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    平均數(shù)和方差的變化規(guī)律

    2016-03-28 04:21:51鄒興平
    初中生天地 2016年17期
    關(guān)鍵詞:興平另一組引例

    □鄒興平

    ?

    平均數(shù)和方差的變化規(guī)律

    □鄒興平

    一般地,設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,則方差方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性的大小,方差越大,波動(dòng)性越大.

    當(dāng)一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都發(fā)生規(guī)律性的變化時(shí),如同時(shí)擴(kuò)大(或縮?。┑皆瓉?lái)的a倍,或同時(shí)增加(減少)b,它們的方差或平均數(shù)會(huì)有什么樣的變化呢?

    引例已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為方差為s2,把每個(gè)數(shù)據(jù)先乘以a,再減去b,得到一組新的數(shù)據(jù)ax1-b,ax2-b,…,axn-b,這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同嗎?方差呢?

    分析:觀察兩組數(shù)據(jù)可知,第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)規(guī)律性變化后的結(jié)果,求第二組數(shù)據(jù)的方差或平均數(shù)時(shí),應(yīng)借助于第一組數(shù)據(jù)的方差或平均數(shù).

    在新數(shù)據(jù)中,令y1=ax1-b,y2= ax2-b,…,yn=axn-b,

    綜上所述,我們可以得到這樣一個(gè)規(guī)律:若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為方差為s2,則新數(shù)據(jù)ax1+ b,ax2+ b,…,axn+ b的平均數(shù)為方差為a2s2.

    例1(2015·遵義)如果一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差是4,則另一組數(shù)據(jù)x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是().

    A. 4 B. 7 C. 8 D. 19

    解析:根據(jù)題意得:數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)設(shè)為a,則數(shù)據(jù)x1+3,x2+3,…,xn+3的平均數(shù)為a+3,根據(jù)方差公式a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2]=4,則 +(xn-a)2]=4.故選A.

    例2已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為5,方差為4,把每個(gè)數(shù)據(jù)先乘以3,再減去2,得到一組新的數(shù)據(jù)3x1-2,3x2-2,…,3xn-2,這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同嗎?方差呢?

    在新數(shù)據(jù)中,令y1=3x1-2,y2= 3x2-2,…,yn=3xn-2,

    所以題中兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差均不同,新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3× 5-2=13,方差為32×4=36.

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