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    高考視角下的數(shù)列通項公式的求法

    2016-03-17 04:31:35朱亞嬌
    考試周刊 2016年11期
    關(guān)鍵詞:差法通項正方形

    朱亞嬌

    數(shù)列的相關(guān)知識和方法是初等數(shù)學和高等數(shù)學銜接緊密的內(nèi)容之一,因而也是高考重點考查的內(nèi)容之一,數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用自然就成為高考考查的重點.但數(shù)列通項公式的求解方法又是在考前復(fù)習中容易膨脹的內(nèi)容,如何準確界定復(fù)習范圍,既能做到考前復(fù)習全面有效,又不突破界限,浪費寶貴的復(fù)習時間,是擺在每一個高三教師和同學面前的問題.本文擬以歷年高考試題為例說明數(shù)列通項公式的基本求法.

    一、歸納猜想法

    通過觀察數(shù)列的前幾項的內(nèi)在規(guī)律,歸納、猜想出數(shù)列的一個通項公式.這種類型的試題一般以選擇題的形式出現(xiàn).

    例1:(2009湖北)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù),他們通過擺出三角形發(fā)現(xiàn)了數(shù)1,3,610,…,這些數(shù)稱為三角形數(shù),由正方形發(fā)現(xiàn)數(shù)列1,4,9,16,…,稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(?搖 ?搖)

    A.289?搖?搖B.1024?搖?搖C.1225?搖?搖D.1378

    解析:解決這個問題的關(guān)鍵是,求出題中給出的兩個數(shù)列的通項公式.首先觀察1,3,6,10,…可得它的通項公式為a■=■,觀察1,4,9,16,…,可得其通項公式為,b■=n■,將1225代入可得1225是數(shù)列{a■}的第44項,1225同時又是數(shù)列{b■}的第35項,故選A.

    二、根據(jù)S■與a■的關(guān)系確定通項公式

    已知數(shù)列{a■}的前n項和S■,通過關(guān)系a■=S■?搖?搖n=1S■-S■?搖?搖n≥2可確定數(shù)列的通項公式.

    例2:已知數(shù)列{a■}的前n項和S■,S■=2a■,且a■=1,則S■=(?搖?搖?搖)

    A.2■?搖?搖B.(■)■?搖?搖C.(■)■?搖?搖D.■

    解析:因為a■=S■-S■代入條件可得S■=2(S■-S■),所以S■=2S■,可知數(shù)列{S■}為等比數(shù)列,由S■=a■=1,得S■=2n-1,所以選A.

    三、待定系數(shù)法(或公式法)

    如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列,則可以直接使用等差、等比數(shù)列的通項公式,利用待定系數(shù)法確定其通項公式.

    例3:(2012湖北)已知等差數(shù)列{a■}的前三項的和為-3,前三項的積為8,求數(shù)列{a■}的通項公式.

    解析:問題已知數(shù)列為等差數(shù)列,故可以利用其通項公式a■=a■+(n-1)d求解.于是a■+a■+a■=-3a■a■a■=8,代入可得a■+d=-1a■(a■+2d=-8,解得a■=-4,d=3,或者a■=2,d=-3,所以其通項公式為:a■=3n-7或者a■=5-3n.

    四、逐差法

    如果能將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為:a■-a■=f(n),且f(n)(n=1,2,3,4,…)能求和,則可以逐差法(累加法)求得數(shù)列的通項公式.

    例4:(2010年新課標)設(shè)數(shù)列{a■}滿足a■=2,a■-a■=3·2■,求數(shù)列{a■}的通項公式.

    解析:因為a■-a■=3·2■,當n=1、2、3、4、…,n時依次得到:a■-a■=3·2,a■-a■=3·2■,a■-a■=3·2■,…,a■-a■=3·2■.以上各式相加可得:

    a■-a■=3·2+3·2■+3·2■+…+3·2■=3■=3·4■-2,所以a■=2·4■.

    五、構(gòu)造法

    對于形如a■=pa■+q(*)型的遞推關(guān)系,可以采用構(gòu)造新數(shù)列的方法求數(shù)列的通項公式,(*)可以構(gòu)造為:a■+t=p(a■+t)(其中t=■),再令b■=a■+t,則{b■}為等比數(shù)列.

    例5:已知數(shù)列{a■}中,已知a■=■,a■=4a■+1(n≥2),求數(shù)列{a■}的通項公式.

    解析:設(shè)a■+t=4(a■+t)(n≥2),可得a■=4a■+3t,與條件式a■=4a■+1比較可得t=■,令b■=a■+■得:■=4,故數(shù)列{b■}為等比數(shù)列,其首項為b■=a■+■=■,所以通項為b■=■·4■,因而a■=■·4■-■.

    通過對以上的例題分析,我們可以初步窺探關(guān)于數(shù)列通項公式的求法的幾種主要求法.在考前復(fù)習中,一定注意不要人為擴大復(fù)習范圍,從而給考前復(fù)習造成困難,浪費寶貴的考前復(fù)習時間.

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