水下量子通信的數(shù)值模擬及誤碼率分析?

趙士成， 史　鵬， 李文東， 顧永建

(中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

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水下量子通信的數(shù)值模擬及誤碼率分析?

趙士成， 史鵬， 李文東， 顧永建??

(中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

摘要：水下量子密鑰分配可以為水下通信提供絕對(duì)安全的保密手段。本文采用蒙特卡洛方法，結(jié)合海水信道的光學(xué)性質(zhì)和光子的量子特性模擬了光子在海水中的傳輸過(guò)程，研究其衰減和偏振特性，計(jì)算了接收到的光子數(shù)隨接收端口徑、視場(chǎng)角和傳輸距離的變化，從保真度的角度分析散射光的偏振變化情況，并結(jié)合背景光的影響分析了水下量子通信誤碼率。結(jié)果表明，水下量子通信理論上可以實(shí)現(xiàn)百米量級(jí)的安全通信。

關(guān)鍵詞：量子通信；蒙特卡洛模擬；保真度；海水信道；量子誤碼率

ZHAO Shi-Cheng, SHI Peng, LI Wen-Dong, et al. Simulation and QBER analysis of underwater quantum communication[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(2): 131-137.

在水下傳感網(wǎng)絡(luò)、潛艇、各種水下航行器等水下系統(tǒng)通信需求的強(qiáng)烈驅(qū)動(dòng)下，近年來(lái)水下無(wú)線光通信技術(shù)得到了迅速發(fā)展，水下量子密鑰分配技術(shù)可以為其提供絕對(duì)安全的保密手段。1984年Bennett和Brassard[1-2]提出了第一個(gè)安全的量子密鑰分配協(xié)議——BB84協(xié)議，之后又成功完成第一個(gè)量子密鑰分配實(shí)驗(yàn)[3]，開創(chuàng)了量子密碼理論和實(shí)驗(yàn)的先河。隨后，量子密碼在理論和應(yīng)用方面都得到了蓬勃發(fā)展。作為最基本的量子密鑰分配方案，BB84協(xié)議安全性已經(jīng)被證明[4-6]，自由空間量子密鑰分配距離達(dá)到144km[7]。自由空間中的量子通信發(fā)展已經(jīng)較為成熟，趨于實(shí)用化，而國(guó)際上水下量子通信的研究則剛剛展開，美國(guó)ITT公司[8]對(duì)水下量子通信的可行性做出了論證，但國(guó)內(nèi)尚未開始進(jìn)行水下量子通信的研究。

光作為信息載體速度快、效率高，但對(duì)于水下通信，由于其信道是海水信道，其衰減比在自由空間中嚴(yán)重，傳輸距離也將受到限制。經(jīng)典的水下光通信研究中，Sermsak Jaruwatanadilok[9]研究了海水信道對(duì)通信的影響并對(duì)光的偏振變化情況做出了相關(guān)研究，但考慮到光子的量子特性，其研究并不能完全適用于水下量子通信。水下量子通信中，信息載體是單光子，單光子與海水中顆粒物質(zhì)作用后，每次作用光子都將概率性的被吸收，此外，海水中顆粒物質(zhì)可以認(rèn)為是隨機(jī)分布[10]的，處理隨機(jī)性問題一般采用蒙特卡洛方法?；谝陨媳尘?，本論文結(jié)合海水信道的光學(xué)性質(zhì)和量子力學(xué)基本原理，對(duì)水下量子通信中的偏振光子進(jìn)行了蒙特卡洛模擬，研究了偏振光子在海水信道中的傳輸特性并對(duì)水下量子通信的誤碼率進(jìn)行了分析。

1信道模型與分析方法

水下量子通信可以為水下通信提供絕對(duì)安全的保密手段，水下量子通信的示意圖見圖1。

圖1　水下量子通信示意圖

1.1 海水信道

光在海水中傳輸將會(huì)由于和海水相互作用而衰減，因而，光在海水中的傳輸距離受到限制，但對(duì)于藍(lán)綠波段的可見光[11-12]而言，其衰減作用則相對(duì)較弱，本文主要研究此波段的光在受到海水的吸收和散射作用時(shí)的傳輸特性。真實(shí)的海水成分復(fù)雜，但根據(jù)其對(duì)光的作用不同可將海水中光學(xué)性質(zhì)重要的成分作如下劃分：對(duì)吸收起主要作用的是純海水、浮游生物、有機(jī)碎屑和黃色物質(zhì)；對(duì)散射起主要作用的是浮游生物、礦物質(zhì)和碎屑。

考慮到在不同水體中光的衰減程度也會(huì)不同，研究水下量子通信，參考Underwater communication一書中列出的波長(zhǎng)480nm的光在3種Jerlov型水體(I,II,III)的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行研究，對(duì)于這3種水體480nm波長(zhǎng)的光衰減系數(shù)分別為0.03、0.18、0.3m-1。觀測(cè)表明，通常采用一粒徑分布函數(shù)就可以描述海水中光學(xué)性質(zhì)重要的粒子，其表達(dá)式如下[10]：

(1)

式中：D0是參考直徑；K是直徑為D0的粒子數(shù)密度，對(duì)于不同的粒子，各參數(shù)的取值也會(huì)不同。對(duì)于海洋顆粒物來(lái)說(shuō)，ε的取值一般其值在2～5之間，典型值在3～4之間。為了使模型簡(jiǎn)化，本文做了一個(gè)基本假定——研究的粒子均為球形粒子；此外為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在程序中將海水及其溶解物對(duì)光子的影響和粒子對(duì)光子的影響分別計(jì)算。

研究中需要考慮環(huán)境光的強(qiáng)弱，本文研究的背景光主要考慮從海面入射的環(huán)境光。根據(jù)海水的深度不同有如下公式[13]：

(2)

1.2Mie散射理論

斯托克斯矢量可以完全描述一個(gè)光子的偏振，可以用以下表達(dá)式來(lái)描述[14]：

(3)

(4)

(5)

(6)

公式中下標(biāo)表示散射次數(shù)。

1.3 量子誤碼率和保真度

誤碼率是量子通信的一個(gè)重要參數(shù)，誤碼率的大小反應(yīng)了通信的安全性。對(duì)于BB84協(xié)議，在僅考慮背景光和散射光時(shí)，計(jì)算誤碼率的公式如下[8]：

(7)

式中：Ω是探測(cè)器的立體角；h是普朗克常量；N1是衰減后剩余的光子總數(shù)；N2是散射噪聲；Δλ是譜線寬度；Rd是環(huán)境輻照度；c是光速；Δt是脈沖周期；Δt'是開門時(shí)間；A是探測(cè)器面積，N1和N2。通過(guò)程序模擬求得。

(8)

保真度的范圍在0～1之間。保真度為0意味著這2個(gè)態(tài)正交；保真度越接近于1，表明這2個(gè)狀態(tài)相似程度越高，當(dāng)保真度為1時(shí)，這2個(gè)狀態(tài)相同。

2水下量子通信中光傳輸?shù)腗onte Carlo模擬

2005年，Jessica C. Ramella-Roman等人介紹了3種矢量蒙特卡洛模擬方案[17]，其中歐拉蒙特卡洛方法在散射時(shí)候?qū)λ雇锌怂故噶啃D(zhuǎn)次數(shù)少，大大減少了計(jì)算量，我們根據(jù)海水中粒徑分布和光子散射時(shí)候的量子效應(yīng)對(duì)其做了修改，并用修改后的程序模擬了光子在海水信道中的傳輸過(guò)程，具體的模擬流程見圖2。

圖2　蒙特卡洛模擬流程圖

2.1 發(fā)射光子和確定散射步長(zhǎng)

初始時(shí)刻假定光子沿著Z軸正方向(0,0,1)入射，初始位置為(0,0,0)，確定一個(gè)初始參考平面(例如XOZ)，入射Stokes矢量s。根據(jù)該參考平面規(guī)定。光子在介質(zhì)中傳播時(shí)滿足以下公式：

N=N0e-(ua+us+um)l。

(9)

式中：ua,us和um分別代表粒子的吸收系數(shù)、粒子的散射吸收和海水(包括溶解物)的吸收系數(shù)；l是傳輸距離；N0是初始時(shí)刻發(fā)射的光子數(shù)；散射步長(zhǎng)ΔL為：

(10)

P是(0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，每產(chǎn)生一個(gè)散射步長(zhǎng)，該光子在此處碰到粒子。

2.2 確定發(fā)生碰撞的散射體

(11)

根據(jù)此概率可以對(duì)碰撞粒子進(jìn)行抽樣，確定與光子相互作用的粒子參數(shù)。

2.3 散射角和方位角

Mie理論的一個(gè)基本問題就是散射角和方向角的確定，在本程序中是通過(guò)舍選法根據(jù)散射相函數(shù)求得散射角和方位角，散射相函數(shù)[18]為：

(12)

舍選法選擇散射角和相位角的過(guò)程是：利用隨機(jī)數(shù)程序隨機(jī)的產(chǎn)生一個(gè)0～1之間的數(shù)Pr，一個(gè)0～θ之間的隨機(jī)角度θ和一個(gè)0～φ之間的角度φ，如果這2個(gè)角度滿足Pr≤P(θ,φ)，則認(rèn)為該角度θ是本次散射的散射角，φ是本次散射的方位角；如果Pr≥P(θ,φ)，則重新產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)和2個(gè)隨機(jī)角度進(jìn)行比對(duì)，直至產(chǎn)生合適的角度。

2.4 傳輸終止的判定

定義權(quán)重因子W=μs/(μa+μs)，表示的是光子在碰撞時(shí)的生存幾率。在本文中，根據(jù)量子力學(xué)判斷光子在碰撞時(shí)是否被吸收[13]，每次光子和粒子相互作用時(shí)，光子都有一定的概率被吸收，在程序中處理過(guò)程如下：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)P和W進(jìn)行比較，如果P>W，則光子被吸收；如果P

(13)

根據(jù)光子打在探測(cè)器的位置和方向判斷該光子是否在探測(cè)器允許的范圍內(nèi)，若是，則記錄數(shù)據(jù)，如不是，則不記錄數(shù)據(jù)，發(fā)射下一個(gè)光子，直至發(fā)射到最后一個(gè)光子。

3結(jié)果和討論

本文通過(guò)蒙特卡洛模擬程序研究了光子在一類水體中的傳輸特性，考慮到一類水體顆粒物中浮游生物占大多數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，模擬參數(shù)主要參考浮游生物的參數(shù)；另外，由于黃色物質(zhì)的主要來(lái)源是陸生植物[10]，因而在研究開闊大洋中的光傳輸時(shí)也不考慮黃色物質(zhì)的影響。主要模擬參數(shù)見表1。

表1　關(guān)鍵模擬參數(shù)

Note：①Wavelength;②Refractive index of the particle;③Number of launched photons;④Index of particle size distribution;⑤Range of particle size distribution

3.1 光的衰減

首先模擬了在3種不同渾濁度的海水中光的衰減情況，模擬結(jié)果見圖3。光子在海水中傳輸，隨著距離增加探測(cè)到的光子數(shù)在不斷減少，對(duì)于不同渾濁度的海水，最大的傳輸距離也不相同，對(duì)于Ⅱ和Ⅲ的2種海水傳輸至30和20m處時(shí)幾乎接收不到光子，因而，為了保證通信距離，主要考慮在清澈海水中光子的傳輸情況。但對(duì)于最清澈的海水量子通信的傳輸距離也被限制在百米量級(jí)，在傳輸距離為100m處，接收到的光子數(shù)為發(fā)射光子數(shù)的4.9%左右，這和理論值5%也很接近。

圖3　光子數(shù)隨距離的變化

圖4　光子數(shù)隨孔徑的變化

圖5　光子數(shù)隨視場(chǎng)角的變化

此外，研究了光子數(shù)隨接收端口徑和視場(chǎng)角(FOV)的變化。圖4和5是傳輸至60m處光子數(shù)隨口徑和視場(chǎng)角的變化，從圖中數(shù)據(jù)可以看出，雖然光子數(shù)隨著口徑和視場(chǎng)角的增加呈增加趨勢(shì)，但是其增加程度很低，探測(cè)器直徑從4cm增加至50cm時(shí)，光子數(shù)增加量最大約為8%；視場(chǎng)角從174mrad增加至522mrad時(shí)，光子數(shù)增加量最大約為1%，并且視場(chǎng)角增加到一定程度后，曲線趨于平緩。因此可以認(rèn)為，口徑和視場(chǎng)角大小對(duì)成碼率有影響，但影響結(jié)果并不明顯。因此在進(jìn)行水下量子通信選擇口徑和視場(chǎng)角時(shí)，應(yīng)主要考慮口徑和視場(chǎng)角對(duì)誤碼率的影響。

3.2 保真度

光子發(fā)生散射以后，其偏振態(tài)會(huì)發(fā)生變化，散射光子將會(huì)帶來(lái)誤碼，故研究散射光的狀態(tài)變化情況對(duì)于分析誤碼率是十分必要的，對(duì)于接收到的光子狀態(tài)變化，本文從保真度的角度來(lái)研究。圖6是研究保真度隨著傳輸距離(探測(cè)器直徑為20cm，視場(chǎng)角為174mrad)的變化情況。

從圖6可以看出，光子的保真度接近于1，說(shuō)明接收到的光子狀態(tài)和光子初始狀態(tài)近似相同。分析結(jié)果出現(xiàn)的原因：首先，探測(cè)到光子大部分是未經(jīng)散射的；其次，散射光子中絕大多數(shù)發(fā)生一次(超過(guò)99%)小角度散射就被探測(cè)到?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論：對(duì)于本文研究的水下量子信道模型，散射光子的偏振態(tài)變化不大，誤碼的來(lái)源應(yīng)主要考慮背景光。

3.3 誤碼率

研究在幾種不同的天氣情況下(1晴朗天氣，滿月；2晴朗天氣，僅有星光；3陰天夜間)海水信道中(深度選為200m)量子通信誤碼率的變化情況。模擬程序中激光器參數(shù)選擇如表2所示[8]：環(huán)境福照度根據(jù)Light and Water[13]一書中所列的輻照度對(duì)于滿月的晴朗天氣Rd(0)=1×10-3W·m-2，對(duì)于晴朗星空Rd(0)=1×10-6W·m-2，對(duì)于陰天夜間Rd(0)=1×10-7W·m-2。

圖7描述了在3種不同天氣情況下誤碼率隨著口徑和視場(chǎng)角的變化情況。從圖中可以看出：散射光引起的誤碼率數(shù)幾乎為0，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于背景光對(duì)誤碼率帶來(lái)的影響；在考慮到背景光之后，誤碼率的變化隨著口徑和視場(chǎng)角增加相當(dāng)明顯，當(dāng)口徑和視場(chǎng)角到達(dá)一定值以后，由于誤碼率過(guò)高，通信的安全性已經(jīng)無(wú)法得到保證，而考慮到口徑和視場(chǎng)角對(duì)光子數(shù)目的增加影響并不是特別明顯，因而在進(jìn)行水下量子通信的時(shí)候，以小視場(chǎng)角和小口徑為宜。

對(duì)于BB84協(xié)議，當(dāng)誤碼率小于25%時(shí)，通信對(duì)于簡(jiǎn)單的攔截-重發(fā)攻擊是安全的；誤碼率小于10%時(shí)，通信是絕對(duì)安全的[17]。

表2　誤碼率計(jì)算參數(shù)取值

Note：①Wavelength bandpass;②Solid angle;③Wavelength;④Gate time;⑤Bit peniod;⑥Fov

圖6　保真度隨距離的變化

圖7　誤碼率隨探測(cè)孔徑和視場(chǎng)角的變化

圖8是在接收端半徑5cm，視場(chǎng)角為174mrad條件下模擬所得的誤碼率隨距離變化的曲線，可以看出，對(duì)于陰天夜間這種天氣條件，量子通信的誤碼率在距離為130m處為8.45%，此時(shí)可以進(jìn)行絕對(duì)安全的量子通信；對(duì)于晴朗天氣下僅有星光的天氣，量子通信在60和105m處的誤碼率分別為10%和24.4%，在60m處進(jìn)行通信是絕對(duì)安全的，在105m處進(jìn)行通信可以抵抗簡(jiǎn)單的攔截-重發(fā)攻擊。

圖8　誤碼率隨距離的變化

4結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合海水信道的光學(xué)性質(zhì)以及光子與粒子作用時(shí)的量子效應(yīng)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的蒙特卡洛算法進(jìn)行了必要的修改，通過(guò)修改后的蒙特卡洛算法模擬了偏振光子在海水中的傳輸過(guò)程?？紤]到光子的衰減情況，以清澈海水為例，計(jì)算了光子的衰減情況和偏振態(tài)變化情況，并研究了在幾種不同天氣情況下的誤碼率。對(duì)于本文研究的水下量子信道模型，由于海水的吸收作用，水下量子通信的距離被限制在百米量級(jí)；隨著口徑和視場(chǎng)角的增加，探測(cè)到光子數(shù)的增加并不太明顯，但是在考慮到背景光的影響之后，其對(duì)誤碼率的影響則相當(dāng)嚴(yán)重，因而水下量子通信中，應(yīng)以小口徑和小視場(chǎng)角為宜；在小口徑和小視場(chǎng)角的條件下，信道中粒子散射引起的光子偏振態(tài)變化很微弱，其對(duì)誤碼率幾乎沒有影響；通過(guò)對(duì)誤碼率的分析，當(dāng)背景光較弱時(shí)(如夜間)，在清澈的海水中進(jìn)行量子通信,理論上可以實(shí)現(xiàn)百米量級(jí)的安全通信。

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責(zé)任編輯陳呈超

Simulation and QBER Analysis of Underwater Quantum Communication

ZHAO Shi-Cheng, SHI Peng, LI Wen-Dong, GU Yong-Jian

(College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:Underwater quantum key distribution (QKD) can provide absolute security for underwater communication. In this paper, we study the attenuation and depolarization of photons propagating underwater with Monte Carlo method, based on the Mie scattering theory and the vector Radioactive transport theory and combined with the optical properties of ocean and the quantum properties of photons. Firstly, we set up an ocean channel modeling. The ocean water in our model is considered as the mixture of pure seawater and some kinds of particles meeting a certain particle size distribution, and the effects of ocean on the photons that we mainly consider are absorption and scattering. The absorption will mainly affect the number of detected photons and the scattering will affect both the number and the polarization states of the detected photons. Secondly, we simulate the transmission of photons in the clearest ocean when the attenuation coefficient is 0.03/m. Because bit rate and quantum bit error rate (QBER) are two important parameters in QKD, we then investigate the varying of the number of detected photons, which will directly affect the bit rate, with the distance, aperture and field of view(FOV) of the detector, and we analyze the depolarization of the detected photons, which will directly affect the QBER. Finally, we study the QBER of underwater QKD when background noise is considered. Our simulation results show that, because of the effect of water, the transmission distance is limited at a level of 100 meters, where the number of detected photons will keep around 4.9% of the initial one, which is close to the theoretical result, 5% . When the distance is 60m, the number of detected photons increase by at most about 8% as the aperture of the detector increase from 4cm to 50cm and by at most about 1% as the FOV increase from 174mrad to 522mrad. When the aperture of the detector is 20cm and the FOV is 174mrad, the fidelity of detected photons keeps close to 1, which means that the polarization states of most of the detected photons keep unchanged or change a little. When we consider the effect of background noise on the QBER under the condition that the aperture of the detector, FOV and the irradiance is 5cm, 174mrad and 1×10-6Wm2separately, the QBER is 10% at the distance of 60 meter, which is absolutely secure for any kind of attack, and 24.4% at the distance of 105 meter, which is able to resist intercept and re-send attack. Our conclusion is that when background noise is weak it is theoretically feasible to have absolutely secure underwater QKD up to about 60m in the clearest ocean and secure against simple intercept and re-send attacks up to more than 100m in the same type of ocean water.

Key words:quantum communication; fidelity; Monte Carlo simulation; ocean channel; Quantum Bit Error Rate(QBER)

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140121

中圖法分類號(hào)：O4-39；O43；P733.3+2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-5174(2016)02-131-07

作者簡(jiǎn)介：趙士成(1987-)，男，博士。E-mail：zhaosc1987@126.com??通訊作者： E-mail:guyj@ouc.edu.cn

收稿日期：2014-04-09；

修訂日期：2015-07-12

基金項(xiàng)目：? 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60677044；11005099)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(201313012)資助

引用格式：趙士成， 史鵬， 李文東, 等. 水下量子通信的數(shù)值模擬及誤碼率分析[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2016, 46(2)： 131-137.

Supported by Natural Science Foundation of China(60677044；11005099); The Fundamental Research Funds for the Central Universities(201313012)