一道高考題的多種解法

寧夏中衛(wèi)市第一中學(xué) 劉 亮

一道高考題的多種解法

寧夏中衛(wèi)市第一中學(xué) 劉 亮

高考題注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查，在一道題中往往涉及多種數(shù)學(xué)思想方法，而這些數(shù)學(xué)思想方法對提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，開發(fā)學(xué)生的智力具有極大的促進(jìn)作用，對選拔出合格優(yōu)秀的學(xué)生具有重要的參考價值.因此，無論老師還是學(xué)生，都應(yīng)關(guān)注高考題，特別是能夠體現(xiàn)多種思維的高考題.本文就以2016年新課標(biāo)全國2理科數(shù)學(xué)選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程為例，探討該題的多種解法及思想.

新課標(biāo) 坐標(biāo)系 參數(shù) 斜率

【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25．

（Ⅰ）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；

解：（Ⅰ）將圓C的方程（x+6）2+y2=25轉(zhuǎn)化為x2+y2+12x+11=0，由x=ρcosθ，y= ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得C的極坐標(biāo)方程為ρ2+ 12ρcosθ+11=0.

在（I）中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R）.設(shè) A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosα+ 11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα，ρ1ρ2=11，由極徑的幾何意義可得，由得解得由sin2α+cos2α=1解得由解得，所以l的斜率為或-

評注：本解法利用第一問的極坐標(biāo)系，根據(jù)直線l的參數(shù)方程是為參數(shù)）的特點，將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)系的幾何關(guān)系和極徑ρ的幾何意義去解。體現(xiàn)了利用直角坐標(biāo)系解決數(shù)學(xué)問題的思想.

方法二：由直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），得直線l過（0，0）且傾斜角為，設(shè)直線l的方程為y=kx，其中k=tanα，由圓C的方程為（x+6）2+y2=25，得圓心C（-6，0），半徑r=5，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則d=由可得解得所以l的斜率為或-

評注：本解法將問題放到直角坐標(biāo)系中解決，根據(jù)直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）的特點，將其轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程y=kx，主要利用直線與圓相交用垂徑定理求解。體現(xiàn)了利用直角坐標(biāo)系解決數(shù)學(xué)問題的思想.

評注：本解法將問題放到直角坐標(biāo)系中解決，主要利用解析幾何中的弦長公式求解。體現(xiàn)了解方程的數(shù)學(xué)思想.

方法四：設(shè)A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為 t1，t2，將直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入（x+6）2+y2=25中整理得，t2+12t cosα+11=0，則t1+t2=-12cosα，t1t2= 11，由所以l的斜率為或

評注：本解法將問題與參數(shù)方程聯(lián)系，主要利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

通過上述解法我們不難發(fā)現(xiàn)，高考題涉及諸多思想方法，學(xué)生應(yīng)該把題目多讀幾遍，弄清這個題目求什么，已知什么，求、知之間有什么關(guān)系，把題目搞清楚了再動手答題.可以根據(jù)自己的知識進(jìn)行有效地選擇解題方法.高考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分.這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”——踩上知識點就得分，踩得多就多得分.與之對應(yīng)的“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分.

對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個大問題.因此，會做的題目要特別注意表達(dá)的準(zhǔn)確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學(xué)，防止被“分段扣分”.作為老師，在日常教學(xué)工作中，能夠根據(jù)學(xué)生已有的知識水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，準(zhǔn)確把握所教內(nèi)容與學(xué)生已學(xué)知識的聯(lián)系，能正確把握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)應(yīng)用與創(chuàng)新意識.