基于投影尋蹤聚類模型的水務系統(tǒng)評價
——以鄭州市為例

周振民，管 財，范 秀，李延峰(.華北水利水電大學，鄭州 4500；.新鄉(xiāng)市大功引黃工程管理處，河南 新鄉(xiāng) 453300)

0 引 言

眾所周知，21世紀被稱為“水的世紀”，水危機已成為繼能源危機之后，人類面臨的又一難題，水資源匱乏已成為關系到經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展、世界貧困人口生存乃至世界和平與安全的重大問題。應對水危機、解決水問題，關鍵在于做好水務系統(tǒng)的管理工作，研究水務系統(tǒng)、掌握水務系統(tǒng)發(fā)展現(xiàn)狀以及存在的問題、制定科學合理的發(fā)展戰(zhàn)略，從而實現(xiàn)人、水、經(jīng)濟社會和諧發(fā)展的目的。城市水務系統(tǒng)包括水資源環(huán)境、水源、供水、用水、排水、水處理與回用，以及相關的資源管理和產(chǎn)業(yè)管理，其主要任務是為城市水資源開發(fā)、利用、配置、節(jié)約和保護提供科學的管理和服務[1]。目前，有關水務系統(tǒng)評價的方法主要有主成分分析法、熵值法[2]、層次分析法等，這些方法都存在一些問題，比如主成分分析法要求前幾個主成分的累計貢獻率必須達到一個較高的水平，層次分析法指標選取受人為干擾性大等，而本文采用了投影尋蹤聚類模型分析法，可以克服上述兩個方法的弊端，從而更科學地構建水務系統(tǒng)綜合評價模型指標體系，建立投影尋蹤目標函數(shù)，從而用遺傳算法求得最優(yōu)解，進而得到鄭州市水務系統(tǒng)評價等級為Ⅱ級。

1 投影尋蹤模型理論基礎

1.1 投影尋蹤模型簡介

投影尋蹤方法最早由美國科學家Kruscal 提出并使用，他把一組高維數(shù)據(jù)投影到低維數(shù)據(jù)空間，發(fā)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的聚類結構，進而解決了化石分類問題。Tukey和Friedman教授在1974年發(fā)現(xiàn)了一種把局部的凝聚程度和整體散度結合的新指標，用于聚類模型分析，并首次提出了投影尋蹤的概念，并于1976年編制了計算機圖像系統(tǒng)。

在此之后，投影尋蹤模型計算方法在理論和應用領域取得了長足進展，F(xiàn)riedman等學者于1981年提出了投影尋蹤分類模型、投影尋蹤回歸模型和投影尋蹤密度函數(shù)估計。1985年Huber對前人的成果進行了歸納和總結，發(fā)表了關于投影尋蹤的綜合性論文，并初步建立了投影尋蹤模型在統(tǒng)計學中的獨立運用體系。至此投影尋蹤模型開始在實踐中的大規(guī)模應用。目前投影尋蹤模型主要用于以下3個方面：投影尋蹤回歸模型、投影尋蹤聚類分析和投影尋蹤學習網(wǎng)絡。

投影尋蹤聚類方法主要用于將模型中的高維數(shù)據(jù)投影到低維空間中，即1～3維的可視空間，然后通過數(shù)學計算，優(yōu)化反映數(shù)據(jù)聚類程度的一個指標，得到若干個投影方向，在這多個投影方向中找到最優(yōu)的投影方向。在這個投影方向下，投影到低維空間的點能夠最直接地反映高維空間散點數(shù)據(jù)的特征，這樣我們就可以通過研究低維數(shù)據(jù)結構特征，學習和掌握高維數(shù)據(jù)空間的特征。所以說投影尋蹤模型方法的關鍵就是找到最佳投影方向，這正是該模型研究者們一直研究的重點。本文采用的是一種全局優(yōu)化方法——遺傳算法(Genetic Algorithm ，GA)來計算最佳投影方向，該方法不是把優(yōu)化區(qū)域劃分為若干個小區(qū)域，在小區(qū)域上求最優(yōu)解，而是根據(jù)目標函數(shù)反映在低維空間結構上的特征，在整個優(yōu)化域內(nèi)求最優(yōu)解，所以不會錯失任何最優(yōu)解[3]。

1.2 投影尋蹤模型求解過程

1.2.1評價指標歸一化處理

由于評價指標種類多，而各指標的量綱又存在差別。因此，為了消除各指標的量綱影響，并統(tǒng)一各指標取值的變化區(qū)間，在建立模型之前首先需要將指標分成越大越優(yōu)型和越小越優(yōu)型兩種類型，對指標數(shù)據(jù)進行歸一化處理。歸一化處理的方法不同，對投影尋蹤模型有一定的影響，本文采用常規(guī)的處理方法加以處理[4]。

各指標值用樣本{x*(i,j)|i=1,2,…,n,j=1,2,…m}表示，其中x*(i,j)為第i個樣本第j個指標值，n、m分別為樣本的個數(shù)(樣本容量)和指標的數(shù)目。為消除量綱和指標值的變化范圍對結果的影響，應用下式進行極值歸一化處理：

步驟1：對于越大越優(yōu)的指標

(1)

對于越小越優(yōu)的指標

(2)

式中：xmax(j)、xmin(j)分別為第j個指標值的最大值和最小值；x(i,j)為指標特征值歸一化的序列。

1.2.2線性投影

投影尋蹤中投影的目的是尋求能夠最大限度地反映樣本數(shù)據(jù)結構特征、最能夠充分挖掘樣本數(shù)據(jù)信息的最優(yōu)觀察角度，即最佳投影方向。其實質就是通過投影的方法、把高維數(shù)據(jù)所反映的信息投影到一維空間里，這樣處理的結果非常形象、直觀，也便于使用常規(guī)的數(shù)學方法對高維數(shù)據(jù)進行處理和分析[5]。

1.2.3構造投影指標函數(shù)

構造投影指標函數(shù)F是投影尋蹤計算過程中的關鍵步驟。水務系統(tǒng)評價主要是對樣本進行級別判斷，通常采用分類指標來構造投影指標函數(shù)，即投影特征值在低維空間散布的類間距離與類內(nèi)密度同時達到最大值。

投影尋蹤聚類模型方法就是把p維數(shù)據(jù){x(i,j)|i=1,2,…,p}綜合成以a={a(1),a(2),a(3),…,a(p)}為投影方向的一維投影值z(i)。

(3)

式中：a(j)為投影向量。

根據(jù)投影函數(shù)的特性，要求投影值z(i)的散布特征向量應為：局部投影點盡可能密集，盡可能凝聚成若干個點團，但整體上投影點團之間盡可能散開。因此，投影指標函數(shù)可以表達成

F(a)=SzDz

(4)

式中：Sz為投影值z(i)的標準差；Dz為投影值z(i)的局部密度。即

(6)

式中：E(z)為序列{z(i)|i=1,2,…,n}的平均值；R為局部密度的窗口半徑(密度窗寬)，其值可以根據(jù)試驗來確定；r(i,j)表示樣本之間的距離，r(i,j)=|z(i)-z(j)|；u(t)為一單位階躍函數(shù)，當t≥0時，其值為1，當t<0時，其函數(shù)值為0。

1.2.4優(yōu)化投影指標函數(shù)

對于給定指標的樣本集，投影指標函數(shù)值只隨投影方向的變化而改變。不同的投影方向必然反映出不同的數(shù)據(jù)結構特征，其中，可能最大限度暴露高維數(shù)據(jù)特征結構的投影方向就是最佳的投影方向。相關研究表明，當投影指標函數(shù)F=Fmax(a)取得最大值時，就得到投影指標函數(shù)F(a)的最佳投影方向。即:

最大化目標函數(shù)

maxF(a)=ZzDz

(7)

約束條件

(8)

這是一個以{a(j)|j=1,2,…,p}為優(yōu)化變量的復雜非線性優(yōu)化問題。利用遺傳算法與MATLAB工具箱中的直接搜索工具箱求最優(yōu)解，用MATLAB代碼編寫適應度函數(shù)，在MATLAB中以M文件的形式存儲適應度函數(shù)，方便直接搜索工具箱的調用，在MATLAB中運行所編寫的投影尋蹤模型程序，求得該水務系統(tǒng)評價模型的最優(yōu)解。

1.2.5用遺傳算法求最優(yōu)投影方向

在投影尋蹤模型中，最關鍵的一個環(huán)節(jié)就是尋求該模型的最佳投影方向，本文采用的是基于生物進化理論的全局優(yōu)化方法——遺傳算法。遺傳算法最早由美國Holland教授于20世紀60年代提出，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，Goldberg于80年代對該方法進行了系統(tǒng)的歸納總結，形成了遺傳算法的基本框架，其主要步驟包括：選擇(Selection)、交叉(Crossover)和變異(Mutation)[6]。然后模擬生物界對變異的數(shù)據(jù)進行篩選，找到初次優(yōu)化的變異數(shù)據(jù)，如此進行多代的交叉、變異和重組，找到最優(yōu)解。該方法能夠避免諸多優(yōu)化方法的缺點，使投影目標函數(shù)能夠在可行域內(nèi)實現(xiàn)最優(yōu)，該方法是一種有效確定最佳投影向量的算法。

2 基于投影尋蹤模型理論的鄭州市水務系統(tǒng)評價

2.1 概 述

鄭州市北臨萬里黃河，西靠中岳嵩山，東南接黃淮海大平原，屬北溫帶季風氣候，年平均氣溫14.3 ℃，平均降水量640.9 mm。境內(nèi)大小河流35條，分屬于黃河水系和淮河水系，其中流經(jīng)鄭州段的黃河長150.4 km，，鄭州市土地面積7 446 km2，市區(qū)面積1 010.3 km2，常駐人口866萬人，人均GDP 47 608元/人，建城區(qū)面積343 km2。

經(jīng)過多年的不懈努力，鄭州市水務建設取得了很大的成績，基本滿足了城市供水的需求，尤其是水務一體化改革之后，水務局履行了水務一體化管理職責。水務系統(tǒng)與日常生活息息相關，對于社會各個子系統(tǒng)的正常運轉起到積極的推動作用，水務系統(tǒng)的綜合評價是對于我們現(xiàn)階段水務系統(tǒng)建設的一次系統(tǒng)研究分析，并且對于以后的城市水務系統(tǒng)的發(fā)展方向有一定的指引作用[7]。水務工程是保障城市安全有序發(fā)展的重要基礎設施，城市水務工程體系的建設水平要和當?shù)氐纳鐣?jīng)濟發(fā)展速度相適應，要根據(jù)現(xiàn)狀條件下的工程建設和運行情況，分析城市防洪排澇、供水、節(jié)水、污水收集處理、污水回用、水生態(tài)環(huán)境建設等工作對社會經(jīng)濟發(fā)展的影響。

2.2 研究技術路線

本文采用如下技術路線進行了水務系統(tǒng)評價研究。首先，明確本論文研究的目的，結合研究目標，構建水務系統(tǒng)評價指標體系，然后進行鄭州市水務系統(tǒng)的數(shù)據(jù)收集與處理，進而選擇投影尋蹤聚類模型評價方法進行評價，最后得綜合評價。

圖1 研究技術路線圖Fig.1 The skechmap of research

2.3 投影尋蹤評價模型的建立

統(tǒng)籌考慮水務系統(tǒng)的各個子系統(tǒng)，選取各子系統(tǒng)的代表性指標，進而構建合理的水務系統(tǒng)指標評價體系。構建水務系統(tǒng)評價指標要遵循以下原則：

(1)綜合性。指標選擇時，要從城市的特點及水環(huán)境要素等方面綜合考慮，不要求對城市水務的各個要素進行細致的分析。

(2)代表性和導向性。選取的指標要能反映城市水務系統(tǒng)的綜合質量狀況，即所選指標要能反映城市水體的水質情況、防洪情況、供水情況、再生水水利用情況，以及城市水務系統(tǒng)的變化趨勢等，為城市水務的管理者提供決策的依據(jù)。

(3)可操作性。指標數(shù)據(jù)應容易獲得，并且真實可靠，指標須有一定切實可行的量化方法可以利用，指標體系的指標條目數(shù)量應當適中，過多在評價中難以實施，過于簡化又不能說明問題，更無法得到正確的評價結果。

2.4 評價指標構建

城市水務系統(tǒng)是城市涉水事務的各個子系統(tǒng)的綜合，各個子系統(tǒng)之間既相互聯(lián)系又相互制約。城市水務系統(tǒng)是以工程建設為主的傳統(tǒng)工程水利逐步向以資源優(yōu)化配置和環(huán)境生態(tài)平衡為主要目標的資源水利轉變的結果[8]。從城市水務的系統(tǒng)功能上來說，城市水務系統(tǒng)包括水資源環(huán)境、水源、供水、用水、排水、水處理與回用，以及水務系統(tǒng)管理。其主要任務是為城市水資源開發(fā)、利用、治理、科學配置、節(jié)約和保護提供核心的技術支撐[9]。

結合城市水務的系統(tǒng)特征，從技術的層面劃分為9個子系統(tǒng)，城市防洪系統(tǒng)、城市節(jié)水系統(tǒng)、城市供水系統(tǒng)、城市排水系統(tǒng)、城市中水回用系統(tǒng)、城市污水系統(tǒng)、城市水生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)、水務管理系統(tǒng)及社會環(huán)境系統(tǒng)[10-15]。

運用投影尋蹤模型，對樣本數(shù)據(jù)進行處理，根據(jù)水務系統(tǒng)的評價等級分類，將水務系統(tǒng)評價等級分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4個等級，依次為優(yōu)良、良好、及格和差。

在MATLAB中優(yōu)化該目標函數(shù)，計算得到如下結果，見表2。

2.5 評價結果分析

計算最佳投影方向向量a*=(-0.010 17，0.046 171，0.498 364，0.349 984，0.011 902，0.152 378，0.136 069，0.186 38，0.043 024，0.306 349，0.194 764，0.190 925，0.624 06)，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級的各標準樣本對應的投影特征值Z*j分別為：2.730 198 947，1.698 662 714，0.861 438 824，0。即水務系統(tǒng)評價等級標準樣本的投影特征值向量z=(2.730 198 947，1.698 662 714，0.861 438 824，0)。

將最佳投影方向向量值和各投影方向特征值代入式(3)得到鄭州市水務系統(tǒng)評價模型的投影特征值Z*j=1.819 078。繪制水務系統(tǒng)等級值Z*j與投影特征值之間的關系圖，并根據(jù)曲線圖建立水務系統(tǒng)評價等級判別函數(shù)y=P(z)，即投影尋蹤等級評價模型。

表1 鄭州市水務系統(tǒng)評價指標及單項指標標準Tab.1 The evaluation indexes of water system and single standard index in Zhengzhou

表2 投影尋蹤模型單項指標最佳投影方向分量Tab.2 The single index best projection direction component for projection pursuit model

首先繪制各等級標準樣本對應的投影特征值Z*j與水資源承載能力間的關系圖(圖2)，然后根據(jù)關系圖變化趨勢建立投影尋蹤等級評價函數(shù)y=P(z)。

圖2 投影特征值與水務評價等級擬合圖Fig.2 Relationship between eigenvalue and the evaluation of water systems

從表3可以看出，投影特征值與擬合評價模型等級平均絕對誤差為8.35×10-5，平均相對誤差為6.298 7%。顯然，該模型誤差較小，精確度高，因此該模型可用來評價鄭州市的水務系統(tǒng)現(xiàn)狀。

表3 投影尋蹤模型評價結果誤差分析Tab.3 The error analysis of the projection pursuit grad evaluation model

將鄭州市水務系統(tǒng)評價投影特征值代入擬合等級函數(shù)y=0.042 5x2-1.115 4x+ 3.792 2得到y(tǒng)=1.184 051 1，該值接近評價等級的第Ⅱ級，因此鄭州市的水務系統(tǒng)等級為Ⅱ級。當前水務系統(tǒng)處于良好狀態(tài)。

3 結 語

城市水務系統(tǒng)是一個復雜的大系統(tǒng)，包含一個區(qū)域的所有涉水事務，并在不斷地發(fā)展和完善，因此，對于水務系統(tǒng)的研究仍需不斷的深入。本文在充分考慮鄭州市水務系統(tǒng)影響因素的基礎上，以鄭州市城市防洪系統(tǒng)、城市節(jié)水系統(tǒng)、城市供水系統(tǒng)、城市排水系統(tǒng)、城市再生水利用系統(tǒng)、城市污水系統(tǒng)、城市水生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)、水務管理系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等9個系統(tǒng)為評價基礎，全面系統(tǒng)的分析當前鄭州市水務系統(tǒng)建設運行狀況，取得了如下結論。

(1)采用系統(tǒng)分析模型，將水務系統(tǒng)看做一個完整的、開放的巨系統(tǒng)加以研究。通過研究水務系統(tǒng)的各個子系統(tǒng)，并加以凝練和總結，提出了一個有代表性的評價指標來概括該子系統(tǒng)，加深了對水務系統(tǒng)內(nèi)涵的認識，為科學的分析城市水務系統(tǒng)的組成提供了一定的依據(jù)。

(2)結合鄭州市水務系統(tǒng)的具體情況，篩選了13項具體評價指標，包括城市防洪標準、排澇標準、工業(yè)用水重復利用率、工業(yè)萬元產(chǎn)值取水量、城市人口用水普及率、人均水資源量、排水管網(wǎng)密度、再生水利用率、污水處理率、生態(tài)環(huán)境用水占比、水務一體化管理水平、環(huán)境投資占GDP比重、城市化率。這些指標能夠基本概括鄭州市的水務發(fā)展核心要素。

(3)在建立水務系統(tǒng)評價指標體系的基礎上，首次將投影尋蹤模型應用于水務系統(tǒng)的綜合評價，并運用遺傳算法對目標函數(shù)進行優(yōu)化，最后得到具體的評價結果。結果顯示，目前鄭州市社會環(huán)境系統(tǒng)、城市節(jié)水系統(tǒng)、城市水環(huán)境系統(tǒng)建設方面存在不足，需要作為當前水務系統(tǒng)建設的重點內(nèi)容。本次系統(tǒng)評價為政府相關決策部門提供了一種可參考的依據(jù)，有利于對目前水務系統(tǒng)建設的薄弱環(huán)節(jié)進行改進，進而使鄭州市的水務系統(tǒng)建設得到全面的發(fā)展。

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