離散正交變換理論實(shí)例教學(xué)法的探索與實(shí)踐

王建衛(wèi)

（東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040）

離散正交變換理論實(shí)例教學(xué)法的探索與實(shí)踐

王建衛(wèi)

（東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040）

為了生動(dòng)地講解枯燥的正交變換公式，探討了離散正交變換理論實(shí)例教學(xué)的重要性和具體實(shí)施方法.在教學(xué)環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了2個(gè)典型的離散哈爾變換教學(xué)實(shí)例.在啟發(fā)學(xué)生繪制一維哈爾變換的快速算法流程圖基礎(chǔ)上，完成二維哈爾變換的計(jì)算問題，能夠讓學(xué)生理解離散正交變換計(jì)算的關(guān)鍵所在，有助于幫助學(xué)生深入地理解正交變換理論.實(shí)踐證明，離散正交變換理論的實(shí)例教學(xué)效果良好.

正交變換；離散哈爾變換；實(shí)例教學(xué)

目前大學(xué)所開設(shè)的主要數(shù)學(xué)課程包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算方法、復(fù)變函數(shù)與積分變換和離散數(shù)學(xué)等課程[1]，矩陣變換作為一個(gè)較為獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容，在多門課程里都有不同程度的涉及.通常電子與信息類專業(yè)是以信號(hào)與信息處理作為主要的研究方向[2]，信號(hào)的各種變換是以矩陣變換為基礎(chǔ)的，因此，變換理論成為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容是必然的.離散正交變換是矩陣變換的一種特殊形式，具有變換類型多，變換公式復(fù)雜，計(jì)算難度較大的特點(diǎn)，因此進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)方法探索是必要的[3].

典型的課堂教學(xué)方法有討論式教學(xué)法[4]、問題式教學(xué)法[5]和實(shí)例教學(xué)法[6]等.討論式教學(xué)法的核心是啟發(fā)學(xué)生就特定問題發(fā)表自己的見解，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和創(chuàng)新精神，適用于大學(xué)低年級(jí)的理論知識(shí)較淺的課程和高年級(jí)的應(yīng)用類專業(yè)課程.問題式教學(xué)法的核心是以問題為導(dǎo)向充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，適用于具有一定知識(shí)基礎(chǔ)的大學(xué)高年級(jí)的學(xué)生和設(shè)計(jì)類課程的課堂教學(xué).實(shí)例教學(xué)法的核心是在教師指導(dǎo)下，根據(jù)課程教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容的需要，通過典型實(shí)例的分析和講解完成教學(xué)，這一教學(xué)方法在許多學(xué)科的教學(xué)工作中取得了良好的效果，適用于大學(xué)較低年級(jí)的學(xué)生和理論性較強(qiáng)課程的課堂教學(xué).

離散正交變換理論公式枯燥，難以理解，在授課過程中發(fā)現(xiàn)存在學(xué)生理解不夠深刻，應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)的問題.因此，本文以哈爾變換為例設(shè)計(jì)了2個(gè)典型的離散正交變換實(shí)例，對(duì)離散正交變換理論的實(shí)例法課堂教學(xué)進(jìn)行了有益的探索與實(shí)踐.

1 離散正交變換理論教學(xué)內(nèi)容分析

在電子信息類專業(yè)高年級(jí)的專業(yè)課授課中發(fā)現(xiàn)，離散正交變換理論是大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)不容忽略的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.在課堂講授過程中，必須進(jìn)行特征向量變換、哈爾變換、沃爾什變換、哈達(dá)瑪變換、斜變換和余弦變換等幾種經(jīng)典的離散正交變換理論公式的推導(dǎo)[7-8].在傳統(tǒng)的以講授理論為主的變換理論課堂教學(xué)中，由于變換理論教學(xué)內(nèi)容的枯燥性，學(xué)生在聽講過程中會(huì)出現(xiàn)注意力不夠集中、聽不懂的情況，導(dǎo)致缺乏學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)效果不佳.

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以采用實(shí)例教學(xué)法進(jìn)行授課.按照由淺入深、循序漸進(jìn)的原則將離散正交變換理論的教學(xué)內(nèi)容劃分為離散正交變換的定義、變換矩陣及其性質(zhì)、快速算法和實(shí)例分析等4個(gè)基本點(diǎn).

在授課過程中通過引導(dǎo)學(xué)生分析正交變換的定義，得出了“正交矩陣是正交變換定義的核心”的結(jié)論，調(diào)動(dòng)了學(xué)生獨(dú)立思考新問題的積極性，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

2 實(shí)例教學(xué)法在離散哈爾變換計(jì)算中的應(yīng)用

在實(shí)例教學(xué)法的教學(xué)過程中，教師應(yīng)精心選擇把抽象理論轉(zhuǎn)化到具體問題的實(shí)例，實(shí)例的選擇是否恰當(dāng)將直接影響到教學(xué)效果[9].好的實(shí)例應(yīng)滿足一般性、擴(kuò)展性和啟發(fā)性的要求，離散正交變換教學(xué)過程中選擇實(shí)例的3個(gè)原則是：第一，選擇的變換類型要符合一維和二維離散正交變換的一般定義；第二，二維正交變換計(jì)算過程可分解為2次一維正交變換的計(jì)算，因此快速計(jì)算流程實(shí)例以一維正交變換為主，并可擴(kuò)展得到二維正交變換計(jì)算的規(guī)律；第三，總結(jié)二維離散正交變換的計(jì)算過程，通過數(shù)據(jù)的重排和編程實(shí)現(xiàn)啟發(fā)學(xué)生思維，開拓計(jì)算思路，使實(shí)例具有普適性.根據(jù)這3個(gè)原則，離散正交變換理論的教學(xué)過程可分為教師講授正交矩陣，師生共同給出正交變換的定義，學(xué)生繪制快速算法流程圖并由教師規(guī)范作圖和指出離散哈爾變換的應(yīng)用背景等4個(gè)遞進(jìn)的環(huán)節(jié).

以哈爾變換為例，介紹實(shí)例教學(xué)法在離散正交變換理論教學(xué)中的應(yīng)用.

第1個(gè)環(huán)節(jié)是由教師講授哈爾矩陣的形式.連續(xù)哈爾函數(shù)的數(shù)學(xué)解析式經(jīng)過離散化后可得到哈爾矩陣，在講解過程中，教師應(yīng)注意對(duì)連續(xù)函數(shù)離散化的實(shí)質(zhì)進(jìn)行分析.

連續(xù)哈爾函數(shù)的定義（歸一化）為

離散矩陣H(r)是由連續(xù)函數(shù)計(jì)算得到的，在講解時(shí)注意（N為連續(xù)哈爾函數(shù)圖形的取樣次數(shù)），其中：r為包含0階的總階數(shù).

第2個(gè)環(huán)節(jié)是由教師給出哈爾變換的形式.在給出哈爾變換形式的教學(xué)過程中，教師應(yīng)分析一維哈爾變換、二維哈爾變換以及正、逆變換公式的區(qū)別.

對(duì)于N維向量XN，一維哈爾正變換的計(jì)算公式為

一維哈爾逆變換的計(jì)算公式為

在課堂教學(xué)中，通過分析矩陣數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，參考一維變換的形式，部分學(xué)生能夠較為準(zhǔn)確地書寫二維變換公式.

對(duì)于NN階矩陣X，二維哈爾正變換的計(jì)算公式為

二維哈爾逆變換的計(jì)算公式為

分析式（4）～（7），師生共同總結(jié)出正變換矩陣不轉(zhuǎn)置，二維變換是2次一維運(yùn)算的規(guī)律，這有助于學(xué)生在有限的課堂時(shí)間內(nèi)更穩(wěn)固地記憶公式，提高了課堂學(xué)習(xí)效率，節(jié)省了課余的復(fù)習(xí)時(shí)間.

第3個(gè)環(huán)節(jié)是面對(duì)簡(jiǎn)單而內(nèi)涵豐富的變換公式給出課前教師設(shè)計(jì)的實(shí)例，選擇計(jì)算公式，引導(dǎo)學(xué)生自己畫出快速算法流程圖，由教師總結(jié)規(guī)律并規(guī)范作圖.

例1 設(shè)計(jì)一維哈爾變換的快速算法流程圖.

例1是典型的快速算法流程圖的繪制問題，應(yīng)從3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)分析和講解.第1個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是由連續(xù)的哈爾函數(shù)確定矩陣H(2)；第2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是將變換的計(jì)算公式表示為代數(shù)表達(dá)式；第3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是化簡(jiǎn)代數(shù)表達(dá)式.

由式（4）可知，當(dāng)N4時(shí)，一階哈爾正變換的計(jì)算公式為

由式（9）～（12），按照由左至右、由上至下的原則教師板書繪制快速算法流程圖（見圖1）.

圖1 一維哈爾正變換的快速算法流程圖

參考一維哈爾正變換快速流程圖，課堂上學(xué)生基本上能根據(jù)式（5）繪制出逆變換的快速算法流程圖（見圖2）.

圖2 一維哈爾逆變換的快速算法流程圖

通過引導(dǎo)學(xué)生繪制一維哈爾變換的快速算法流程圖，使哈爾變換的代數(shù)表達(dá)式成為簡(jiǎn)單的計(jì)算流程，基本要點(diǎn)是保存中間結(jié)果，避免重復(fù)運(yùn)算，有助于幫助學(xué)生深入理解快速算法的實(shí)質(zhì)，也激發(fā)了學(xué)生自己歸納其他變換類型相關(guān)問題的濃厚興趣.考慮到課堂時(shí)間的有限性，把哈達(dá)瑪變換的快速算法流程圖作為作業(yè)，學(xué)生完成效果良好，這說明實(shí)例教學(xué)法在一定程度上能夠激發(fā)學(xué)生的自學(xué)能力.

第4個(gè)環(huán)節(jié)是指出離散哈爾變換的應(yīng)用背景.根據(jù)圖像處理理論，矩陣中元素的排列位置是圖像信號(hào)特征的表示形式之一，引導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用離散哈爾變換找到這些特征，通過計(jì)算找到矩陣的具體特征形式，最后給出課前設(shè)計(jì)并通過MATLAB代碼實(shí)現(xiàn)的計(jì)算[10-11].

例2是典型的二維計(jì)算問題，應(yīng)從4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)分析和講解.

第1個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是將x分解為4個(gè)4×4的子矩陣.由于8階的哈爾矩陣形式復(fù)雜，0數(shù)據(jù)可看作圖像數(shù)據(jù)的邊界，易出現(xiàn)書寫和編程的錯(cuò)誤，因此將x分解為4個(gè)4×4的子矩陣.用公式（6）計(jì)算是簡(jiǎn)單易行的方法，在課堂上讓學(xué)生自主選擇8×8或者4×4的哈爾矩陣完成計(jì)算，發(fā)現(xiàn)選擇4×4形式的學(xué)生占多數(shù)，并且容易出現(xiàn)多種計(jì)算結(jié)果.

第2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是通過編寫MATLAB代碼驗(yàn)證學(xué)生計(jì)算的正確性.此時(shí)應(yīng)將矩陣按照從左至右、自上而下分為4個(gè)4×4的子矩陣.

數(shù)值計(jì)算的MATLAB代碼：

第4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是有效數(shù)字的選取.當(dāng)符號(hào)計(jì)算的結(jié)果取5位有效數(shù)字時(shí)，與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果相同.

通過分析和編程計(jì)算，使枯燥的二維哈爾變換計(jì)算躍然于屏幕上，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.建議學(xué)生通過修改例2的代碼實(shí)現(xiàn)沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換等計(jì)算問題，在一定程度上也提高了學(xué)生通過編程完成計(jì)算的實(shí)際能力，取得了較好的教學(xué)效果.

3 結(jié)論

本文在分析討論式教學(xué)法、問題式教學(xué)法和實(shí)例教學(xué)法基礎(chǔ)上，選擇實(shí)例教學(xué)法對(duì)離散正交變換理論教學(xué)過程的重要環(huán)節(jié)進(jìn)行了歸納和總結(jié)，以哈爾變換為例詳細(xì)敘述了授課中所做的講解和分析.實(shí)踐表明，實(shí)例教學(xué)法是一種有效、可行的課堂教學(xué)方法，可以幫助學(xué)生快速精準(zhǔn)地記憶變換公式，讓學(xué)生理解離散正交變換計(jì)算的關(guān)鍵所在，激發(fā)了學(xué)生自己歸納不同科目的數(shù)學(xué)理論，使之成為一個(gè)知識(shí)體系的濃厚興趣，也為學(xué)生在高年級(jí)學(xué)習(xí)專業(yè)課程打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維.

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Exploration and practice of the example teaching method of the discrete orthogonal transformation theory

WANG Jian-wei
（College of Mechanical and Electrical Engineering，Northeast Forest University，Harbin 150040，China）

In order to vividly explain the boring orthogonal transformation formulas，discusses the importance and concrete implementation methods of the example teaching about the discrete orthogonal transformation theory.The two typical teaching examples of discrete Haar transformation are designed in the teaching process.On the basis of inspiring the students to draw the flow chart of fast algorithm of the one-dimensional Haar transformation，the students respectively complete the calculation of the two-dimensional Haar transformation.It can make the students understand the key to the discrete orthogonal transform computation，helps the students understand the theory of the orthogonal transformation deeply.The practice has proved that the good teaching effects are obtained by the teaching method.

orthogonal transformation；discrete Haar transformation；example teaching

O151.21∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.12.021

2016-09-22

王建衛(wèi)（1973-），女，山東龍口人，副教授，博士，從事模式識(shí)別與智能系統(tǒng)研究.E-mail：jwwang2007@163.com

1007-9831（2016）12-0078-05