由此及彼 由個(gè)到類
——以“問題解決”的教學(xué)為例張

福建省廈門市湖里第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 張碧玉

由此及彼 由個(gè)到類
——以“問題解決”的教學(xué)為例張

福建省廈門市湖里第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 張碧玉

在數(shù)學(xué)問題教學(xué)的實(shí)踐中，往往需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行由此及彼、由個(gè)到類的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而發(fā)展學(xué)習(xí)者轉(zhuǎn)化與類化的能力。這些能力能發(fā)展學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)習(xí)者因?qū)W數(shù)學(xué)而智慧。

小學(xué)數(shù)學(xué) 問題解決 轉(zhuǎn)化類化

眾所周知，數(shù)學(xué)使人聰明，學(xué)好數(shù)學(xué)能更簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確、快速地解決問題，這種能力亦或稱之為素養(yǎng)的東西如何通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得以培養(yǎng)起來(lái)，值得每一位數(shù)學(xué)教育工作者的深思與踐行。筆者發(fā)現(xiàn)：在數(shù)學(xué)問題教學(xué)的實(shí)踐中，往往需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行由此及彼、由個(gè)到類的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而發(fā)展學(xué)習(xí)者轉(zhuǎn)化與類化的能力。這些能力的培養(yǎng)，反過(guò)來(lái)又能促進(jìn)解決問題的水平與能力的提升，同時(shí)發(fā)展學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)習(xí)者因?qū)W數(shù)學(xué)而智慧。

一、由此及彼，發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

轉(zhuǎn)化是指將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過(guò)演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問題,從而使問題得以順利解決的一種數(shù)學(xué)思想方法。發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，可以讓學(xué)生自主建構(gòu)更完整更系統(tǒng)的知識(shí)體系。因此，在問題解決教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)在轉(zhuǎn)化的素材與時(shí)機(jī)上下功夫，讓學(xué)生在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)運(yùn)用適當(dāng)?shù)乃夭淖龊棉D(zhuǎn)化的文章。

1.活用轉(zhuǎn)化的素材。轉(zhuǎn)化雖無(wú)處不在，但能把素材進(jìn)行巧妙的利用，離不開老師對(duì)教材的深入挖掘和把握。特級(jí)教師俞正強(qiáng)執(zhí)教的《植樹問題》一課就是很好的典范。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，我們往往是直接出示植樹新問題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫線段圖從而得到“棵樹比段數(shù)多1”的辦法。但在俞老師的課堂上，他卻在新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)上，巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化，化新為舊，以舊引新。

課一開始，俞老師在黑板上出示一道題：20米，平均每5米分一段，共分幾段？這是一道典型的平均分問題，學(xué)生們很快解答為：20÷5=4（段）。

緊接著，俞老師出示了第二道題：20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？

生1：應(yīng)該還是用除法，20÷5=4。

師：有不同意見嗎？

生2：我認(rèn)為應(yīng)該是要種5棵樹。

師：為什么？

生2：因?yàn)槊?米一棵樹，而剛開始的時(shí)候就要先種一棵樹，所以是種5棵樹。

師：我們算出來(lái)明明是4棵，他偏偏說(shuō)是5棵，誰(shuí)懂他的意思？

生3：是不是就是從0米開始就要先種一棵？

這時(shí)俞老師利用線段圖畫一畫，引導(dǎo)學(xué)生感受“5棵樹”的由來(lái)。

師：這兩道題有沒不一樣？不一樣在哪里？

生：一個(gè)問分幾段，另一個(gè)問種幾棵。

師：幾段和幾棵有什么不一樣嗎？

生：段是兩個(gè)中間的一個(gè)單位，棵是以個(gè)為單位的。

師：平均分是一段一段分的，但種樹的時(shí)候，是種在段上的還是種在哪里的？

生：段與段之間的點(diǎn)上。

師：對(duì)！種樹是種在點(diǎn)上的，兩者的區(qū)別就在這兒……

數(shù)學(xué)中每一個(gè)新知識(shí)幾乎都是在舊知識(shí)的某一連接點(diǎn)上生長(zhǎng)起來(lái)的，從教學(xué)片段中可以發(fā)現(xiàn)，俞老師巧妙地從除法平均分入手，先解決一道平均分“舊問題”，再試著解決植樹“新問題”，制造出“我們算出來(lái)明明是4棵，他偏偏說(shuō)是5棵，這是怎么回事”的認(rèn)知沖突，再深入分析“這兩道題有沒不一樣？不一樣在哪里”，在尋找植樹問題與平均分問題之間的異同點(diǎn)中，感受新舊知識(shí)的緊密聯(lián)系，也讓學(xué)生對(duì)新生事物自然而然產(chǎn)生親切感。

2.巧用轉(zhuǎn)化的時(shí)機(jī)。教學(xué)實(shí)踐表明：同樣的素材會(huì)因不同的時(shí)機(jī)選擇而產(chǎn)生迥然不同的教學(xué)效果。因此，教學(xué)中老師還要善于把握好轉(zhuǎn)化的時(shí)機(jī)。例如，在執(zhí)教《加法交換律》一課時(shí)，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了加法交換律后，老師問到：加法交換律我們以前見過(guò)嗎？孩子們就想：這不是今天才學(xué)習(xí)的新知識(shí)嗎，我們哪里有見過(guò)呢？老師出示下圖，并故作神秘地說(shuō)：我們不僅見過(guò)，我們還用過(guò)呢。不信呀，你們瞧！

讓學(xué)生情不自禁地感嘆到：原來(lái)我們?cè)缇驼J(rèn)識(shí)這個(gè)新朋友了，數(shù)學(xué)知識(shí)原來(lái)是這樣的緊密聯(lián)系。

這個(gè)轉(zhuǎn)化的素材其實(shí)也可以前置于課的開始，然而，置于課的開始將大大地削弱本課的探究性。而此時(shí)“回馬一槍”將新知與舊知聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生由此及彼，對(duì)于學(xué)生建立系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是很有好處的，并且也讓學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的體驗(yàn)更深刻更真切。

綜上所述，在不斷地由此及彼的轉(zhuǎn)化中，教師通過(guò)對(duì)教材進(jìn)行深入細(xì)致的挖掘和運(yùn)用，把看似無(wú)關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化。學(xué)生一方面會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)不是割裂的知識(shí)碎片，而是充滿聯(lián)系的整體，這對(duì)于他們利用聯(lián)系的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是大有幫助的。同時(shí)培養(yǎng)起他們一種普遍聯(lián)系的哲學(xué)眼光；另一方面，在廣泛的轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累中，學(xué)生自然而然地可以在轉(zhuǎn)化中學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，發(fā)展轉(zhuǎn)化的能力。

二、由個(gè)到類，發(fā)展學(xué)生的類化能力

類化，就是讓學(xué)生通過(guò)解決一個(gè)問題進(jìn)而學(xué)會(huì)解決這一類的問題，從而借助事情的共同特征去認(rèn)識(shí)事物，創(chuàng)造事物。有了類化能力，不僅能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，還能發(fā)展創(chuàng)新思維，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。具體地，在數(shù)學(xué)解決問題中應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生敢于聯(lián)想、善于聯(lián)想以培養(yǎng)學(xué)生的類化能力。

1.引導(dǎo)學(xué)生敢于聯(lián)想。數(shù)學(xué)上的聯(lián)想往往表現(xiàn)為一種想象，誠(chéng)如愛因斯坦所說(shuō)的：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切 ，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉?！痹诮鉀Q問題的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，往往可以突破“一個(gè)題”的羈絆，而將目光與思考鎖定到“一類題”共同特征上。

在俞正強(qiáng)老師執(zhí)教的《植樹問題》中就有這樣一個(gè)引發(fā)學(xué)生聯(lián)想的片段：

師：植樹人把樹植在點(diǎn)上，想想看，還有什么人做什么事也把它做在點(diǎn)上的？

在俞老師循循善誘下，學(xué)生們放飛思維，舉出了很多生活中“種”在“點(diǎn)”上的例子，如：桌上每隔幾分米放一個(gè)水杯，這里水杯是“樹”；建筑工人每隔幾米打地樁，這時(shí)地樁成了“樹”；街上每隔幾米豎一個(gè)路燈，路燈成了“樹”；高速公路每隔幾米設(shè)置一個(gè)服務(wù)區(qū)，服務(wù)區(qū)成了“樹”；每節(jié)課的課間放一首音樂，這音樂也成了“樹”。俞老師甚至讓孩子們思考：美國(guó)每隔五年選總統(tǒng)，總統(tǒng)是不是“樹”？這個(gè)大膽問話，可把孩子們難住了，總統(tǒng)怎么成了樹？可每隔五年的規(guī)律就是平均分，總統(tǒng)居然真的是“樹”。多么大膽的聯(lián)想啊！不僅讓學(xué)生看到了一棵樹，更是看到了一片的“數(shù)學(xué)問題”的樹林。

這樣一種打開學(xué)生視界的教學(xué)，讓學(xué)生逐漸地學(xué)會(huì)由個(gè)到類地思考問題，也讓學(xué)生的思維更開放、更自由、更無(wú)拘束，由此，與其說(shuō)打開的是眼光中的視界，毋寧說(shuō)打開的是學(xué)生思維的天地。

2.引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想。大膽地聯(lián)想是意識(shí)層面的，只有意識(shí)上的“敢于聯(lián)想”顯然是不夠的，在具體的數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)中，教師還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想的方法，從而善于聯(lián)想。只有這樣，有了主動(dòng)聯(lián)想的意識(shí)，再加上有了聯(lián)想的方法，學(xué)生才能真正在問題解決中自覺運(yùn)用聯(lián)想的方法，從而在不斷積累的聯(lián)想的經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)中學(xué)會(huì)由個(gè)到類地?cái)?shù)學(xué)思考。

在《用字母代表數(shù)》一課中，老師設(shè)計(jì)了這樣一道搶答題：

①蝸牛每天爬3米，x天爬（ ）米。

②一朵百合花3元，x朵百合花（ ）元。

③阿姨每天做3面紅旗，x天做（ ）面紅旗。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：答案都是3x

師：3x給我們講述了不同的數(shù)學(xué)故事，它還可以講什么故事呢？你來(lái)試試看。于是，同學(xué)們打開了思維的大門，暢所欲言地講述他們對(duì)3x這道式子在生活中的運(yùn)用。這樣的練習(xí)設(shè)計(jì)，不僅讓孩子們用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，更讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)，現(xiàn)實(shí)生活中的看似許多不同事件，其實(shí)都蘊(yùn)含著相同的數(shù)量關(guān)系或者數(shù)學(xué)意義。

綜上所述，解決問題的教學(xué)不是為了一個(gè)題的教學(xué)，而是為了一類題的領(lǐng)悟。學(xué)生對(duì)一類題的領(lǐng)悟不可能也不應(yīng)當(dāng)建立在完成一類題的訓(xùn)練之后，教師要做的是讓學(xué)生從一個(gè)題中看到一類題，那種就題講題的教學(xué)是讓學(xué)生只見樹木不見森林的教學(xué)，是低效的教學(xué)，更是制約學(xué)生思維能力發(fā)展的教學(xué)。更恰當(dāng)?shù)淖龇☉?yīng)當(dāng)是引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，“舉一隅而以三隅反”，進(jìn)而在不斷的經(jīng)驗(yàn)積累中發(fā)展“由個(gè)到類”的數(shù)學(xué)思考。同時(shí)在廣泛的類化的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累中，在類化中學(xué)會(huì)類化，發(fā)展類化的能力。