一道有待商榷的競(jìng)賽題

2015年的初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽已落下帷幕，筆者對(duì)各類(lèi)競(jìng)賽題的收集與整理、學(xué)習(xí)與研究饒有興趣，縱觀今年各類(lèi)競(jìng)賽題，試題精彩紛呈，創(chuàng)新不斷，無(wú)不凝結(jié)著命題人的智慧與汗水.在贊嘆與感慨之余，對(duì)2015年全國(guó)初中聯(lián)合試題進(jìn)行再次學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)（初三二試）最后一題尚有商榷之處，下面就這道競(jìng)賽題談幾點(diǎn)自己的思考，望各位同仁不吝指教.

1 題目

（2015年初中聯(lián)合競(jìng)賽試題初三.二試第三題）設(shè)正整數(shù)m，n滿(mǎn)足關(guān)于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一個(gè)正整數(shù)解，證明：2（m2+n2）<5mn.

2幾點(diǎn)思考

思考1——商榷之處

根據(jù)題意m，n是正整數(shù)，如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一個(gè)正整數(shù)解，即當(dāng)x，m，n是正整數(shù)時(shí)，等式（x+m）（x+n）=x+m+n是不能成立的.實(shí)際上，當(dāng)x，m，n是正整數(shù)時(shí)，（x+m）（x+n）>x+m+n.下面對(duì)這一不等式進(jìn)行證明.

證明因?yàn)椋▁+m）（x+n）-（x+m+n）=x2+mx+nx+mn-x-m-n

=（x-1）（x+m+n）+mn，

由于x，m，n是正整數(shù)，所以（x-1）（x+m+n）+mn≥mn>0，

即（x+m）（x+n）-（x+m+n）>0，于是（x+m）（x+n）>x+m+n.

既然（x+m）（x+n）>x+m+n，那么方程（x+m）（x+n）=x+m+n無(wú)解，所以要證明原題的結(jié)論是不可能的.

思考2——試題如何改編

經(jīng)過(guò)上面的分析發(fā)現(xiàn)，方程（x+m）（x+n）=x+m+n無(wú)解是由于x，m，n是正整數(shù)所致，為了盡可能保留試題原貌，把如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一個(gè)正整數(shù)解的“正整數(shù)”，改為“整數(shù)”，對(duì)原試題進(jìn)行改編并分析解答.

思考3——改編后如何解答

改編后試題為，設(shè)正整數(shù)m，n滿(mǎn)足關(guān)于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一個(gè)整數(shù)解，證明：2（m2+n2）<5mn.

分析從題目看是要證明一個(gè)不等式，其方法有分析法，綜合法.結(jié)合題目條件，方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一個(gè)整數(shù)解，必須要使得方程所對(duì)應(yīng)的判別式為完全平方數(shù)，由此為突破口進(jìn)行推理分析，則問(wèn)題迎刃而解.下面對(duì)改編試題進(jìn)行解答.

證明由方程（x+m）（x+n）=x+m+n得，x2+（m+n-1）x+mn-m-n=0，①，其判別式Δ=（m+n-1）2-4（mn-m-n）=（m+n）2-4mn+2（m+n）+1=（m-n）2+2（m+n）+1，

令m≥n，根據(jù)題意方程①至少有一個(gè)正整數(shù)解，所以Δ應(yīng)為完全平方數(shù).

Δ=（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+1）2+4n>（m-n+1）2，

同時(shí)Δ=（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+3）2-（4m-8n+8）.

如果4m-8n+8>0，即m>2n-2，則Δ<（m-n+3）2，

于是（m-n+1）2<Δ<（m-n+3）2，所以只能Δ=（m-n+2）2，

即（m-n）2+2（m+n）+1=（m-n+2）2，整理得m=3n-32，這與m，n是正整數(shù)矛盾.

如果4m-8n+8<0，即m<2n-2，于是可得m<2n，所以mn<2.

又mn>1>12，于是（mn-12）（mn-2）<0，整理得2（m2+n2）<5mn，即證.3結(jié)束語(yǔ)

盡管經(jīng)過(guò)小小的變動(dòng)，才讓這道競(jìng)賽題得以圓滿(mǎn)解決，然而瑕不掩瑜，放眼整道試題，其蘊(yùn)含的方程思想，分類(lèi)討論思想無(wú)不引領(lǐng)著試題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的考查；分析、推理的論證方法更是對(duì)學(xué)生的思維能力提出了較高的要求；綜合運(yùn)用知識(shí)、變形運(yùn)算的技巧也是對(duì)學(xué)生扎實(shí)基本功的考驗(yàn).作者簡(jiǎn)介楊虎，男，甘肅禮縣人，1983年2月生，講師.發(fā)表論文多篇.