關于一個課本探究問題的思考

王少奇

【摘要】新課改的實施，教材比以前更注重對學生學習能力的培養(yǎng)，更有利于對優(yōu)秀思維品質(zhì)的培養(yǎng)，這就要求教師充分利用教材，不僅要重視知識的傳播，更要重視學生思維能力和學習能力的培養(yǎng)，進一步挖掘和利用探究問題，做好前后知識的銜接、結(jié)論的推廣、知識的深化，形成完整的知識體系。

【關鍵詞】類比 思維的廣闊性 思維的深刻性

【基金項目】甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃課題，課題批準號GS[2014]GHB0982。

【中圖分類號】G42 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0033-02

探究性問題可以是某些數(shù)學結(jié)果的推廣和深化，也可以是不同教學內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比，探究的過程和結(jié)論具有開放性。類比是人們認識社會、認識自然的基本思維方式，數(shù)學教學更是如此，通過類比，對一類知識形成完整體系，前后知識融會貫通，達到舉一反三的效果，通過類比，歸納總結(jié)，掌握規(guī)律，推廣結(jié)論，掌握知識點間的內(nèi)在聯(lián)系，深化對知識的理解，提高分析問題、解決問題的能力，增強思維的靈活性、變通性與創(chuàng)造性。

下面我們看圓錐曲線章節(jié)中有關斜率的一個探究性問題：普通高中課程標準實驗教科書，數(shù)學選修2—1（人民教育出版社）第55頁探究問題，如圖2.3—5，點A、B的分別是（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是4/9，求點M的軌跡方程并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與普通高中課程標準實驗教科書，數(shù)學選修2—1（人民教育出版社）第41頁例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：設點M的坐標為（x，y），那么直線AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直線AM、BM的斜率之積是4/9，因此可以建立x、y之間的關系式，得出點M的軌跡方程。

所以點M的軌跡是焦點在x軸上（不含頂點即定點）的雙曲線。

普通高中課程標準實驗教科書，數(shù)學選修2—1第41頁，例3，如，設點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是-4/9，求點M的軌跡方程。

分析：設點M的坐標為（x，y），那么直線AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直線AM、BM的斜率之積是-4/9，因此可以建立x、y之間的關系式，得出點M的軌跡方程。

學生通過類比達成的初步認識：到兩定點的連線的斜率之積為負時點的軌跡為橢圓（除去頂點即兩定點）、到兩定點連線的斜率之積為正時點的軌跡為雙曲線（除去頂點即兩定點），教師再引導：同學們能否再準確的表述曲線的特征（位置、大小）？讓學生將斜率之積更換為其它負數(shù)，多次練習，推出結(jié)果，通過橫向類比推廣、探求規(guī)律。結(jié)論：若點M（x，y）到兩定點A（-m，0）、B（m，0）的連線斜率之積為-p（其中m、n、p均為正數(shù)）則點M的軌跡方程為px2+y2=pm2（x≠±m(xù)），則當01時，曲線為焦點在y軸上，長軸長為2m，短軸長為2m且除去兩點的橢圓，當p=1時，曲線為以線段AB為直徑除去兩定點的圓。再讓學生將斜率之積更換為其它正數(shù)，通過縱向類比，深入挖掘、探求變化規(guī)律，推導當斜率之積為正時的結(jié)論：若點M（x，y）到兩定點A（-m，0）、B（m，0）的連線斜率之積為p（其中m、n、p均為正）則方程為px2-y2=pm2（x≠±m(xù)），不論p的值與1的大小如何，曲線總是雙曲線，且焦點總在x軸上，實軸長為2m，虛軸長為2m，但值影響著雙曲線的開口大小，特殊情況p=1時為等軸雙曲線。

通過這樣的練習學生對圓及圓錐曲線中的橢圓與雙曲線的問題就可以通過統(tǒng)一的方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）去認識、去研究，當A、B、C同號且A=B時，則為圓，若A、B異號則為雙曲線，A、B、C同號且A與B不相等則為橢圓。在求曲線方程時，最為理想的就是能夠根據(jù)已知條件先定性再定量，即先確定為哪一類特殊的曲線，再按待定系數(shù)法去求常數(shù)，當然上面例子為求曲線方程的題目，必然要按常規(guī)步驟去做，因無足以說明曲線特征的明確條件，但如果探索清楚這類題目，則在選擇題及填空題中能夠節(jié)約時間，提高效率及準確度。

反思總結(jié)：教學本身是一個教與學的雙邊活動，教師、學生和教材構成教學的三個基本要素。首先教師要充分利用好教材，主要知識點按類別加以整理、歸納，使知識系統(tǒng)化、概括化，更好地理清關系，加強記憶，精心設計教學內(nèi)容，對教學內(nèi)容進行必要的調(diào)整、增補，必要時采用模型、掛圖、多媒體等教學手段，豐富課堂教學內(nèi)容，極大地激發(fā)學生的學習興趣。其次教師要注意自身建設，教師必須不斷提高自身的學術素養(yǎng)，要給學生一碗水，自己要有一桶水，教師的一桶水哪里來，是平時的點滴積累，對科學知識所蘊含的規(guī)律、蘊含的能力的深層次理解，解決問題時問題的方方面面都要想到，把解決問題的幾個方案列出來，選擇其中的最佳方案，簡化解題過程，提高解題效率，培養(yǎng)學生穩(wěn)定、綜合的數(shù)學素質(zhì)。第三關注學生的收獲與發(fā)現(xiàn)，注重學生的良好發(fā)展，在學習過程中學習者發(fā)現(xiàn)的東西才是最重要的和富有個人特色的知識，只有親自參與新知識的發(fā)現(xiàn)，感同身受，才能鍛煉學生的思維，發(fā)展學生的能力，從經(jīng)驗中把握問題，培養(yǎng)學生思維的開放性，解決問題的自覺性與主動性。另外要發(fā)揮情感的增益效應，情感是人對客觀現(xiàn)實的態(tài)度的體驗，人是具有情感，對周圍事物的認識會受到心境的影響，保持良好的心情顯得尤其重要。教師在教學過程中要以飽滿的激情和熱情感染學生，讓學生處于愉悅、興趣飽滿、精神振奮的狀態(tài)中，使他們獲得各種積極情感和高尚情操的陶冶，形成良好的好學、樂學的人格特征，培養(yǎng)起學生對該學科的熱愛之情，教育要把握眼前機會，使學生在現(xiàn)實中磨煉提高。

總之在科學技術迅猛發(fā)展的信息時代，新知識劇增，必須善于學習，不斷地進行學習。一要使學生認識到自己是學習過程中的主人，鼓勵學生在學習中由此及彼，從一個問題衍生開來，提出嶄新的問題，引導學生為自己的觀點，積極找證據(jù)，既要敢于去想、去堅持，同時也要善于接納他人正確的觀點，在合作中、討論中獲得最大的收益。二要正確處理教學與學生思維的“同步”關系，從學生認知的“最近發(fā)展區(qū)”開始，因勢誘導，會達到事半功倍的效果。三要注意引導學生縱橫思索、發(fā)散聯(lián)想、推廣引申，通過橫向類比推廣、探求規(guī)律，培養(yǎng)學生思維的廣闊性，通過縱向類比，深入挖掘、探求變化規(guī)律，培養(yǎng)思維的深刻性，從而成為真正意義上的創(chuàng)新性人才。