基于勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)擬合的柱面鏡面形檢測(cè)研究

楊　醒,王占山

(同濟(jì)大學(xué) 物理科學(xué)與工程學(xué)院 先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上?！?00092)

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基于勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)擬合的柱面鏡面形檢測(cè)研究

楊醒,王占山

(同濟(jì)大學(xué) 物理科學(xué)與工程學(xué)院 先進(jìn)微結(jié)構(gòu)材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200092)

摘要：超薄玻璃熱成形技術(shù)是目前國(guó)際上研制X射線掠入射天文成像望遠(yuǎn)鏡的重要技術(shù)之一,超薄玻璃圓柱面鏡片面形的高精度檢測(cè)是實(shí)現(xiàn)超薄玻璃熱成形的關(guān)鍵。圍繞我國(guó)高能X射線掠入射天文望遠(yuǎn)鏡研制對(duì)高面形精度的超薄玻璃柱面鏡的需求,采用勒讓德多項(xiàng)式對(duì)柱面鏡面形的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,利用勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)與特定的幾何像差的對(duì)應(yīng)性,通過擬合勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù),獲得了待測(cè)柱面鏡面形的特定幾何像差,為全面評(píng)價(jià)柱面鏡面形質(zhì)量提供了參考。

關(guān)鍵詞：柱面鏡; 勒讓德多項(xiàng)式; 最小二乘法; 像差

引言

X射線天文觀測(cè)是人類認(rèn)識(shí)和了解宇宙,尤其是宇宙起源、超新星遺跡、黑體的重要手段。自20世紀(jì)60年代,人們開始運(yùn)用Wolter-I型望遠(yuǎn)鏡對(duì)各種天體進(jìn)行觀測(cè)。Wolter-I型望遠(yuǎn)鏡是由共焦的掠入射拋物面和雙曲面反射鏡組成,為了獲得大的有效面積,采用了嵌套結(jié)構(gòu)。從1999年起,先后發(fā)展了基于常規(guī)光學(xué)方法制作鏡片的Chandra望遠(yuǎn)鏡[1],基于Ni電鍍方法制作鏡片的Newton望遠(yuǎn)鏡[2],基于鋁薄片成型分離方法制作鏡片的ASCA[3]和Suzaku[4]X射線望遠(yuǎn)鏡。鋁薄片鏡片的使用雖然大大降低了望遠(yuǎn)鏡的造價(jià),但是其自身性質(zhì)限制了這種方法制作望遠(yuǎn)鏡分辨率的進(jìn)一步提升。隨著技術(shù)的發(fā)展,人們可以采用超薄玻璃制作望遠(yuǎn)鏡的反射鏡片替代原有的鋁片。2012年,美國(guó)發(fā)射的NuSTAR衛(wèi)星[5]是采用超薄玻璃鏡片制作望遠(yuǎn)鏡的典范,其分辨率是58″。這種方法制作的反射鏡片是先制作出圓柱面形狀,在裝配時(shí)將其壓成圓錐面以達(dá)到設(shè)計(jì)要求。因此,在進(jìn)行這種望遠(yuǎn)鏡研制過程中,如何精確測(cè)量圓柱面面形是改進(jìn)工藝、提高鏡片制作質(zhì)量的關(guān)鍵。

圓柱面面形檢測(cè)方法有很多,常用的有三坐標(biāo)測(cè)量法和采用計(jì)算全息圖(CGH)的干涉測(cè)量法。一般的三坐標(biāo)測(cè)量是用觸針式探頭接觸待測(cè)圓柱面表面,通過探頭位置讀出并記錄待測(cè)點(diǎn)的三坐標(biāo)值,得到被測(cè)面的面形。當(dāng)對(duì)厚度只有0.21 mm的超薄玻璃鏡片測(cè)量時(shí),這種方法會(huì)引入較大誤差,不能滿足面形測(cè)量精度的要求[6]。采用計(jì)算全息圖的方法是用計(jì)算全息圖產(chǎn)生柱面波,該柱波面與待測(cè)圓柱面表面反射的柱面波進(jìn)行干涉,根據(jù)干涉結(jié)果計(jì)算獲得待測(cè)圓柱面面形的偏差。

在分析干涉測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí),一般干涉儀會(huì)給出面形的均方根值(RMS)、最大差別值(PV)和等高線圖等評(píng)價(jià)指標(biāo),更好的結(jié)果是用澤尼克(Zernike)多項(xiàng)式系數(shù)給出的面形測(cè)試結(jié)果,但其不適用于圓柱面的檢測(cè)。在非圓域光學(xué)面形測(cè)量中,Paul研究了勒讓德多項(xiàng)式應(yīng)用于近柱面面形誤差的表征,給出了一組包含勒讓德多項(xiàng)式的方程,并成功地評(píng)價(jià)了掠入射光學(xué)系統(tǒng)的波前誤差和成像誤差[7]。Gao等將勒讓德多項(xiàng)式用于方形域面形的重建,獲得了相關(guān)的面形數(shù)據(jù)[8]。本文基于勒讓德多項(xiàng)式的特點(diǎn)研究了其用于圓柱面面形檢測(cè),給出了類似于澤尼克多項(xiàng)式系數(shù)的圓柱面面形評(píng)價(jià)結(jié)果。

1勒讓德多項(xiàng)式

在面形檢測(cè)中常用的澤尼克多項(xiàng)式是一組僅在圓形光瞳上正交的序列函數(shù),不適合柱面鏡面形測(cè)量數(shù)據(jù)的理論擬合。勒讓德多項(xiàng)式是一組在[-1,1]上正交的序列函數(shù),這種正交性滿足了柱面對(duì)稱區(qū)域的特點(diǎn),是勒讓德多項(xiàng)式擬合柱面鏡面形的理論基礎(chǔ)[9]。勒讓德多項(xiàng)式能與像差理論建立聯(lián)系,其系數(shù)與柱面鏡對(duì)應(yīng)的像差直接相關(guān)。

勒讓德多項(xiàng)式是數(shù)學(xué)和物理中最重要的函數(shù)集合之一,勒讓德方程的表達(dá)式為

(1)

在n為整數(shù)時(shí),勒讓德方程的一個(gè)特解是勒讓德多項(xiàng)式[10],可表示為

圖1　前七項(xiàng)勒讓德多項(xiàng)式圖像Fig.1　The first seven Legendre polynomials

(2)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),m=n/2;n為奇數(shù)時(shí),m=(n-1)/2。前七項(xiàng)勒讓德函數(shù)圖像如圖1所示。

用勒讓德多項(xiàng)式擬合獲得的柱面鏡面形具有以下優(yōu)點(diǎn):

(1) 在區(qū)間[-1,1]上正交,正交特性使得多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)相互獨(dú)立,有利于消除偶然因素造成的干擾;

(2) 勒讓德多項(xiàng)式可以與Seidel 像差項(xiàng)對(duì)應(yīng),為有選擇地單獨(dú)處理各像差系數(shù)、優(yōu)化系統(tǒng)性能提供了有效方法。

在矩形域上正交的二維勒讓德多項(xiàng)式為

(3)

式中:i和j為從0開始的整數(shù);Li(x)是以x為變量的勒讓德多項(xiàng)式;Lj(y)是以y為變量的勒讓德多項(xiàng)式。多項(xiàng)式Ln(x,y)滿足正交性[11],即

(4)

式中:δ為克羅內(nèi)克標(biāo)記。

二維勒讓德多項(xiàng)式Ln(x,y)的前十項(xiàng)與其對(duì)應(yīng)的像差見表1。

表1　前十項(xiàng)勒讓德多項(xiàng)式與其

在空間直角坐標(biāo)系下,N項(xiàng)二維勒讓德多項(xiàng)式為[12]

a2L2(x,y)+…+anLn(x,y)

(5)

式中:n為勒讓德多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù);ai為勒讓德多項(xiàng)式中第i項(xiàng)系數(shù);Li(x,y)為勒讓德多項(xiàng)式的第i項(xiàng)。

由像差理論可知:一個(gè)完整的波前像差可以用一系列勒讓德多項(xiàng)式表示[13-14],即

(6)

式中:Z′(x,y)為待測(cè)曲面;Z0(x,y)為理想曲面;Z(x,y)為包含面形的變化量,即剩余表面誤差。

在對(duì)待測(cè)柱面鏡進(jìn)行測(cè)量后,可得測(cè)量的曲面在xy平面上各點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),以及待測(cè)曲面相對(duì)理想曲面在z方向上各點(diǎn)的偏移量Z。將測(cè)量數(shù)據(jù)分別代入式(5)得到

(7)

式(7)可簡(jiǎn)記為

B=LA

(8)

式中:L為m×n階矩陣;A=(a1,a2,…,an)T;B=(Z1,Z2,…,Zm)T。

式(8)中的L和B為已知量。為了得到矩陣A,即勒讓德多項(xiàng)式每項(xiàng)的系數(shù),本文采用基于Gram-Schmidt正交化法的最小二乘法求解勒讓德多項(xiàng)式的系數(shù)[15]。由勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)可擬合出待測(cè)柱面鏡的曲面。

2擬合結(jié)果與分析

RMS值和PV值是兩種常用的面形檢測(cè)指標(biāo)。RMS是被測(cè)波面相對(duì)于參考波面的均方根偏差,通過RMS值可觀察面形的變化程度,更客觀地反映表面形貌。PV是被測(cè)波面相對(duì)參考波面的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之差,它描述了測(cè)量區(qū)域內(nèi)面形的整體形貌,而忽略了區(qū)域上的局部信息。RMS和PV是兩種不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),都表示光學(xué)表面偏離理想光學(xué)表面的大小。

在面形檢測(cè)方面,初級(jí)像差對(duì)面形的影響一直是研究熱點(diǎn)。如上所述,勒讓德多項(xiàng)式可在柱面域上表示波前像差,它的前幾項(xiàng)與Seidel像差之間存在聯(lián)系,而且高階模式的勒讓德多項(xiàng)式所占比例較小。根據(jù)檢測(cè)要求,需要對(duì)柱面鏡面形中初級(jí)像差的影響做出分析,結(jié)合勒讓德多項(xiàng)式與像差之間的關(guān)系,最終選定勒讓德多項(xiàng)式的前十項(xiàng)對(duì)待測(cè)柱面鏡的面形進(jìn)行擬合,擬合方程為

(9)

表3　鏡片4和鏡片5的勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)擬合系數(shù)

根據(jù)式(9),對(duì)十塊不同柱面鏡面形進(jìn)行了擬合,求得的RMS和PV值如表2所示,其中柱面鏡的面形測(cè)量數(shù)據(jù)采用干涉檢測(cè)的計(jì)算全息方法獲得[16]。

從表2可知,鏡片3的面形RMS值和PV值最小,說明在十塊鏡片中它的面形質(zhì)量最好。但僅從RMS和PV這兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)來判定面形的優(yōu)劣還不夠明確。比如,鏡片4的RMS值小于鏡片5,但是它的PV值卻大于鏡片5。為了更全面評(píng)價(jià)柱面鏡的面形精度,我們根據(jù)擬合出的勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)所對(duì)應(yīng)的像差給出另一種評(píng)價(jià)面形質(zhì)量的方法。表3給出了鏡片4和鏡片5的勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)的擬合系數(shù)。

從表3可以得到如下的結(jié)論:

(1)a0=0,說明兩塊鏡片的面形中都不存在平移像差;

(2) 勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)擬合系數(shù)除第6項(xiàng)外,鏡片5對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值均大于鏡片4,說明傾斜、離焦以及y軸初級(jí)彗差對(duì)鏡片5面形的影響大于鏡片4;

(3) 勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)擬合系數(shù)的第6項(xiàng),鏡片4對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值大于鏡片5,說明x軸初級(jí)彗差在鏡片4面形中的影響較大;

(4) 綜上,鏡片4的整體面形優(yōu)于鏡片5。

鏡片4和鏡片5的剩余表面誤差圖如圖2和圖3所示。

圖2　鏡片4剩余表面誤差

圖3　鏡片5剩余表面誤差

3結(jié)論

本文利用勒讓德多項(xiàng)式擬合了被測(cè)的十塊柱面鏡面形測(cè)量結(jié)果,給出了勒讓德多項(xiàng)式與初級(jí)像差之間的關(guān)系,獲得了勒讓德多項(xiàng)式系數(shù)的擬合值,確立了勒讓德多項(xiàng)式擬合系數(shù)與初級(jí)像差在柱面鏡面形測(cè)量中的影響信息。該方法比常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)RMS值和PV值更能準(zhǔn)確地判定面形質(zhì)量的優(yōu)劣。

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(編輯:劉鐵英)

Figure error test of the cylindrical lens surface based on the fitting of coefficients of Legendre polynomials

YANGXing,WANGZhanshan

(Key Laboratory of Advanced Micro-structured Materials of MOE,School of

Physics Science and Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract：The nominally cylindrical glass segments are forced to a conical form during the assembly process of an X-ray imaging telescope as the ultra-thin glass thermal slumping technique being fully successful. The surface should be measured in order to make high-quality glass with cylindrical surface. Each coefficient of the Legendre polynomials corresponds to the specific geometrical aberration. In this paper, figure error of cylindrical lens is obtained based on the fitting coefficients of Legendre polynomials, which provides an exact method for cylindrical lens surface measurement.

Keywords：cylindrical lens; Legendre polynomials; least square method; aberrations

中圖分類號(hào)：TN 253

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1005-5630.2016.01.003

作者簡(jiǎn)介：楊醒(1988—),男,碩士研究生,主要從事光學(xué)面形檢測(cè)方面的研究。E-mail:yx881211@163.com通信作者： 王占山(1963—),男,教授,主要從事極紫外、軟X射線以及光學(xué)薄膜等方面的研究。 E-mail:wangzs@#edu.cn

基金項(xiàng)目：中國(guó)科學(xué)院空間科學(xué)戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項(xiàng)項(xiàng)目(XDA04060605)

收稿日期：2015-06-04