一類(lèi)Logistic時(shí)變收獲模型的漸近分析

周 倩，蔣小惠，陳松林

(1.河海大學(xué)文天學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽馬鞍山243031；安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

一類(lèi)Logistic時(shí)變收獲模型的漸近分析

周 倩1，蔣小惠2，陳松林2

(1.河海大學(xué)文天學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽馬鞍山243031；安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

研究一類(lèi)含小參數(shù)的Logistic時(shí)變收獲模型問(wèn)題。采用匹配法構(gòu)造其近似解，通過(guò)上下解法證明近似解的一致有效性，并給出近似解與精確解之間的誤差估計(jì)。運(yùn)用非線性多重尺度法，獲得在更長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的形式漸近解。

Logistic收獲模型；近似解；匹配法；多重尺度法

Logistic模型[1-3]由于其形式簡(jiǎn)單、參數(shù)生物意義明確、動(dòng)態(tài)行為清晰等特性，使其在生態(tài)學(xué)、生物資源管理、細(xì)胞和分子生物學(xué)、生命科學(xué)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。該模型描述種群的S型增長(zhǎng)[4]，可表征種群的數(shù)量動(dòng)態(tài)。

Logistic時(shí)變收獲模型可表示為

其中：r為內(nèi)稟增長(zhǎng)率；k為環(huán)境容納量；h為收獲率。當(dāng)r，k，h為正常數(shù)時(shí)，即Schaefer模型。實(shí)際中，r，k，h往往隨時(shí)間緩慢變化，式(1)可表示成這里ε為正的小參數(shù)，且滿(mǎn)足此即Bernoulli方程。在絕大多數(shù)情況下，式(2)的顯式解析解較難獲得或表達(dá)式復(fù)雜，從而其漸近性態(tài)不易獲得。本文先通過(guò)匹配法，得出其近似解，并給出其與精確解之間的誤差估計(jì)和漸近性態(tài)分析。再利用多重尺度法，構(gòu)造兩個(gè)不同的時(shí)間尺度，獲得在更長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的漸近解。

1 時(shí)變模型的匹配法

若λ=εt作為慢尺度，則系統(tǒng)(2)可被轉(zhuǎn)換成如下奇異攝動(dòng)問(wèn)題[5-6]

此時(shí)，系統(tǒng)(2)，(3)分別稱(chēng)為快、慢系統(tǒng)。

為使用匹配法，先來(lái)求快系統(tǒng)的首次近似，即令式(2)中ε=0，得

再求慢系統(tǒng)(3)的首次近似得

由式(4)和式(5)可得

由Prandtl匹配原理可得式(2)的首次形式合成近似解[7]為

下一步證明當(dāng)ε足夠小時(shí)，近似解(6)在任何有界區(qū)間上是一致有效的。

引理[8]設(shè)α,β∈C1[a,b],α(t)≤β(t);f(t,x)在區(qū)域G∶a≤t≤b,α(t)≤x≤β(t),上連續(xù),且保證初值問(wèn)題

的解存在。當(dāng)t∈[a,b]時(shí)，有

則對(duì)任意滿(mǎn)足α(a)≤A≤β(a)的常數(shù)A，問(wèn)題(7)在區(qū)間[a,b]上總有一個(gè)解x(t)，并滿(mǎn)足不等式

函數(shù)α(t)和β(t)稱(chēng)為初值問(wèn)題(7)的一對(duì)上下解。

定理1 假定且關(guān)于λ連續(xù)可微,則近似解(6)在[0,T]上一致有效，其與精確解的誤差估計(jì)為

其中：xa(t,ε)由式(6)給出；T是任意有界的正常數(shù)；γ為與T有關(guān)的正常數(shù)；0＜ε0?1。

證明分別構(gòu)造式(2)的上、下解[9-11]為：

其中γ為正常數(shù)，易知

對(duì)任意有界的T＞0，當(dāng)t∈[0,T]時(shí)，由Lagrange中值定理

由引理可知，xa(t,ε)在[0,T]上一致有效，且xa(t,ε)與x(t,ε)的誤差估計(jì)為

可知定理成立。

2 長(zhǎng)時(shí)間漸近分析

為了獲得在更長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的一致有效漸近解，可選用多重尺度法。如果選用導(dǎo)數(shù)多重尺度法，則會(huì)出現(xiàn)不可消去的長(zhǎng)期項(xiàng)；如果使用兩變量線性多重尺度法，則需取到ε2階，增大了求解的難度。為避免出現(xiàn)以上兩種方法的弊端，選用非線性?xún)勺兞砍叨确▽?duì)式(2)求解。

將x(t0,t1,ε)關(guān)于ε冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

取x(t0,t1,ε)的前兩項(xiàng)，并將其代入式(29)，有

此時(shí)，式(31)關(guān)于ε的階數(shù)展開(kāi)，可得

通過(guò)變量分離可得式(32)的解

對(duì)式(33)求解x1(t0,t1)，將式(35)代入式(33)，此時(shí)，r(t1)，h(t1)，k(t1)以及均可視為常數(shù)，與式(2)式相比，式(33)為標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程。取其特解

為消除長(zhǎng)期項(xiàng)，使得關(guān)于x(t0,t1,ε)的漸近展開(kāi)式一致有效需是有界的，即帶有項(xiàng)的系數(shù)為零，取此時(shí)θ(t1)，c(t1)為常數(shù)，取θ(t1)=1，則有

令

將式(40)代入式(39)，有

則

將式(42)代入式(41)，得

其中t0由式(37)給出。

3 結(jié) 語(yǔ)

1)討論的具有時(shí)變收獲特性的Logistic模型更符合實(shí)際情況，有利于種群研究中對(duì)有經(jīng)濟(jì)價(jià)值的動(dòng)植物種群對(duì)有害物種的控制。

2)采用匹配法構(gòu)造其在[0，T]上的近似解，通過(guò)上下解法證明近似解的一致有效性，并給出近似解與精確解之間的誤差估計(jì)；選用非線性?xún)沙叨确ǎ@得了在更長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)，即上的漸近解。

[1]SHEPHERD J,STOJKOV L.The logistic population model with slowly varying capacity[J].Anziam Journal Electronic Supplement,2007,47:492-506.

[2]SHEN J H,ZHOU Z Y.Fast-slow dynamics in logistic models with slowly varying parameters[J].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation,2013,18(8):2213-2221.

[3]王壽松.單種群增長(zhǎng)的廣義Logistic模型[J].生態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1990,5(1):21-25.

[4]李海龍.一類(lèi)具有周期系數(shù)的單種群模型及其最優(yōu)收獲策略[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,14(4):394-402.

[5]NAYFEHA.Introduction to Perturbed Techniques[M].New York:John Weiley＆Sons,1981:365-375.

[6]陳松林.具常投放率的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的漸近性質(zhì)[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1995,10(4):134-137.

[7]劉樹(shù)德，魯世平，姚靜蓀，等.奇異攝動(dòng)邊界層和內(nèi)層理論[M].北京：高等教育出版社，2012:145-151.

[8]Johnson R S.Singular Perturbation Theory[M].New York:Springer-Verlag,2005:157-183.

[9]周倩，陳松林.一類(lèi)非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題邊界層與邊值的關(guān)系[J].合肥學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,21(4):12-15.

[10]周倩，陳松林.一類(lèi)非線性方程Robin問(wèn)題的激波位置[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012,29(4):375-380.

[11]孫龍，陳松林.一類(lèi)具有慢變特性的Logistic模型解的合成展開(kāi)[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015,32(1):65-69.

責(zé)任編輯：丁吉海

AsymptoticAnalysis for a Class of Time Varying Harvested Logistic Model

ZHOU Qian1,JIANG Xiaohui2,CHEN Songlin2
(1.Hehai University Wentian College,Ma'anshan 243031,China;2.School of Mathematics＆Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

A class of the time varying harvested Logistic model with small parameters was studied.The matching method was empoyed to construct the approximate solution of the model,and the uniform validity of the approximate solution was proved via methods of upper and lower solution.At the same time,the error estimate between the approximate solution and the exact solution was given.According to the nonlinear method of multiple scales, the formal asymptotic solution for longer periods of time was obtained.

harvested Logistic model;approximate solution;matching method;the method of multiple scales

O 175.1

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2016.04.014

1671-7872(2016)04-0384-06

2016-01-14

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A084)；河海大學(xué)文天學(xué)院校級(jí)課題(WT15008)

周倩(1986-)，女，安徽馬鞍山人，講師，研究方向?yàn)槲⒎址匠痰臐u近理論。

陳松林(1964-)，男，安徽安慶人，教授，研究方向?yàn)槲⒎址匠痰臐u近理論。