函數(shù)空間類Vitali覆蓋證明及其應用

趙建英， 李海英

(內蒙古商貿(mào)職業(yè)學院 社科與基礎教學部， 內蒙古 呼和浩特 010070)

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函數(shù)空間類Vitali覆蓋證明及其應用

趙建英， 李海英

(內蒙古商貿(mào)職業(yè)學院 社科與基礎教學部， 內蒙古 呼和浩特 010070)

摘要：針對在較小測度集下的性質不佳函數(shù)確定其積分存在性的問題，提出函數(shù)空間下的類Vitali覆蓋定理.從理論角度明確積分存在性與數(shù)值逼近的理論方法，給出對應的數(shù)值逼近方法與結果，并給予具體論證.最后，結合理論分析結果，以示例的方式從應用角度提出積分存在性與積分數(shù)值逼近的具體應用.

關鍵詞：函數(shù)空間； 類Vitali覆蓋； 積分存在性； 積分逼近

對于積分相關問題的存在性，國內已有不少研究成果.李仁貴[1]、汪子蓮等[2]、葉陸紅等[3]、Pintarelli[4]從應用角度提出了一種系統(tǒng)性的解決方案.對于邊值存在性問題，覃仕霞等[5]、靳存程[6]、王全義等[7]以理論與應用相結合方式，提出了一種解決方案.對于測度論與泛函分析問題，海紅[8]、江衛(wèi)華等[9]、陳雪梅等[10]、鄒玉梅等[11]提出了系統(tǒng)性的解決方案.本文提出一種函數(shù)空間下的覆蓋結論，以期解決積分存在性與數(shù)值逼近的具體問題.

1特殊點集的定義及性質

1.1孤立點集合

對于給定集合，其對應的孤立點集合[12]為

需要注意的是，δ(xj)是以xj為圓心，δ為半徑的圓.對于每一個孤立點，定義其Vitali覆蓋集為

如上定義的Vitali覆蓋，其覆蓋半徑為h，覆蓋的點為xj.對于每一個孤立點，定義滿足某種性質的Vitali覆蓋集為

如上定義的Vitali覆蓋，必須滿足性質p.

1.2極值點集合

對于給定集合，其對應的極值點集合[12]為

式中：EEvp，d={xj|xj∈E，?δ(xj)，s.t.f(x)≥f(xj) for ?x∈δ(xj)∈E}；EEvp，u={xj|xj∈E，?δ(xj)，s.t.f(x)≤f(xj) for ?x∈δ(xj)∈E}.需要注意的是，δ(xj)是以xj為圓心，以δ為半徑的圓.對于每一個極值點，定義其Vitali覆蓋集為

如上定義的Vitali覆蓋，其覆蓋半徑為h，覆蓋的點為xj.對于每一個極值點，定義滿足某種性質的Vitali覆蓋集為

EEvp,h(xj，p)={δ(xj，p)|xj∈E，xj∈EEvp，xj∈δ(xj)，r(δ(xj))=h，p(xj)，is ture}.

如上定義的Vitali覆蓋，必須滿足性質p.

2函數(shù)空間類Vitali覆蓋的證明

證明因為Γ是E的Vitali覆蓋，先選取該集合中滿足孤立點性質及極值點性質.定義滿足孤立點性質的集合為EGlp,h(xj)，其中,xj代表孤立點，h代表該Vitali覆蓋的覆蓋半徑.同理，定義滿足極值點性質的集合為EEvp,h(xl)，其中,xl代表極值點，k代表該Vitali覆蓋的覆蓋半徑.因為是E的Vitali覆蓋，所以覆蓋孤立點的集合不僅存在，而且是一系列的.對于每一個孤立點，選取其Vitali覆蓋的下確界作為對該點的覆蓋集.對應的定義為

顯然，對于任意一點，滿足如上性質的最小覆蓋集是唯一存在的.

同理，對于每一個極值點，選取其Vitali覆蓋的下確界作為對該點的覆蓋集.對應的定義為

有了如上的下確界后，首先從E中選取所有的孤立點和極值點，對于每一個孤立點，按照孤立點數(shù)值大小排序，可以構成一個可列集EGpl.對于每一個極值點，按照極值點數(shù)值大小排序，可以構成一個可列集EEvp.

確定了孤立點與極值點的下確界Vitali覆蓋之后，對于集合ENew而言，是由兩大類子集所組成.對點集中的非孤立點與非極值點進行分析，以便選取集合來擴充集合ENew.

首先，從集合E-ENew中任意選取一點xrandom，作為備選集合的代表元素.以xrandom作為代表，考察其是否滿足性質p.滿足與否的判定方法是，給定判定變量ε，判斷在xrandom的臨域中是否存在該性質.初始期間，對于臨域的大小是無法確定的.因此，選定任意一值域h0作為臨域的大小，如果在此值域內

(1)

成立，則初始值可以作為領域的基準值.這說明，P(xq)=1代表存在xrandom臨域，使得在此臨域內，某一具體性質是成立的.

如果式(1)成立，h0作為xrandom的初始臨域長度是成立.則依次選取hi=2ih0作為新臨域長度的選項，繼續(xù)判斷式(1)是否成立.一旦成立，新臨域長度比原臨域長度增加一倍，繼續(xù)判定式(1)是否繼續(xù)成立，直到式(1)不成立或者為xrandom的臨域超出E的范圍.如果式(1)成立，h0作為xrandom的初始臨域長度是不成立的，則依次選取hi=(1/2)ih0作為新臨域長度的選項，繼續(xù)判斷式(1)是否成立.一旦成立，新臨域長度比原臨域長度縮小一倍，繼續(xù)判定式(1)是否繼續(xù)成立，直到式(1)不成立或者為xrandom的臨域超出E的范圍.

采用上述方法，即可確定式(1)成立的上確界范圍，即有

照此方法，確定了一個新元素，將其納入到集合 ，使其成為集合，即

按照規(guī)則選取集合，有

需要說明的是，Eadd是新添加的集合，其與原有的集合ENew的距離(dis(ENew，xi)代表一點與一集合的距離)首先必須達到下確界，其次,還要滿足是下確界元素中的滿足性質的最大臨域集合.

確定此集合后，將其繼續(xù)加入到集合ENew中，可得

(2)

對于滿足式(2)中的待選集合，如果并不唯一，則通過任意選取其中之一，然后，進行逆時針或者順時針選取，即可依次選取所有的集合.之所以這樣說，是因為與給定集合距離最近的點集，在實數(shù)空間而言，分布在給定集合中心為指定半徑的圓上.所以選取其中之一后，按照選定元與給定集合之間的關系，依次進行順時針選取或者逆時針選取即可得到所有滿足條件的元素.

3在積分存在性與積分數(shù)值估計中的應用

3.1在積分存在性中的應用

在經(jīng)典的黎曼積分研究中，對于積分的存在性，一種方法是通過判斷達布上和與達布下和之間的極限差距，由此確定積分的存在性.即有

(3)

將此結果具體應用到式(3)中，可得

(4)

成立.對式(4)仔細分析可知：進行黎曼積分時，小區(qū)間的劃分長度必須滿足一定條件后，達布上和與達布下和的差值才能滿足小于指定差距的要求.這一要求對于可微分函數(shù)而言，在非極值點必須滿足形式(4)的約束條件即可實現(xiàn).

為了便于直觀理解上述結果，以幾種類型的函數(shù)黎曼積分為例，對其進行解釋.

例1階梯型函數(shù)的黎曼積分

對于這種類型的函數(shù)，給出其類中的一個具體示例的函數(shù)標出，有

按照微分的定義，有

例2階段型線性函數(shù)的黎曼積分

對于這種類型的函數(shù)，給出其類中的一個具體示例的函數(shù)標出，有

按照微分的定義，有

對于其他類型的函數(shù)，可以采用如上類似的方法進行處理，即可確定區(qū)間劃分的具體長度保證積分的可積性.

3.2在積分數(shù)值估計中的應用

在經(jīng)典的黎曼積分中，對于積分數(shù)值的逼近估計有兩種方法.第一種是用上、下界進行估計，如

其中：f(x)為函數(shù)；Mp為上界；mp為下界.對于這類函數(shù)的積分，通過如下的論證說明能否可以用界函數(shù)的積分進行替代，即

第二種是簡單函數(shù)替代的方法進行估計，如

其中：f(x)為復雜函數(shù)；g(x)為簡單函數(shù).對于復雜函數(shù)的積分，通過如下論證說明是否可以用簡單函數(shù)的積分進行替代.即

對于其他類型的函數(shù)，可采用如上類似的方法進行處理，即可確定其積分的取值或取值范圍.

4結束語

從測度論的角度，提出并論證了函數(shù)空間下的Vitali覆蓋結論.該結論對如何進行積分存在性和積分數(shù)值逼近提出了一種分析與驗證方法.最后，通過若干個示例，從應用角度提出了積分存在性與積分數(shù)值逼近的具體應用.

參考文獻：

[1]李仁貴.一類具有Riemann-Liouville分數(shù)階積分邊值條件的奇異分數(shù)階微分方程解的存在性[J].數(shù)學的實踐與認識，2015(11):285-293.

[2]汪子蓮，丁珂.Banach空間中一類奇異積分邊值問題解的存在性[J].鄭州大學學報(理學版)，2015，47(2):13-19.

[3]葉陸紅，楊海洋.一類特殊的Volterra型積分方程的解的存在性[J].安慶師范學院學報(自然科學版)，2015，5(2):7-9.

[4]PINTARELLIMB.Volterraintegralequationsandsomenonlinearintegralequationswithvariablelimitofintegrationasgeneralizedmomentproblems[J].JournalofMathematicsandSystemScience,2015,5(1):32-38.

[5]覃仕霞，羅圓.Robin型無窮多點邊值問題正解的存在性[J].四川理工學院學報(自然科學版)，2015，28(3):90-95.

[6]靳存程.帶積分邊界條件的三階邊值問題三個正解的存在性[J].蘭州文理學院學報(自然科學版)，2015，29(4):27-29.

[7]王全義，鄒黃輝.一類四階奇異非線性積分邊值問題正解的存在性[J].華僑大學學報(自然科學版)，2014，35(1):112-117.

[8]海紅.無限時滯積分微分方程周期解的存在性[J].廊坊師范學院學報(自然科學版)，2015，15(2):9-10.

[9]江衛(wèi)華，李海明.分數(shù)階脈沖微分方程組邊值問題解的存在性[J].河北科技大學學報，2015，36(2):134-143.

[10]陳雪梅，馬冬梅，張曾丹.帶核函數(shù)的隨機積分方程解的存在唯一性[J].四川大學學報(自然科學版)，2015，52(1):1-5.

[11]鄒玉梅，王夢媛，賀國平.Riemann-Stieltjes積分邊值問題正解的存在唯一性[J].應用泛函分析學報，2014，16(3):238-243.

[12]夏道行.實變函數(shù)與泛函分析[M].北京：高等教育出版社,2010:1-15.

(責任編輯： 黃曉楠英文審校： 黃心中)

Proof of Semi-Vitali Covering Theorem on Function Space and Its Application

ZHAO Jianying， LI Haiying

(Department of Social Science and Basic Teaching， Inner Mongolia Business Vocational College， Huhhot 010070， China)

Abstract：How to determine the existence of integral for functions with a small measure set， how to give a method of digital approximation to calculate this type of integral, the authors put forward a method which is called semi-vitali covering that can be used to solve the questions quickly. The method is proved by real analyzing theorem. Finally， the authors use it to solve several physical problems to check the correctness.

Keywords：function space； vitali cover； existence of integral； approximation of integral

中圖分類號：O 177.39

文獻標志碼：A

基金項目：中國教育學會十一五科研規(guī)劃重點項目(ZY0084)； 內蒙古商貿(mào)職業(yè)學院教改項目(NSZY1104)

通信作者：趙建英(1966-)，女，副教授，主要從事函數(shù)空間、積分逼近的研究.E-mail:1041038772@qq.com.

收稿日期：2015-12-22

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.02.0252

文章編號：1000-5013(2016)02-0252-05