懸鏈線形斷面臨界水深的直接計算公式

陳 誠，龔 懿，夏 熙，胡 璟，張守都(. 揚州大學水利與能源動力工程學院，江蘇 揚州 5009；. 江蘇省洪澤湖水利工程管理處，江蘇 洪澤 00；. 中國水利水電科學研究院水利研究所，北京 00048)

懸鏈線形過水斷面的水力性能優(yōu)于梯形和拋物線形等斷面[1]，且具有良好的結構性能，因而在渠道工程中得到較為廣泛的應用。懸鏈線形斷面臨界水深的計算涉及眾多的參數(shù)，其過程較為繁瑣和復雜。由于其臨界水深的無量綱方程為含反雙曲余弦函數(shù)的高次方程，形式十分復雜，難以借助迭代理論推求能夠滿足高精度要求的簡化計算公式。對于梯形[2-4]、圓形[5,6]、城門洞形[7-9]等斷面臨界水深的計算，國內外學者已進行了較多的研究，提出了不少直接計算公式，解決了一定的工程實際問題。目前，關于懸鏈線斷面臨界水深計算的研究還很不充分，直到2010年之前仍未見相關報道，目前也僅有兩套直接計算公式[10,11]。徐軍輝等[10]最先展開了有關懸鏈線斷面臨界水深計算的研究，提出基于不動點迭代理論的直接計算方法，但收斂速度較慢，且僅借助一元二次多項式計算迭代初值，精度無法滿足工程實際的需要。運用優(yōu)化擬合方法，滕凱和王榮[11]給出了一個近似計算公式，其形式較為簡潔，最大相對誤差絕對值為0.515%，精度仍不夠高。馮雪和馬子普[12]利用MATLAB語言編程來計算臨界水深，需要借助計算機編程進行求解，不便于在實際工程中推廣應用。

本文從懸鏈線形斷面臨界水深的無量綱關系式出發(fā)，提出新的擬合函數(shù)模型，對工程適用參數(shù)范圍內的近2 000組數(shù)據(jù)進行逐次優(yōu)化擬合，建立新的臨界水深直接計算公式。該公式精度很高，在工程適用范圍內的最大相對誤差絕對值小于0.10%，平均相對誤差絕對值小于0.021%，且具有簡明直觀、物理概念清晰明確等特點，可供工程設計人員用于高精度臨界水深值的計算。

1 臨界水深基本方程

如圖1所示，懸鏈線形斷面的方程為：

(1)

式中：a為斷面形狀參數(shù)(a>0)，m；e為自然常數(shù)。

圖1 懸鏈線形過水斷面Fig.1 Catenary water transfer cross section

相應于臨界流的過水斷面的水力要素為：

(4)

(5)

式中：hk為臨界水深，m；Ak為相應于臨界水深時的過水斷面面積，m2；Bk為相應于臨界水深時的水面寬度，m；χk為相應于臨界水深時的濕周，m。

根據(jù)水力學中的臨界流理論，臨界流的基本方程[13]為：

(6)

式中：α為流速分布不均勻系數(shù)，通常取1.0～1.1；Q為流量，m3/s；g為重力加速度，一般取9.81 m/s2。

可以推得懸鏈線形斷面臨界水深的基本方程：

(7)

為便于分析和計算，引入無量綱臨界水深x和無量綱參數(shù)k：

(8)

(9)

為方便起見，將式(7)用反雙曲余弦函數(shù)的形式表達。通過簡單的數(shù)學變換，可推得關于懸鏈線形斷面無量綱臨界水深的基本方程：

(10)

令η=B0/a(B0為相應于正常水深時的水面寬度)。實際工程中，斷面形狀參數(shù)a通常不給定，而是根據(jù)具體情況先選定η值，再求出a?？筛鶕?jù)式(11)計算斷面形狀參數(shù)a。

(11)

式中：Q為流量，m3/s；n為糙率系數(shù)；i為渠道底坡。

2 懸鏈線形斷面臨界水深的直接計算公式

實際工程設計中，可以根據(jù)已知條件求得無量綱參數(shù)k，但無法根據(jù)式(10)對無量綱臨界水深x直接進行求解，本文旨在提出一套高精度的近似公式x=g(k) (最大相對誤差絕對值小于0.10%)，由k直接求解x，進而求得臨界水深hk。無量綱臨界水深x的取值范圍取x∈[0.09,11.00][11]，以此作為本文近似公式初選的工程適用范圍。

運用MATLAB 8.5軟件的Curve Fitting Toolbox，以0.01為步長對x∈[0.09,11.00]范圍內的1 092個數(shù)據(jù)點進行曲線擬合，將各類函數(shù)模型的擬合效果進行反復比對，始終難以找到能夠滿足0.10%高精度要求的函數(shù)模型。但發(fā)現(xiàn)通過選取適當?shù)膮?shù)，x=akb+clnk+d的函數(shù)曲線與式(10)的函數(shù)曲線能夠在在大部分區(qū)間范圍內高度吻合，只在x∈[0.09,1]區(qū)間內的擬合精度相對較低，故考慮采用分段函數(shù)的形式，對[0.09,1.1]、[1.1,11.0]兩個區(qū)間內共計近2 000個數(shù)據(jù)點分別進行逐次優(yōu)化擬合，最終得到一套高精度的直接計算公式：

(12)

3 精度分析與評價

3.1 現(xiàn)有的直接計算公式

目前僅有兩套關于懸鏈線形斷面臨界水深的直接計算公式，分別如下所示：

(1)徐軍輝等[10]迭代公式：

μ0=-0.000 3k2+0.184 4k+0.901 8

(13)

(14)

x=μ-1

(15)

(2)滕凱等[11]近似公式：

x=exp(71.048k0.003 6-70.899)

(16)

3.2 公式誤差分析及評價

為驗證式(12)的精確性，將本文公式與目前的兩套計算公式進行精度對比，在工程適用參數(shù)范圍內選取不同的xi(作為無量綱臨界水深的精確值x*)，根據(jù)式(10)算出與之相對應的ki，將ki作為已知條件分別代入本文公式、徐軍輝等[10]公式(迭代4次)和滕凱等[11]公式計算無量綱臨界水深x′，并由式(17)計算相對誤差，計算結果見表1和圖2。

(17)

表1 工程適用范圍內各類計算公式的相對誤差Tab.1 Relative errors of various calculation formulae within practical range

注：“-”表示無法得到計算結果，公式不適用。

圖2 各類計算公式的相對誤差分布圖Fig.2 Relative error diagram of various calculation formulae

從表1和圖2可以看出，徐軍輝等[10]迭代公式僅在x∈[0.989,6.095]時收斂，適用范圍有限，且需通過反復迭代計算以提高精度，計算量較大。本文公式的最大相對誤差絕對值僅為0.099%，小于滕凱等[11]公式的0.515%。分別計算本文公式與滕凱等[11]公式在[0.09,11.00]區(qū)間(以0.01為間隔)內的1 092個數(shù)據(jù)點的相對誤差，取絕對值后求平均值，得本文公式的相對誤差平均值僅為0.021%，小于滕凱等[11]公式的0.303%；對于1 092個點中97%以上的數(shù)據(jù)點，本文公式的相對誤差絕對值小于滕凱等[11]公式。

本文提出的直接計算公式雖采用分段的形式，但在較寬的工程適用范圍內(x∈[1.079 6,12.612 9]，對應k∈[0.753 1,9 360.02])，近似公式x=0.964k0.276 9+0.030 43lnk+0.195 9均能滿足相對誤差絕對值小于0.1%的高精度要求，在形式上也僅比滕凱等[11]公式多了一個計算參數(shù)，計算較為簡便，具有很大的工程實用價值。

4 應用實例

已知某輸水渠道的過水斷面為懸鏈線形，設計流量Q=10 m3/s，流速分布不均勻系數(shù)α=1.0，渠道底坡i=1/1 000，渠床糙率系數(shù)n=0.014，選用η=3.212 23，取重力加速度g=9.81 m/s2。試計算該渠道的臨界水深hk。按如下步驟進行計算：

(1)將已知條件代入式(11)得斷面形狀參數(shù)a=1.171 719 587 m；

(2)由式(9)算得無量綱參數(shù)k=1.153 858 496>0.773；

(3)將k代入式(12)算得無量綱臨界水深x=1.203 222 881；

(4)將x與a代入式(8)得臨界水深hk=1.409 839 817 m。

通過計算機編程可求得本算例臨界水深的精確值為1.409 782 932 m，本文公式計算結果的相對誤差小于0.004 1%，絕對誤差小于0.057 mm，精度完全滿足實際工程的要求。

5 結 論

本文在充分分析臨界水深無量綱方程數(shù)學特性的基礎上，對其工程適用范圍內的近2 000個數(shù)據(jù)點進行逐次優(yōu)化擬合，建立新的擬合函數(shù)模型，提出懸鏈線斷面臨界水深的直接計算公式，在工程適用范圍內的最大相對誤差絕對值及平均相對誤差絕對值分別小于0.10%和0.021%，遠遠小于現(xiàn)有的兩套計算公式。本文公式具有很高的計算精度，且適用范圍廣、計算較為簡便，克服了傳統(tǒng)的試算法和圖表法的不足，以及迭代法計算過程復雜的缺點，完全滿足工程實際的需要，在懸鏈線斷面渠道的工程設計中具有很大的應用價值。

□

致謝：感謝揚州大學水利與能源動力工程學院院長程吉林教授和副院長吉慶豐教授在論文寫作過程中給予的悉心指導和幫助。

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