構造圖形智解應用問題

石才英

通常我們可以應用算術方法或者代數(shù)方法去解應用問題.然而對于有些實際應用問題，我們還可以通過變換思維，利用構造圖形，采取數(shù)形結(jié)合的方法去巧思妙解.這類素材較少，今補充數(shù)例，供中學師生教與學時參考.

1關于丟番圖的“生平”應用問題

例1希臘數(shù)學家丟番圖（公元3—4世紀）墓碑上的記載：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他壽命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了.求出丟番圖結(jié)婚的年齡、開始當爸爸的年齡、他兒子死時的年齡以及他去世時的年齡.

代數(shù)解法設丟番圖生活的年歲為x，則x=16x+112x+17x+5+12x+4，整理此方程，得984x=9，x=84（歲）.所以，丟番圖活了84歲.

構圖解法畫一個長方形，用構圖法.圖1

因為[6，12，7，2]=84，把這個長方形分成84個格，劃去14格（即16），7格（即112），12格（即17）和42格（一半）后還剩下9格，占整個長方形的984，而9÷984=84.

由此可知，丟番圖活到84歲，21歲結(jié)婚，38歲做父親，80歲時死了兒子.

點評顯然兩種解法中，構圖法別致巧妙，富有風味，耐人細細品鑒.

2關于托爾斯泰的“割草”問題

列夫·托爾斯泰（1828—1910）是俄羅斯文學家，是《戰(zhàn)爭與和平》、《安娜·卡列尼娜》、《復活》等世界文學名著的作者，據(jù)說列夫·托爾斯泰在文學工作之余對數(shù)學也很感興趣，他喜歡這樣一道算術題：

例2割草隊要收割兩塊草地，其中一塊比另一塊大一倍，全隊在大塊草地上收割了半天之后，分為兩半，一半繼續(xù)留在大塊草地上，另一半轉(zhuǎn)移到小塊草地上.留下的人到晚上就把大草地全收割完了，而小塊草地上還剩一小塊未割.第二天，這下剩的一小塊，一個人花了一整天時間才割完.問割草隊中共有幾人？

托爾斯泰是怎樣解這道數(shù)學題的呢？

代數(shù)解法已知大片草地是小片草地的2倍，所以小片草地占兩片草地總和的13.設這組割草者共有x人，則兩片草地由x人割了一天，又由一個人割了一天.若由一個人割這兩片草地，則需（x+1）天，一個人割完小片草地的草需x+13天；另一方面，小片草地由x2人割了半天后還需一人割一天，相當于一個人割了（x4+1）天，因而可得方程x+13=x4+1.解得x=8（人）.所以割草隊共有8人.圖2

構圖解法先觀察圖2：它表示的是整個草地的大小，從圖中很容易分析出割草隊總?cè)藬?shù)為：13+13+13+1316=4316=8人.所以這組割草隊共有8人.

點評此題源自于托爾斯泰的秘書B·布爾卡柯夫的《列夫·托爾斯泰晚年的生活》一書，由上述構圖解法不難看出：構圖解法不僅數(shù)形結(jié)合，直觀明了，而且通俗易懂，簡潔新穎，值得重視.

3關于斯圖姆的“輪船相遇”問題

例31838年瑞士數(shù)學家斯圖姆（C.-F. Sturm，1803～1855）參加國際會議遇到此問題，是來自美國哈佛的朋友向他提出的：每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途中均要航行7天7夜.問某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前的途中能遇上幾艘從紐約開來的輪船？

算術解法設每艘輪船的速度是x海里/晝夜，一艘輪船剛與迎面駛來的輪船相遇時，同下一艘即將相遇的輪船間剛好相差一晝夜的航程，即為x海里.因此，同下一艘輪船相遇的時間應是x÷（x+x）=0.5（晝夜），也就是說一艘輪船可以在一晝夜遇到兩艘迎面駛來的輪船.那么，七晝夜一共可以遇到從對面開來的輪船7×2=14（艘），加上出港時遇到的1艘，一共有15艘輪船從對面開來.

構圖解法 斯圖姆用運行圖巧妙地解決了這一問題，如圖3所示的每條線段分別表示每條船的運行情況，加粗的線表示從哈佛開出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪船相遇的情形.由此可知該輪船能與對面開來的15艘輪船相會.這種運行圖曾一度在運輸問題中大顯神通.圖3

點評算術法顯得簡單，只要一個式子就解決問題了，但對題目意義的理解要求很高，只有充分理解題意，才能列出正確算式，否則很容易出錯.然而應用了構圖解法卻“柳暗花明又一村”.不僅方法匠心獨具，而且內(nèi)涵深邃，由此可啟迪學生發(fā)掘他們智慧的火花，借以點燃學生們頭腦思維的火焰.

4關于“溶液”問題

例4（2014年貴州省安順市中考題）一容器盛滿純酒精63升，第一次倒出若干升后，加水充滿.第二次倒出同樣升數(shù)的酒精溶液，再加水充滿，這時容器內(nèi)的純酒精為28升，求每次倒出酒精的升數(shù).

分析此題為濃度問題，加水充滿表示容器中酒精溶液永遠是63升，酒精溶液中含純酒精的升數(shù)在每次倒出后都要改變.

代數(shù)解法設每次倒出x升，第一次倒出后剩下純酒精（63-x）升，加水充滿后酒精溶液的濃度是63-x63，第二次倒出純酒精63-x63·x升，第二次倒出后剩下純酒精（63-x）-63-x63·x升.依題意得：（63-x）-63-x63·x=28，即（63-x）2=28×63，

（63-x）2=22×32×72，所以63-x=±42，所以x1=21，x2=105>63不合題意，舍去.答：每次倒出酒精21升. 圖4

構圖解法構造邊長為（x+y）的正方形，如圖4所示，易知S1=S3=xy，S2=x2，S4=y2，用正方形面積（x+y）2表示容器的容積，第一次倒出酒精的體積為S1+S2=x（x+y）.接著用水加滿后，S1+S2表示水，此時容器中純酒精與水的比為y∶x，則第二次倒出的純酒精為S3=xy，水為S2=x2，再用水加滿，最終容器里剩下的純酒精為S4=y2=28.所以S1+S2=x（x+y）=（x+y）2-y（x+y）=63-63·28

=63-7×9×7×4=63-42=21，故每次倒出純酒精21升.

點評此題列一元二次方程求解，方法較難，理解困難，運算量也較大.

然而構圖解法卻新穎別致，從解法之中可給學生們帶來心智的啟迪，精神的愉悅.

5關于“年齡”問題

例5我現(xiàn)在的歲數(shù)是我弟弟當年歲數(shù)的2倍，但我當年的歲數(shù)卻與弟弟現(xiàn)在的歲數(shù)一樣，我們兩人現(xiàn)在的年齡之和是63歲.請問，我和弟弟現(xiàn)在各是多少歲？圖5

構圖解法如圖5所示，BE是兩人年齡之差.當年，我的年齡是AE時，他的年齡是CG，很明顯，BE=DG，而BDGE是一個平行四邊形.

由題意可以知道，CG=12AB，所以AF=CG=12AB.由于BE=DG，EF=DG，所以BF=2BE.于是AB=4BE，而CD=3BE，所以AB+CD=7BE，即63=7BE所以BE=9（歲）.因此，我和弟弟的年齡分別是36歲和27歲.

點評本題如用算術法和代數(shù)法求解均不容易，然而巧用構圖法求解卻別有洞天，值得欣賞和重視.

6關于“優(yōu)惠”問題

例6一家庭（父親、母親和孩子們）去某地旅游.甲旅行社說：“如父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)惠.”乙旅行社說：“家庭旅游算集體票，按23的原價優(yōu)惠.”這兩家旅行社的原價是一樣的.試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別計算兩家旅行社的收費，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠.圖6

構圖解法設該家庭有x個小孩，甲、乙兩旅行社的收費總金額為y甲和y乙，全票價為a，那么y甲=a+12（x+1）a（x為正整數(shù)），y乙=23（x+2）a（x為正整數(shù)），故y甲-y乙=a+12a（x+1）-23（x+2）a，所以y甲-y乙=a6（1-x），故當x>1時，y甲y乙，乙旅行社更優(yōu)惠（見圖6）.

點評注意自變量x的實際意義，本題中自變量x表示小孩的個數(shù)，應為自然數(shù)，所以函數(shù)圖像應為離散的點而不是一條直線.這種構圖法與一次函數(shù)相結(jié)合，緊扣教材，符合新課程改革的理念要求.

7關于“等分蛋糕”問題

例7（2014年浙江省溫州市中考題）有一塊三角形的蛋糕要平均分給6個小朋友，要求只切3刀，你有辦法達到要求嗎？試把你的方案畫出來，并加以說明.

分析實際上就是在一個三角形中作三條線段將其分成面積相等的6份.因為三角形的中線可以將原三角形分成面積相等的兩部分，故本題應從三角形中線入手尋找解法.圖7

構圖解法如圖7所示，設△ABC為一塊蛋糕，在△ABC中，AE、BF、CD分別是三邊上的中線，O點為中線CD、AE、BF的交點，則此時，S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.理由如下：因為AD=BD，所以

S△ACD=S△BCD，S△ADO=S△BDO.所以S△AOC=S△BOC，同理，△AOB和△BOC，△AOB和△AOC的面積也相等，又因為S△BEO=S△CEO，S△CFO=S△AFO，所以S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.即只要沿三角形蛋糕的三邊中線切3刀就可達到要求.

點評將實際問題抽象成幾何模型，即要求“在三角形內(nèi)作三條線段，將其分成6個面積相等的部分.”由于“三角形的一條中線將原三角形分成面積相等的兩部分，”所以我們可以從畫三角形的中線入手，充分利用“三角形等底等高必等積”進行分析和說明.

8關于“坐小火車又劃船人數(shù)”問題

例8六年級學生90人去公園夏令營.53人到湖中劃船，82人坐小型火車，有6人既沒劃船，也沒坐火車.問坐小火車又劃船的是多少人？圖8

解析圖8中構造的這兩個圈分別表示劃船，坐火車人數(shù).中間重復的部分表示既劃船又坐火車人數(shù)，53+82=135（人），在這135人中既包括參加坐船或做小火車一項活動人數(shù)，又包括兩項都參加了的人數(shù)且重復算了這部分人數(shù)兩次，而90-6=84（人）是只參加劃船或坐小火車一項以及兩項運動都參加了的人數(shù)的總和.所以，兩項都參加的人數(shù)等于135與84的差.算式：（53+82）-（90-6）=51（人）

答：既坐小火車又劃船的是51人.

點評圖解方法是數(shù)和形的結(jié)合.有些應用題設置情景較為復雜，或者條件不太明顯，于是，我們分析應用題時，利用直觀生動的幾何圖形，使題中的數(shù)量關系顯得具體形象，從而得出解題方法，這就是圖解方法.總之，應用構圖法解實際應用問題，完全符合新課程改革的理念精神，對于啟迪學生思維，拓寬視野，鞏固“雙基”，提高綜合分析問題和解決實際問題的能力大有裨益.