淺析數(shù)學(xué)最值問(wèn)題

馬小蕓

最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考熱點(diǎn)問(wèn)題.它主要考查學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用，在生活實(shí)際中常要考慮在一定條件下怎樣使成本最低，消耗最少，收益最大，方案最優(yōu)，行走路徑最短，周長(zhǎng)面積最小等問(wèn)題.這類生活問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)或線段的最小值或最大值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)這類問(wèn)題的解決可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.下面就初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最值問(wèn)題一些常用方法做舉例介紹.

一、利用軸對(duì)稱性求最值

例1：如圖，A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求AP+BP的最小值.

求某些幾何圖形中的線段的和的最小值時(shí)，可采用軸對(duì)稱變換的方法將其中一條線段變換，進(jìn)而把兩條線段合并成一條線段從而求出最值.

解析：可利用兩點(diǎn)之間線段最短求AP+BP的最小值.因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，作點(diǎn)A關(guān)于直徑MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交MN于P點(diǎn)，連接OB、OC，由∠BOC=90°得BC=，故AP+BP的最小值

例2：如圖，已知直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l：x=-1，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）點(diǎn)P在直線l上，求出使△PAC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)M在此拋物線上，點(diǎn)N在y軸上，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：如圖本題第（2）問(wèn)中的求使△PAC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)與例1相同就是連接點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱的B與點(diǎn)C，BC與直線L的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.此題仍然利用的是拋物線的軸對(duì)稱性.

二、利用垂線段最短求最值

在一些幾何問(wèn)題中要求線段、周長(zhǎng)、面積最小值時(shí)，可通過(guò)把相關(guān)線段特殊化，化為垂線段，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)從而得解.

例3：如圖AB是⊙O的弦，AB=8，⊙O的半徑為5，點(diǎn)M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段OM的最值.

解析：當(dāng)線段OM垂直于AB時(shí)利用垂線段最短可得OM最小值等于弦心距3，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦可得OM的最大值等于半徑5.

例4：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合.

（1）證明：不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?

解析：本題第（2）問(wèn)可由△ABE ≌△ACF可得

此題（2）中可直接利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是其最大值；但在第（3）中由于方案A中x=35不在20

總之，無(wú)論是代數(shù)問(wèn)題還是幾何問(wèn)題都存在最值問(wèn)題.此類問(wèn)題涉及知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解法靈活多樣，而且具有一定的難度和技巧性.所以解決問(wèn)題應(yīng)以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，找準(zhǔn)問(wèn)題的切入點(diǎn)，建立合適的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，尋找解決問(wèn)題的捷徑，才能使問(wèn)題由難轉(zhuǎn)化為易，由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，使問(wèn)題得到順利解決.