與一般球面三角形關(guān)聯(lián)的空間體體積

韓隨軍，郝曉輝

（1.遷安市第二中學(xué)，河北 遷安 064400；2.唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

球面幾何的知識與人類的生產(chǎn)、生活密切相關(guān)，航海、航空、衛(wèi)星定位等都離不開球面幾何的有關(guān)知識。對球面幾何的性質(zhì)已有許多研究[1,2]，尤其是球面三角形，如同平面幾何中的平面三角形一樣，因其在球面幾何中的重要性，對球面三角形的研究更為人們所關(guān)注[3,4]。

有些問題并不直接屬于球面幾何的研究范圍，但與球面幾何有密切關(guān)系。這類問題的研究也有其理論價值和實(shí)用價值。本文中將研究與一般球面三角形關(guān)聯(lián)的空間體的體積，這在材料學(xué)形核理論中有重要應(yīng)用。

1 一般球面三角形

任意一個平面與球面有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交，其中相切可看作相交的特殊情形。這三種位置關(guān)系中，最重要的是相交的情形。此時，截面是一個圓，即平面與球面的交線是一個圓。把經(jīng)過球心的平面截球面得到的圓叫大圓，不經(jīng)過球心的平面截球面得到的圓叫小圓。大圓的半徑就是球的半徑，而小圓的半徑則小于球的半徑。我們通常所說的球面三角形是球面上三個大圓的劣弧首尾依次相接構(gòu)成的封閉圖形。而過球體內(nèi)任意一點(diǎn)的任意三個相交平面截球面也可以構(gòu)成封閉圖形，此時稱為一般球面三角形。顯然，通常所說的球面三角形是一種特殊情形。

把一般球面三角形以及構(gòu)成球面三角形的三個相交平面所圍成的空間立體稱為與一般球面三角形關(guān)聯(lián)的空間體。

2 與一般球面三角形關(guān)聯(lián)的空間體體積

構(gòu)成一般球面三角形的三個相交平面的交點(diǎn)可不通過球心，它的位置是任意的，并且三個平面也是任意的，因而與一般球面三角形關(guān)聯(lián)的空間體也是任意的，其體積的計(jì)算比較困難。文中只對一種特殊情形進(jìn)行研究，即三個平面相互垂直且各自截球體所得的球冠的高都相等。此時記球冠的高為h，設(shè)球的半徑為R，考慮0＜h＜R的情形。如圖1所示。此時，與一般球面三角形關(guān)聯(lián)的空間體體積V可由以下積分得到：

為方便計(jì)算，令R-h=k，則

圖1 與一般球面三角形關(guān)聯(lián)的空間體示意圖

類似的分析，在 R≤h＜ 2R的情形下結(jié)論完全一致。

如果構(gòu)成空間體中的三個相互垂直的平面截球體所得球冠的高不全相等，此時體積的計(jì)算更為復(fù)雜，可作進(jìn)一步的研究。