué)，利用力學(xué)三大定律和萬(wàn)有引力定律將天體力學(xué)和地球上物體力學(xué)統(tǒng)一起來(lái)，就是一個(gè)仿照歐氏《幾何原本》，并可與其媲美的邏輯演繹體系。著名物理學(xué)家海森堡認(rèn)為 ，科學(xué)家為了使研究的問(wèn)題更精確，往往引入數(shù)學(xué)方法將對(duì)象及其環(huán)境作簡(jiǎn)化與純化，在很多場(chǎng)合下，科學(xué)家只須找到某些最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)關(guān)系，就能建構(gòu)起某種科學(xué)理論體系。比如，麥克斯韋方程組問(wèn)世，簡(jiǎn)單明了地表達(dá)了電與磁的關(guān)系，將人類二千多年來(lái)積累的許多雜亂無(wú)章而不成體系的有關(guān)電、磁、光的知識(shí)，統(tǒng)一起來(lái)，建立起統(tǒng)一而完美的經(jīng)典電磁學(xué)理論。

數(shù)學(xué)上愈簡(jiǎn)單的規(guī)律便愈接近自然，愈美。簡(jiǎn)潔的東西易于為人類所把握，簡(jiǎn)潔有助于提高思維的效率，也只有簡(jiǎn)潔才更容易讓人類長(zhǎng)期積累的知識(shí)世代相傳下去。

【參考文獻(xiàn)】

[1]何丹.數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美及其教學(xué)[D].遼寧師范大學(xué)，2010（6）

[2]許偉榮.體驗(yàn)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約，感受數(shù)學(xué)魅力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2012（8）

[3]張映姜，陳美英，李曉培.數(shù)學(xué)的歷史文化賞析[M].湖南：湖南師范大學(xué)出版社，2013

[4]程民治.海森堡的科學(xué)美學(xué)思想[J].安徽師大學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），1998（3）

（責(zé)編 盧建龍）