積累經(jīng)驗·豐富理解·關注選擇
——一元二次方程的解法選擇探析

□浙江省杭州市景芳中學 吳潔慧

積累經(jīng)驗·豐富理解·關注選擇
——一元二次方程的解法選擇探析

□浙江省杭州市景芳中學 吳潔慧

一、問題的發(fā)現(xiàn)和提出

一元二次方程的解法及其應用是中考必考內容。例如2014年杭州中考第22題：菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，，BD=4，動點P在線段BD上從點B向點D運動，PP′⊥AB于點P′，四邊形PFBG關于BD對稱。四邊形QEDH與四邊形PFBG關于AC對稱，設菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S1，未蓋住部分的面積為S2,BP=x. （1）用含x代數(shù)式分別表示S1S2; （2）若S1=S2,求x.

中考考查的內容更傾向于一元二次方程的計算，也就是作為求解工具融合在綜合性題目中進行考查。因此，教師和學生往往會更加注重對解一元二次方程的操練，但是這種機械的訓練往往會忽略了學生對于解法選擇的理解。因此，除了整體的教學思路和對知識本身的溯源，我們還應關注學生對一元二次方程的解答原理的理解情況。

在求解不同的一元二次方程時，學生是否能夠根據(jù)不同情況選擇使用比較合適的解法進行解答？學生在用配方法或者公式法求解一元二次方程時，是否能理解相應解法的原理？在遇到可多種方法求解的問題時，學生更傾向哪種方法？

在浙教版八年級下教材的第二章一元二次方程的解法教學結束后，對于求解這道題“2x2+3x+1=0”，筆者統(tǒng)計了一下自己所教兩個班級81名學生中此題的方法選擇和各方法的正確率。其中選擇配方法的有32人約占39.5%，公式法的有23人約占28.4%，十字相乘因式分解法的有21人約占25.93%，其他5人，三種解法的正確率分別是50%、74%、86%。

在期中考前復習該章節(jié)內容時，復習卷中有這樣一題：“解下列方程：2x2+5x+2=0”。筆者帶著困惑統(tǒng)計了一個年級386個學生，其中選擇配方法的有78人約占20.2%，公式法有188人約占48.7%，因式分解的87人約占22.5%，其他33人。三種解法的正確率分別是55.13%、81.9%、94.3%。

最后的期中考后一個練習中，安排了“x2-7x+10=0”。一個年級386個同學，其中選擇配方法的有102人約占26.4%，公式法有138人約占35.8%，因式分解的114人約占29.5%，其他32人，三種解法的正確率分別是54.9%、78.5%、92.1%。

為何配方法錯誤率很高？又為何明明配方法錯誤率高學生還樂此不疲？筆者隨機采訪了一些學生，得到了匪夷所思的答案：“因為配方法復雜，太難！”教師們想當然地覺得因式分解的十字相乘法非常好用，盡管課標沒有要求，教材也沒有要求，但是幾乎所有老師都補充教學了，結果卻令人費解。到底是什么原因？我們教師又應該如何處理這樣的情況？

二、問題的原因分析

1.學生對一元二次方程解法的理解的采訪記錄。關于為什么教師認為的因式分解法快捷正確率高，而不少學生卻會選用正確率不高的復雜的配方法，筆者隨機采訪了一些學生，得到了這樣的答案：

師：你為什么選擇配方法？

生1：因為配方法復雜，太難！

生2：因為老師說配方法很重要！

師：你為什么不選因式分解法？

生3：因為十字相乘老師說課標不要求！就沒認真聽。

生4：因為十字相乘法不懂。

生5：因為因式分解法不是所有方程都可以用，但是配方法可以。

師：那為什么不用公式法，公式法也是所有方程都可以用?。?/p>

生5：公式?jīng)]記住，沒背出來。

越是復雜的方法由于學生花費理解的精力更多，反而記憶更加深刻，再一次說明了數(shù)學活動經(jīng)驗積累的重要性。而絕大多數(shù)學生對于求根公式的理解就只限于“工具性理解”。

2.一元二次方程配方法錯誤原因分析：（1）常數(shù)項移向變號出錯；（2）添的常數(shù)項出錯；（3）方程左邊因式分解錯誤；（4）轉化成一元一次方程后計算錯誤。

3.學生對一元二次方程解法的理解加深需要時間。不同于學習過程，理解不是簡單化、線性化或者鏈條式地累積，而是非線性螺旋式地上升發(fā)展出來的。因此，隨著時間的推移，學生解方程的次數(shù)的增加，即活動經(jīng)驗的積累，必然會從“工具性理解”向“關系性理解”轉化發(fā)展。而這個過程的進度即發(fā)展速度部分是可根據(jù)教師的引導而有所不同。

三、問題的教學對策

1.重視一元二次方程解法選擇專題訓練。

在解一元二次方程時，我們應當仔細觀察方程的形式特點和系數(shù)特點，選取較合適的方法來解一元二次方程，這樣有利于減少計算量，從而提高計算的正確性：

（1）沒有一次項的，形如ax2+c＝0，可以使用直接開平方法。

（2）沒有常數(shù)項的，形如ax2+bx＝0,可以使用因式分解中的提取公因式法。

（3）三項都有，且二次項系數(shù)為1時，首先考慮利用十字相乘法因式分解，若不能進行因式分解，可以考慮配方法。

（4）三項都有，且二次項系數(shù)不為1的，一般可以用公式法。

通過探究性學習，使學生經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程；通過變式訓練，達到知識方法本質的認識；通過總結，引導學生主動構建知識網(wǎng)絡，實現(xiàn)“關系性理解”。

2.重視還原一元二次方程的歷史。通過做PPT、數(shù)學小報，豐富對于一元二次方程概念的理解和變量、等式之間的關系，來加強過程性教學。如開展拓展性學習“幾何法求解一元二次方程”，介紹歷史上一些一元二次方程的幾何解法：歐幾里得解法，阿拉伯數(shù)學家阿爾·花拉子米的解法，三國時期趙爽的解法，也可以借此培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想。

3.重視求解過程中數(shù)學思想的滲透和提煉。著名數(shù)學家莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解的題轉化為已經(jīng)解過的題。”數(shù)學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。轉化，是一種重要的數(shù)學思想方法，解一元二次方程的基本思路就是運用了“轉化”的思想，即把待解決的問題（一元二次方程），轉化轉化為已解決的問題（一元一次方程）。直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法中都滲透了這一思想。

有些一元二次方程問題，可根據(jù)其特點，采用整體處理的方法，不僅可避免復雜的計算，而且還達到了解決問題的目的。例如：解方程（x+3）2=15+15x，將（x+3）看作一個整體，移項后提取公因式得到（x+3）（x+3-5）=0，這就是整體的思想方法，利用整體思想可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。

我們在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論。分類討論是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在初中數(shù)學學習中占有重要的位置，教師務必要加以重視。分類討論一般分為以下三步。第一步，根據(jù)題目需要確定分類的標準；第二步，根據(jù)分類的標準進行求解；第三步，對分類討論結果進行合并，綜合得出結論。例如：解方程（x+3）2=（9-2x）2，平方后相同若底數(shù)相同，則有x+3=9-2x，若底數(shù)相反，則有x+3=-9+2x，綜合可得：x1=2，x2=12。再比如，公式法的使用，先要進行分類，當判別式△=b2-4ac大于等于0時才可以使用公式法求解，這本身就是分類討論思想的體現(xiàn)。

數(shù)學思想是數(shù)學解題的精髓，是學習數(shù)學的方向盤。解題時恰當?shù)剡\用數(shù)學思想可使思路開闊，方法簡便快捷，同時又為今后學習可化為一元二次方程的其他多元高次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)等知識打下基礎。因此，我們一定要重視教學過程中數(shù)學思想的滲透，并且在進行教學的過程中要善于引導學生不斷地進行總結和積累。

4.重視求解過程中數(shù)學能力的培養(yǎng)和提高。在中學數(shù)學教學過程中，不僅要傳授數(shù)學知識，使學生具備數(shù)學基礎知識的素養(yǎng)，還要重視對學生的數(shù)學能力的培養(yǎng)。

數(shù)學能力是人們在從事數(shù)學活動時所必需的各種能力的綜合，而其中數(shù)學思維能力是數(shù)學能力的核心。我們知道，人類的活動離不開思維。錢學森教授曾指出：“教育工作的最終機智在于人腦的思維過程。”思維活動的研究，是教學研究的基礎，數(shù)學教學與思維的關系十分密切，數(shù)學教學就是指數(shù)學思維活動的教學，數(shù)學教學實質上就是學生在教師指導下，通過數(shù)學思維活動，學習數(shù)學家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學思維，使學生的數(shù)學思維結構向數(shù)學家的思維結構轉化的過程。因此，在數(shù)學教學中要重視發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

在教學過程中，課堂內我們要學生先行、交流其中、教師斷后，而課后我們必須及時積累經(jīng)驗、豐富理解、關注選擇，只有這樣，才能做到真正理解數(shù)學、理解學生、理解教學。