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      觀察·嘗試·調整

      2016-03-16 03:15:04郭永麗
      新高考·高一數(shù)學 2016年2期
      關鍵詞:同學會等式例題

      郭永麗

      簡單的三角恒等變換問題一般要表示的角很明確,怎么表示也很直接,如求cos 75。時可將75°化為30°和45°兩個特殊角的和進行求解,課本上也有好多類似的例習題,都體現(xiàn)了一系列三角恒等變換公式的簡單應用,與之相對地,較為復雜的問題使我們面臨著該表示哪個角,如何去表示的困境.下面我將通過兩個例題談談個人的想法.

      觀察 已知題目中出現(xiàn)了三個角,分別是20°,70°,10°.這三個角不是特殊角,但它們之間滿足以下關系:

      基于上述關系我們可以先進行初步的解題嘗試.

      這時我們發(fā)現(xiàn)這樣的變形不能有效地求解,可進行及時的調整,再嘗試.

      上述解題過程告訴我們:觀察角的關系除了常見的互余互補,二倍關系外,兩角的和或差是特殊角這種關系也是不可忽視的,因此,我們分析角與角的關系時應力求全面.認準某一種關系進行嘗試并順利解決問題固然令人高興,可是一旦失敗呢,能全面分析的同學會快速調整去進行不同的嘗試,而分析不全面的同學則很難快速作出調整.

      對已知等式的化簡,大多數(shù)同學會先展開cos(α+β),再將分式化為整式,發(fā)現(xiàn)等式左右次數(shù)不平衡,并且很難再繼續(xù)整理下去,為什么會出現(xiàn)這種情況呢?原因在于同學們最先關注的角的關系是所有的角都是用α,β表示的,很自然選擇了展開cos (α+β).事實上,本題的人手點同上題類似,仍然是全面觀察角的關系.

      觀察 題目中出現(xiàn)了三個角α+β,α,β,這三個角顯然滿足如下關系:

      (α+β)-α=β;(α+β)-β=α.

      有了對角的關系的全面分析,下面我們來判斷表示哪個角呢?

      嘗試 利用關系(α+β)-α=β,嘗試發(fā)現(xiàn)等式左右次數(shù)不平衡,并且很難再繼續(xù)整理下去,需要進行及時調整.

      調整 利用另一關系α-(α+β)-β,發(fā)現(xiàn)等式左右次數(shù)相等,并有同類項可以合并,顯然解題方向確定,

      上述例題提示我們,解題前應先全面觀察、分析角的關系.包括互余、互補、二倍、和為特殊角、差為特殊角、一部分角可表示另一部分角等.到底選擇哪個角被其他角來表示,判斷的標準是是否利于合并,利于約分等,最終達到異角化同角,實現(xiàn)角的統(tǒng)一,從而確定解題方向.

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