向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用與實踐

黃佳貝

摘 要：向量為高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程會涉及到的重要知識點，在幾何、代數(shù)、不等式、三角函數(shù)等多領(lǐng)域均有一定的使用價值。而我們作為一名高中學(xué)生，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，還應(yīng)掌握更多向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧，以不斷提高自身數(shù)學(xué)成績。

關(guān)鍵詞：向量；高中數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用

數(shù)學(xué)向量是有大小與方向且遵循平行四邊形法則的量，為我們有效解決數(shù)學(xué)問題的主要工具，可提升我們的數(shù)學(xué)運算能力，讓我們更深入體會數(shù)形結(jié)合思想，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，拉近數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系，便于我們更好的認識數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)魅力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣[1]。進一步了解向量在我們?nèi)粘?shù)學(xué)知識中的應(yīng)用與實踐，可提高我們數(shù)學(xué)習(xí)題解答過程中的解題正確性，還可提高解題速度[2]。以下針對簡要分析向量在立體幾何、解不等式、平面幾何、解函數(shù)問題中的應(yīng)用，以便于進一步我們更加認識與了解向量這一解題工具。

1 向量在立體幾何中的應(yīng)用與實踐

立體幾何為高考必考內(nèi)容，題型較復(fù)雜，難度較高，我們在解答關(guān)于立體幾何的相關(guān)問題時也較吃力，因此選擇怎樣的方式來解題非常重要，可在較短時間找出解題突破口，減少解題所花費的時間，簡化解題過程。在學(xué)習(xí)立體幾何時，我們也應(yīng)學(xué)會將向量應(yīng)用到相關(guān)題型中，以求正確解題。如正方體ABCD-A1B1C1D1，E為棱DD1的中點，棱C1D1上是否存在一點F，讓B1F∥平面A1BE。并證明你的結(jié)論。

那么我們在解題此題時可建構(gòu)坐標系的線面平行問題的向量解法，針對此類探索性問題，在解題時，我們可先求出平面法法向量，后證明法向量與直線方向向量垂直，并先假設(shè)成立，并設(shè)出相應(yīng)點的坐標，通過相關(guān)知識，來列出坐標方程式，若方程式有解，表示該點存在，無解則不存在。因此該題利用向量知識解答即為：

以A點作為坐標原點，建構(gòu)下圖1中的坐標系，并假設(shè)正方形棱長為1，那么B為（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2）?！?=（-2，2，1）， =（-2，0，2），若假設(shè)面BEA1的法向量為m=（x，y，z），那么m· =-2x+2y+z=0，，且m· =2x+2z=0，若取x=1，那么Z=-1，而y= ，∴m=（1， ，-1），若在棱C1D1上存在一點F，讓B1F∥平面A1BE，若假設(shè)F為（x0，2，2）（0≤x0≤2），那么 =（x0-2，2，2），那么m· =1×（x0-2）+ ×2+（-1）×2=0.最終得出結(jié)論 =1，∴F為C1D1中點，B1F∥平面A1BE。

2 向量在平面幾何中的應(yīng)用與實踐

平面幾何也是數(shù)學(xué)課堂上我們需要重點學(xué)習(xí)的知識點，而將向量應(yīng)用于平面幾何中，可讓原本復(fù)雜的題型更加簡單化，并得出最終結(jié)論值[3]。如我們在解答五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為邊AB、CD、BC＼DE中點，而K、H則為MN與PQ中點，證明：KH AE。

此題中因線段偏多，需先明確一些線段為已知向量，而余下的則通過已知向量表示，通過向量共線定理，利用向量運算完成，最終證明方法為：將五邊形頂點A看作起點，而剩余頂點為終點的向量為已知向量，余下的視為未知向量，設(shè)法將需要的向量通過已知向量表達出來（如圖2）。那么即可得出， = = [ （ ）]= （ + + ）。而 = （ + ）= [ （ + ）+ （ + ）]= （ + + ）+ = = + 。因此得出， = - = ，最終也就證明了KH AE。

3 向量在解不等式中的應(yīng)用與實踐

在平時的習(xí)題練習(xí)中，我們會遇到各種不等式問題，也可通過向量法來解決，比如在解答△ABC時，其3個頂點依次為A（0，-4）、B（4，0）、C（-6，2），點E、F、D均為邊AB、AC與BC中點，求直線FD、EF、DE的方程。此題中可通過向量來進一步探析各元素之間的關(guān)系，將要分析的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楣簿€向量與直線向量問題，再求EF與FD所表示的直線方程，那么即可得出，三角形ABC的3個頂點坐標為A（0，-4），B（4，0）、C（-6，2），得出3個中點F、D、E坐標分別為（2，-2）、（-1，1）、（-3，-1），若設(shè)M（x，y）為直線DE上的一點，加之 ，那么x+1=-（y-1），因此DE的方程即為y=-x，也就得出其余直線的方程。

4 向量在解函數(shù)問題中的應(yīng)用與實踐

在每次的數(shù)學(xué)試題模擬練習(xí)中我們不難看出，函數(shù)問題在高考中所占的分數(shù)比重也相當高，那么我們在解此類題時，也可借助向量來進行分析。如求解函數(shù)f（x）= + 的值域。求解時，令 =（1，1）， =（ ， ），由 ≤ · · ，也就得出 [ ， ]，進而得出 ≤ ，因此

總之，向量在我們數(shù)學(xué)習(xí)題解答中的應(yīng)用較廣，它實現(xiàn)了傳統(tǒng)幾何定性推理至代數(shù)運算定量分析的過渡，可化繁為簡，降低運算難度，更利于我們準確的、快速的解答出數(shù)學(xué)習(xí)題，讓我們更輕松掌握高中數(shù)學(xué)知識。因此，在高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中，我們每一位為了高考而共同拼搏的伙伴都應(yīng)學(xué)會利用向量這一解題工具解答數(shù)學(xué)問題，以更好應(yīng)對立體結(jié)合、平面幾何、不等式等多種數(shù)學(xué)高考難題。

參考文獻

[1]龔華梅.高中生“空間向量與立體幾何”學(xué)習(xí)中典型錯誤及歸因研究[D].西南大學(xué)，2011.

[2]陳曉敏.拓展思維，簡潔直觀——例談向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（05）：14-16.

[3]楊國棟.關(guān)于高中向量的相關(guān)知識板塊——提高高考解題思維和能力[J].理科考試研究，2013（09）：20-21.