朗蘭茲綱領(lǐng)：一項(xiàng)偉大的數(shù)學(xué)工程

在1967年給數(shù)學(xué)家安德烈·韋伊的信中，數(shù)學(xué)家朗蘭茲提出一個(gè)著名的猜想，現(xiàn)稱為朗蘭茲互反猜想。這個(gè)猜想后演變成朗蘭茲綱領(lǐng)，在過去幾十年對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極大的影響。

背景介紹

我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)基本上都是從整數(shù)開始的，然后是簡(jiǎn)單的幾何與多項(xiàng)式方程。一個(gè)最古老的數(shù)學(xué)分支—數(shù)論，就是研究整數(shù)的。整數(shù)中間有無窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引著最富智慧的數(shù)學(xué)家和業(yè)余愛好者。著名的問題包括哥德巴赫猜想，孿生素?cái)?shù)猜想，費(fèi)馬大定理等。

幾何同樣是最古老的數(shù)學(xué)分支。古希臘人對(duì)直線、圓周以及圓錐曲線的研究到后來發(fā)展成為代數(shù)幾何，這個(gè)分支專門研究多項(xiàng)式方程對(duì)應(yīng)的圖形。過去一百多年來，代數(shù)幾何的發(fā)展非常迅速，大家輩出，在數(shù)學(xué)其他分支和數(shù)學(xué)物理中都有很深刻的應(yīng)用。已獲菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家中約三分之一的工作與代數(shù)幾何有關(guān)。

群論的產(chǎn)生只有一百多年，源于多項(xiàng)式方程的求根公式。人們很早就會(huì)解一元一次方程和一元二次方程，一元三次方程和四次方程的公式解在十六世紀(jì)被找到。一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支—群論在探索方程的根式解的過程中誕生了。方程是否有根式解與相應(yīng)的群是否可解為一回事。群論的誕生改變了數(shù)學(xué)的面貌，影響幾乎遍及整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在物理和化學(xué)及材料科學(xué)中有很多的應(yīng)用，是研究對(duì)稱的基本工具。

朗蘭茲綱領(lǐng)指出這三個(gè)相對(duì)獨(dú)立發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支：數(shù)論、代數(shù)幾何和群表示論，實(shí)際上是密切相關(guān)的，而連接這些數(shù)學(xué)分支的紐帶是一些特別的函數(shù)，被稱為L(zhǎng)-函數(shù)。L-函數(shù)可以說是朗蘭茲綱領(lǐng)的中心研究對(duì)象。數(shù)學(xué)界著名的七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)問題”中有兩個(gè)就是關(guān)于L-函數(shù)的，它們分別是黎曼假設(shè)和BSD猜想。它們的重要性由此可見一斑。

朗蘭茲提出了怎樣對(duì)一般的簡(jiǎn)約群的自守表示定義一些L-函數(shù)，并猜測(cè)一般線性群自守表示的一些L-函數(shù)跟來自數(shù)論的伽羅華群表示的一些L-函數(shù)是一樣的。這個(gè)猜想被朗蘭茲本人和其他數(shù)學(xué)家進(jìn)一步拓展、細(xì)化，逐漸形成了一系列揭示數(shù)論、代數(shù)幾何、表示論等學(xué)科之間深刻聯(lián)系的猜想。朗蘭茲綱領(lǐng)就是對(duì)這些猜想和相關(guān)問題的研究。

朗蘭茲綱領(lǐng)研究在中科院數(shù)學(xué)院

自朗蘭茲互反猜想提出起，朗蘭茲綱領(lǐng)就引起了眾多數(shù)學(xué)家的興趣。目前，幾乎所有頂尖的歐美大學(xué)數(shù)學(xué)系都有人研究朗蘭茲綱領(lǐng)。

上世紀(jì)末，朗蘭茲綱領(lǐng)及相關(guān)課題的研究在中科院數(shù)學(xué)院逐步發(fā)展起來?，F(xiàn)在，中科院數(shù)學(xué)院已經(jīng)擁有一支研究朗蘭茲綱領(lǐng)的年富力強(qiáng)的團(tuán)隊(duì)， 并取得了一系列重大成果（其中前兩項(xiàng)與國(guó)外數(shù)學(xué)家合作完成），最突出的有以下幾項(xiàng)：

1.證明了Theta對(duì)應(yīng)的三個(gè)最基本的論斷。羅杰·豪爾開創(chuàng)的Theta對(duì)應(yīng)理論有三個(gè)最基本的論斷，分別稱為豪爾對(duì)偶猜想、重?cái)?shù)保守猜想和庫(kù)德拉-拉利斯守恒律猜想。

2.完成了重?cái)?shù)—猜想的證明，并證明了一系列與此相關(guān)的重要唯一性定理。

3.對(duì)亞辛群系統(tǒng)研究了跡公式，特別地，建立了亞辛群的跡公式橢圓部分的穩(wěn)定化。

4.證明了卡日丹和馬祖爾在上世紀(jì)70年代提出的一個(gè)局部zeta積分非零的假設(shè)。

團(tuán)隊(duì)介紹：

十幾年前，數(shù)學(xué)院陸續(xù)引進(jìn)了一批在朗蘭茲綱領(lǐng)研究領(lǐng)域工作的杰出青年人才，如畢業(yè)于哥倫比亞大學(xué)的田野、加州理工學(xué)院的王崧、香港科技大學(xué)的孫斌勇、法國(guó)巴黎七大的李文威、巴黎十三大的田一超、巴黎十一大的鄭維喆、胡永泉、申旭等。以這些青年科研人員為主，數(shù)學(xué)院組建了“算術(shù)代數(shù)幾何杰出研究組”，目前這個(gè)團(tuán)隊(duì)是國(guó)際上同領(lǐng)域最強(qiáng)的青年研究組之一。近年來，團(tuán)隊(duì)已取得了一批重要成果，多篇論文發(fā)表在數(shù)學(xué)國(guó)際頂尖期刊《PNAS》《Ann of Math》《Invent Math》《JAMS》等。