ILU預(yù)處理Newton—Krylov方法的潮流計算

廖小兵王文超+李奔

摘要：由于電力系統(tǒng)修正方程組具有高維、稀疏的特點，本文提出將預(yù)處理Krylov子空間方法應(yīng)用于潮流修正方程組的求解，形成預(yù)處理NewtonKrylov的潮流計算方法。結(jié)合ILU預(yù)處理方法，比較了最常用的3類NewtonKrylov方法求解潮流方程的計算效果。通過對 IEEE30、IEEE118、IEEE300 和3個Poland大規(guī)模電力系統(tǒng)進(jìn)行潮流計算，結(jié)果表明：3類NewtonKrylov方法是電力系統(tǒng)潮流計算的有效方法，呈現(xiàn)出良好的收斂特性和計算效率。

關(guān)鍵詞：潮流計算；修正方程組；ILU預(yù)處理；NewtonKrylov方法

中圖分類號：TM744 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1引言

潮流計算是電力系統(tǒng)分析中最古老的經(jīng)典課題之一。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)潮流計算通常以牛頓法為主[1]。牛頓法是求解非線性代數(shù)方程組的有效方法之一，它將非線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的求解，但由于每次迭代后都需更新雅可比矩陣的元素，導(dǎo)致每次都需求解高維的線性代數(shù)方程組。傳統(tǒng)的直接法，如Gauss消去法，LU分解等，計算量和存儲量較大，且固有的前推回代過程難以并行[2-3]。迄今為止，越來越多的國內(nèi)外研究人員在電力系統(tǒng)潮流計算中采用NewtonKrylov方法求解潮流方程[4-8]。

NewtonKrylov方法是在不精確牛頓法的基礎(chǔ)上，結(jié)合Krylov子空間迭代法，形成的一類新的求解非線性方程組的數(shù)值方法。這類方法結(jié)合了Newton方法的良好收斂特性，以及Krylov子空間方法的存儲量少、計算量小、易于并行等優(yōu)點[9]，非常適合并行求解大規(guī)模的非線性方程組問題[10]。文獻(xiàn)[4]首次將Krylov子空間法中的GMRES方法應(yīng)用于潮流計算中。文獻(xiàn)[5]將此類迭代法與不精確牛頓法相結(jié)合（NewtonGMRES），同時采用不同的預(yù)處理方法，對兩個大規(guī)模電力系統(tǒng)進(jìn)行了對比分析計算。結(jié)果表明：結(jié)合適當(dāng)?shù)念A(yù)處理的NewtonGMRES方法比NewtonLU方法約快2倍。

迄今為止，在潮流計算中應(yīng)用最廣泛的NewtonKrylov方法是NewtonGMRES方法。結(jié)合預(yù)處理技術(shù)的NewtonGMRES方法具有良好的收斂特性和數(shù)值穩(wěn)定性，已成為大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流計算首選方法之一。目前，關(guān)于其它NewtonKrylov方法[11]在潮流計算中的應(yīng)用還缺乏相關(guān)的報道，以及它們在潮流計算中計算效率的比較。因此，本文結(jié)合ILU預(yù)處理技術(shù)，將3種最常用的NewtonKrylov方法應(yīng)用于潮流計算，并比較了它們的收斂性和計算效率。

3預(yù)處理NewtonKrylov方法的潮流計算

Krylov子空間方法是求解大型稀疏線性代數(shù)方程組的一類有效方法，其收斂速度依賴于其系數(shù)矩陣特征值的分布。通過選取適當(dāng)?shù)木仃嘙使M-1A盡可能接近單位陣，來改善系數(shù)矩陣特征值分布的方法稱為預(yù)處理技術(shù)，。通常的做法是令M在某種意義下接近A并且M-1的計算易于實現(xiàn)或選取接近于A-1的M-1并且M-1容易求取。迄今為止，潮流計算常用的預(yù)處理方法主要包括直接抽取矩陣的對角線元素作為預(yù)條件子、ILU分解（incomplete LU factorization）、不完全 Cholesky 分解、Jacobi 預(yù)條件子等。文獻(xiàn)[10]對這幾種預(yù)處理方法，采用不同規(guī)模的電力系統(tǒng)進(jìn)行了潮流計算，結(jié)果表明：結(jié)果表明：基于ILU分解的預(yù)處理方法比其它預(yù)處理方法具有更少的迭代次數(shù)和浮點運算次數(shù)。

NewtonKrylov潮流計算方法的本質(zhì)是一種雙層迭代法。在求解過程中，均含內(nèi)、外兩類迭代過程：一般將牛頓法迭代過程稱為外迭代；將稀疏線性代數(shù)方程組的迭代求解過程稱為內(nèi)迭代，即Krylov子空間迭代。嚴(yán)格來說，NewtonKrylov潮流計算方法并不是一種新方法。但由于結(jié)合了預(yù)處理技術(shù)，而預(yù)處理方法的選擇極具靈活性，所以是一種極具潛力的計算方法。

4算例仿真和分析

本文所有仿真分析均基于MATLAB平臺，設(shè)計實現(xiàn)了3種NewtonKrylov（NG法，NB法，NC法）潮流計算程序，并以此詳細(xì)比較3種NewtonKrylov方法求解潮流方程的效率。外迭代的收斂容差為1e-6（基準(zhǔn)功率100MVA），內(nèi)迭代的收斂容差為1e-2。圖1是基于ILU預(yù)處理NewtonKrylov方法潮流計算流程圖。圖1基于ILU預(yù)處理NewtonKrylov

方法潮流計算流程圖

所采用的算例模型包括 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng) IEEE30、IEEE118和IEEE300，以及3個Poland互聯(lián)大規(guī)模電力系統(tǒng)模型，測試時間取平均值。表1給出了6個算例系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和雅可比矩陣的條件數(shù)。從表1可以看出隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大，其初次形成的雅可比矩陣J的條件數(shù)往往是很大的（cond（J）>1e+3），接近極限運行狀態(tài)。

表2是基于ILU預(yù)處理NewtonKrylov方法進(jìn)行潮流計算的結(jié)果。從表2可以看出，3種NewtonKrylov方法的收斂性都非常強健；在同樣收斂精度的情況下，NB法和NC法在收斂速度上比NG法快，大約減少一半的迭代次數(shù)；但NB法和NC法包含了兩次正交化的過程，計算量大約是NG法的兩倍，因此，從整體上來說求解效率并沒有明顯提高。再結(jié)合表3可知，當(dāng)電力系統(tǒng)規(guī)模較小時，NB法和NC法都比NG法節(jié)省計算時間；隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的增大（上千節(jié)點時），NG法的計算時間較NB法和NC法減少。需要說明一下，對于IEEE30系統(tǒng)而言，ILU預(yù)處理的精度太高，將迭代法變成了直接法，相當(dāng)于ILU預(yù)處理和內(nèi)迭代中兩次分解雅克比矩陣，使得IEEE30系統(tǒng)的計算時間比IEEE118系統(tǒng)還要多。

5結(jié)論及討論

3類NewtonKrylov方法是計算電力系統(tǒng)潮流的有效方法，具有良好的收斂特性和計算效率。在同樣的收斂精度下，基于ILU預(yù)處理的NG法和NC法的內(nèi)迭代次數(shù)較NG法明顯減少，但NG法和NC法的計算量大約是NG法的兩倍，因此，在計算時間上并沒有明顯提高?？傮w上說，3類算法各有優(yōu)缺點，要根據(jù)電力系統(tǒng)的規(guī)模，選擇合適的算法。

NewtonKrylov潮流計算方法成功的核心在于預(yù)處理矩陣的選取，本文采用最常用的ILU預(yù)處理方法，其它預(yù)處理方法對3類NewtonKrylov的方法計算效率的影響，及如何針對不同規(guī)模的電力系統(tǒng)，選取合適的預(yù)處理方法，都缺乏相關(guān)的結(jié)論。預(yù)處理方法和NewtonKrylov的方法怎樣協(xié)調(diào)配合計算不同規(guī)模的電力系統(tǒng)潮流，都有待進(jìn)一步研究和驗證。

參考文獻(xiàn)

[1]張伯明， 陳壽孫. 高等電力網(wǎng)絡(luò)分析[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2007

[2]劉凱，陳紅坤，向鐵元，等. 以對稱反對稱分裂預(yù)條件處理GMRES（m）的不精確牛頓法潮流計算[J]. 電網(wǎng)技術(shù)， 2009， 33（19）： 123-126.

[3]胡博，謝開貴，曹侃. 基于Beowulf集群的大規(guī)模電力系統(tǒng)牛頓法潮流求解的并行GMRES方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報， 2011， 26（4）： 145-152.

[4]SEMLYEN A. Fundamental concepts of a Krylov subspace power flow methodology[J]. IEEE Trans on Power Systems， 1996， 11（3）： 1528-1537.

[5]FLUECK A J，CHIANG H D. Solving the nonlinear power flow equations with an inexact Newton method using GMRES [J]. IEEE Trans on Power Systems， 1998， 13（2）： 269-273.

[6]ALVES A B，ASADA E N， MONTICELLI A. Critical evaluation of direct and iterative methods for solving AX=b systems in power flow calculations and contingency analysis[J]. IEEE Trans on Power Systems， 1999， 14（2）： 702-708.

[7]蔡大用， 陳玉榮. 用不完全 LU分解預(yù)處理的不精確潮流計算方法[J]. 電力系統(tǒng)自動化， 2002， 22（25）： 11-14.

[8]劉洋， 周家啟， 謝開貴， 等. 預(yù)條件處理CG法大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流計算[J]. 中國電機工程學(xué)報， 2006， 26（7）： 89-94.

[9]蔡大用， 白峰杉. 現(xiàn)代科學(xué)計算[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2000.

[10]胡博， 周家啟， 劉洋， 等. 基于預(yù)條件處理 GMRES的不精確牛頓法潮流計算[J].電工技術(shù)， 2007， 22（2）： 98-104.

[11]梁恒， 白峰杉. 對稱不定問題的不精確Newton法[J]. 計算數(shù)學(xué)， 2002， 24（3）： 319-326.

[12]SAAD Y，SCHULTZ M H. GMRES： A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems[J]. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing， 1986， 7（3）： 856-869.

[13]SAAD Y. Iterative methods for sparse linear systems[M]. Second Edition. U.S： Society for Industrial and Applied Mathematics， 2003.

[14]LANCZOS C. Solution of systems of linear equations by minimized iteration[J]. Res. Nat. Bur. Stand， 1952， 49： 33-53.