矩陣正交對角化與相似對角化的討論

劉愛蘭

摘 要： 如果實矩陣正交相似于對角陣，必然相似于對角陣.反之，如果矩陣相似于對角陣，卻不一定正交相似于對角陣.通過施密特正交化的方法，得到正交陣的列向量，不能保證仍舊是矩陣的特征向量，從而矩陣相似于對角陣不一定正交相似于對角陣.

關(guān)鍵詞： 正交陣 相似 對角化

一、引言

定理3[2]實矩陣A，如果A的特征值是實數(shù)，則A正交對角化的充要條件是A為正規(guī)矩陣.

如果矩陣A為復(fù)矩陣，則稱矩陣A可酉相似對角化.對于復(fù)矩陣，有以下結(jié)論.

定理4[3]復(fù)矩陣可酉相似對角化的充要條件是矩陣為正規(guī)矩陣.

三、結(jié)論

可對角化的矩陣有個線性無關(guān)的特征向量.這些特征向量的線性組合中，當(dāng)且僅當(dāng)它們對應(yīng)于矩陣的同一個特征值時，其線性組合能保持是矩陣的特征向量.當(dāng)矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量滿足彼此正交時，則由施密特正交化后的向量仍舊是矩陣的特征向量.滿足這一性質(zhì)的矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個正規(guī)矩陣.從而相似對角化不一定正交對角化.

通過討論，澄清了相似對角化與正交對角化的關(guān)系，并且對于可相似對角化的矩陣，分析得出了它可以可正交對角化的條件.

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