陀螺儀滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性分析

何聰，張耀強(qiáng)，徐紅玉,

(河南科技大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院；b.土木工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

近年來(lái)，隨著航天技術(shù)的飛速發(fā)展，陀螺儀轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速越來(lái)越高(高達(dá)數(shù)萬(wàn)轉(zhuǎn))，且要求盡可能減輕系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)重量。這種高轉(zhuǎn)速、輕質(zhì)量的結(jié)構(gòu)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的性能得以提高，但容易造成系統(tǒng)失穩(wěn)。滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是常規(guī)機(jī)械式陀螺儀的關(guān)鍵部件，其精度、靈敏度、壽命和可靠性等決定了陀螺儀系統(tǒng)的整體性能。由于滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)比滑動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)更為復(fù)雜，包含諸如變?nèi)岫?、間隙和Hertz 接觸應(yīng)力等強(qiáng)非線性因素，使得目前關(guān)于滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究成果極為有限[1]。大多數(shù)文獻(xiàn)是針對(duì)普通結(jié)構(gòu)的滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[2]研究了滾動(dòng)軸承支承下的不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了通往混沌的倍周期分叉、擬周期環(huán)面破裂和陣發(fā)性分叉途徑。文獻(xiàn)[3-4]研究了滾動(dòng)軸承支承的平衡轉(zhuǎn)子和不平衡轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并給出了滾動(dòng)軸承徑向間隙對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[5]研究了不同間隙的滾動(dòng)軸承平衡轉(zhuǎn)子的分岔和混沌等特性。文獻(xiàn)[6]分析了滾動(dòng)軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力響應(yīng)特性。文獻(xiàn)[7]研究了滾動(dòng)軸承非線性軸承力及其對(duì)軸承系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

文中研究的陀螺儀滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用整體內(nèi)圈式軸承單元結(jié)構(gòu)。與其他形式的滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最大不同是省去了內(nèi)圈,內(nèi)溝道直接加工在轉(zhuǎn)子軸上，減少了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的零件數(shù)，降低了軸承裝配誤差和轉(zhuǎn)子軸定位誤差，增強(qiáng)了軸承系統(tǒng)的剛度。依據(jù)Hertz彈性接觸理論和滾動(dòng)軸承運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立了考慮非線性軸承力的陀螺儀滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并用數(shù)值方法進(jìn)行求解，研究了陀螺儀滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力特性。同時(shí)，計(jì)算了系統(tǒng)在不同參數(shù)下的最大Lyapunov指數(shù)，以進(jìn)一步驗(yàn)證分析結(jié)果。

1 動(dòng)力學(xué)分析模型

滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型如圖1所示。圖中Oe為外圈圓心；O為轉(zhuǎn)子中心；Q為滾動(dòng)軸承總恢復(fù)力；θj為第j個(gè)鋼球的角位置。根據(jù)其整體內(nèi)圈式軸承單元的結(jié)構(gòu)形式，假設(shè)外圈與機(jī)架剛性連接，鋼球等距離分布在內(nèi)外溝道之間，且以相等速度沿溝道作純滾動(dòng)[8]。

系統(tǒng)的非線性激勵(lì)來(lái)自非線性軸承力、變?nèi)岫鹊纫蛩?，?dāng)轉(zhuǎn)子軸回轉(zhuǎn)時(shí)，軸上施加的力僅由承載區(qū)的鋼球承受，如圖2所示。鋼球進(jìn)入承載區(qū)時(shí)，在徑向力Qr作用下產(chǎn)生彈性變形，當(dāng)鋼球離開(kāi)承載區(qū)進(jìn)入非承載區(qū)時(shí)，彈性變形恢復(fù)(Q為彈性恢復(fù)力)。在回轉(zhuǎn)的過(guò)程中，鋼球依次進(jìn)入承載區(qū)，承載區(qū)鋼球數(shù)目周期性變化，不同狀態(tài)下軸承徑向柔度是不同的，在計(jì)算的過(guò)程中應(yīng)時(shí)刻考慮柔度的周期性變化。

圖2 變?nèi)岫燃?lì)

依據(jù)Hertz彈性接觸理論，軸承總恢復(fù)力Q為[9]

(1)

j=1,2,…,Z，

式中：Kw為鋼球與溝道載荷變形系數(shù)；Z為鋼球數(shù)目；x,y為轉(zhuǎn)子軸心在x,y方向的位移；Gr為軸承徑向游隙；ωcage為保持架角速度。下標(biāo)“+”表示只計(jì)入(1)式括號(hào)內(nèi)取正數(shù)時(shí)的數(shù)值，否則取0。

2 滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)Lagrange方程，該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(2)

式中：m為軸承及其附件的總質(zhì)量，kg；c為阻尼系數(shù)，N·s/m；Qr為作用在轉(zhuǎn)子上的徑向力，N；n為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，r/min；e為轉(zhuǎn)子的偏心量(取e=0)。

3 系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

由于系統(tǒng)受到非線性軸承力、游隙、變剛度等因素的影響，采用自適應(yīng)Runge-Kutta法求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，基于Wolf法計(jì)算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)λ，其是描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)混沌的重要參數(shù)[10]。通過(guò)分岔圖、Poincaré映射圖和FFT頻譜圖等方法研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性隨參數(shù)變化的規(guī)律。詳細(xì)求解過(guò)程如圖3所示。

以某陀螺儀軸承為例，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主要參數(shù)為：m=0.073 3 kg，Kw=3.78×109N/m1.5，Qr=10 N。軸承參數(shù)見(jiàn)表1，表中Ri，Re為內(nèi)、外圈溝道半徑；Dw為鋼球直徑；BN為與軸承尺寸有關(guān)的系數(shù)。

圖3 求解過(guò)程流程圖

表1 滾動(dòng)軸承參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響

當(dāng)轉(zhuǎn)速n=1 000 ～30 000 r/min時(shí)，x方向轉(zhuǎn)子位移-轉(zhuǎn)速的分岔圖及其局部放大圖分別如圖4和圖5所示，其反映轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的整體分岔情況。

圖4 x方向位移-轉(zhuǎn)速分岔圖

圖5 局部放大分岔圖

由圖可以看出，在該轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)存在多種周期運(yùn)動(dòng)以及擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌、分岔現(xiàn)象。當(dāng)n<7 200 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈周期運(yùn)動(dòng)；在轉(zhuǎn)速由10 000 r/min逐漸降到7 500 r/min的過(guò)程中，系統(tǒng)由1周期經(jīng)歷倍周期分岔后進(jìn)入混沌；當(dāng)26 700 r/min≤n≤27 000 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈擬周期運(yùn)動(dòng)。

為進(jìn)一步分析在不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)臨界轉(zhuǎn)速處(n=7 500，17 080，17 100，26800 r/min)的Poincaré圖、頻譜圖、相圖和軸心軌跡進(jìn)行研究，結(jié)果如圖6～圖9所示。

圖6 n=7 500 r/min的Poincaré圖、頻譜圖、相圖和軸心軌跡

由圖6可知，當(dāng)n=7 500 r/min時(shí)，系統(tǒng)的Poincaré圖中在一定的區(qū)域內(nèi)分布著無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，頻譜圖為連續(xù)的寬頻譜，相圖和軸心軌跡表現(xiàn)為一種類隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。由此可知，當(dāng)n=7 500 r/min時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌響應(yīng)。

圖7 n=17 080 r/min的Poincaré圖、頻譜圖、相圖和軸心軌跡

由圖7可知，當(dāng)n=17 080 r/min時(shí)，Poincaré圖中可以看到16個(gè)離散的點(diǎn)，系統(tǒng)為16周期振動(dòng)，系統(tǒng)的相圖為封閉曲線，頻譜圖為一離散的譜線，且其對(duì)應(yīng)的頻率可共約。

由圖8可知，當(dāng)n=17 100 r/min時(shí)，Poincaré圖中有8個(gè)離散點(diǎn)，系統(tǒng)為8周期振動(dòng)，并且其頻譜圖、相圖和軸心軌跡均表明此時(shí)系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)；轉(zhuǎn)速在17 080 ～17 500 r/min的范圍內(nèi)發(fā)生了倍周期分岔。

圖8 n=17 100 r/min的Poincaré圖、頻譜圖、相圖和軸心軌跡

圖9 n=26 800 r/min的Poincaré圖、頻譜圖、相圖和軸心軌跡

由圖9可知， Poincaré圖中的封閉曲線、頻譜圖中不可相約的頻率分量以及相圖中環(huán)面不重復(fù)的運(yùn)動(dòng)軌線均表明系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)。

由此可知，隨著轉(zhuǎn)速的不斷增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生了多種類型的響應(yīng)形式，如周期、擬周期、分岔和混沌，并且存在倍周期分岔。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)為周期響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行較平穩(wěn)。對(duì)于高轉(zhuǎn)速的陀螺儀轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速處于22 800 ～25 200 r/min范圍時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)。因此要選擇合理的工作轉(zhuǎn)速，使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速避開(kāi)混沌響應(yīng)區(qū)域，降低系統(tǒng)運(yùn)行的不穩(wěn)定性。

最大Lyapunov指數(shù)λ隨轉(zhuǎn)速的變化情況見(jiàn)表2。從表中可以看出，當(dāng)n=7 500 r/min時(shí)，λ為0.231 4，大于零，系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)n=17 080 r/min和17 100 r/min時(shí)，λ分別為-0.023 7和-0.037 7，小于零，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)n=26 800 r/min時(shí)，λ為0.000 45，接近于零，系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)。因此，與Poincaré圖、頻譜圖、相圖和軸心軌跡所得結(jié)論一致。

表2 不同轉(zhuǎn)速下最大Lyapunov指數(shù)

3.2 不同阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響

當(dāng)轉(zhuǎn)速為17 500 r/min時(shí)，x方向位移隨阻尼變化分岔圖及其局部放大圖分別如圖10和圖11所示。由圖可知，隨著阻尼的逐漸增大，系統(tǒng)的響應(yīng)形式由混沌運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，然后經(jīng)歷了4周期和2周期，最終響應(yīng)穩(wěn)定到1周期，可以明顯看出系統(tǒng)出現(xiàn)了倍周期分岔。

圖10 x方向位移-阻尼分岔圖

圖11 局部放大分叉圖

阻尼系數(shù)c為80 N·s/m和120 N·s/m時(shí)系統(tǒng)的Poincaré圖和頻譜圖分別如圖12和圖13所示。由圖可知，當(dāng)阻尼系數(shù)c=80 N·s/m時(shí)，系統(tǒng)的Poincaré圖中有4個(gè)離散點(diǎn)，系統(tǒng)為4周期振動(dòng)，頻譜圖為離散的譜線，且其譜線所對(duì)應(yīng)的頻率可共約；當(dāng)阻尼系數(shù)c=120 N·s/m時(shí)，系統(tǒng)處于2倍周期運(yùn)動(dòng)，在此過(guò)程中系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔現(xiàn)象。

圖12 c=80 N·s/m時(shí)Poincaré圖和頻譜圖

圖13 c=120 N·s/m時(shí)Poincaré圖和頻譜圖

當(dāng)阻尼系數(shù)c為200 N·s/m時(shí)，系統(tǒng)的Poincaré圖如圖14所示。由圖可知，當(dāng)阻尼系數(shù)大于200 N·s/m時(shí)，響應(yīng)穩(wěn)定在1周期振動(dòng)。因此，在滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，并非阻尼系數(shù)越小系統(tǒng)越穩(wěn)定，足夠大的阻尼系數(shù)反而能夠抑制系統(tǒng)的非線性振動(dòng)。

圖14 c=200 N·s/m時(shí)Poincaré圖

最大Lyapunov指數(shù)λ隨阻尼系數(shù)變化的情況見(jiàn)表3。當(dāng)阻尼系數(shù)為50 N·s/m時(shí)，λ為0.387 2，大于零，表明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)阻尼系數(shù)為8 050 N·s/m和120 N·s/m時(shí)，λ分別為-0.047 2和-1.028 9，小于零，表明系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此，與Poincaré圖和頻譜圖所得結(jié)論一致。

表3 不同阻尼系數(shù)時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)

4 結(jié)束語(yǔ)

建立了考慮非線性軸承力的陀螺儀滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用Runge-Kutta算法求解在不同參數(shù)條件下系統(tǒng)的分岔圖、Poincaré映射圖、頻譜圖、相圖和軸心軌跡，分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)周期、擬周期和混沌響應(yīng)的參數(shù)范圍，依據(jù)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證了系統(tǒng)的非線性特性。結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工作參數(shù)的變化，系統(tǒng)的響應(yīng)中表現(xiàn)出豐富的周期振動(dòng)和擬周期、混沌等的非周期振動(dòng)，并且存在倍周期分岔的現(xiàn)象。選擇合理的參數(shù)(轉(zhuǎn)速、阻尼)可有效提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。研究結(jié)果可為該類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和故障診斷提供參考依據(jù)。