PID控制器采用雙線性變換法離散存在的問(wèn)題分析

趙冬玉　王利偉　趙偉東

【摘 要】本文給出了PID控制器傳遞函數(shù)的參數(shù)及被控對(duì)象的函數(shù)，然后采用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字PID控制器，并針對(duì)被控對(duì)象分析雙線性變換法離散化后的控制效果，發(fā)現(xiàn)雙線性變換設(shè)計(jì)法不適宜于數(shù)字PID控制器的設(shè)計(jì)。最后分析了PID控制器不能采用雙線性變換法離散的原因。

【關(guān)鍵詞】PID控制器；雙線性變換法；微分環(huán)節(jié)

0 引言

PID控制器問(wèn)世至今已有近70年歷史，它以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依據(jù)經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試來(lái)確定，這時(shí)應(yīng)用PID控制技術(shù)最為方便。即當(dāng)我們不完全了解一個(gè)系統(tǒng)和被控對(duì)象﹐或不能通過(guò)有效的測(cè)量手段來(lái)獲得系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，最適合用PID控制技術(shù)。

隨著數(shù)字化的發(fā)展，對(duì)PID控制器的各種離散方法的層出不窮，各種離散方法都有本身的優(yōu)點(diǎn)和局限性，本文就其采用雙線性變換法離散存在的問(wèn)題進(jìn)行分析，從而得出PID控制器不能采用雙線性變換法離散的原因所在。

1 PID控制器及雙線性變換法

該系統(tǒng)是一個(gè)I型系統(tǒng)，所以當(dāng)輸入為階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。由于PID 控制器中的積分環(huán)節(jié)I為系統(tǒng)提供一個(gè)位于原點(diǎn)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，提高系統(tǒng)型別保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能良好，超調(diào)量σ%=0，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=3.4s，上升時(shí)間tr=2.9s。

可見(jiàn)采用雙線性變換后，系統(tǒng)在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)輸出量很小，系統(tǒng)輸出經(jīng)一段時(shí)間后上下擾動(dòng)加劇，并隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，這種擾動(dòng)的幅值不斷擴(kuò)大，嚴(yán)重破壞系統(tǒng)的性能，最后使系統(tǒng)崩潰。

3 PID控制器采用雙線性變換法離散存在的問(wèn)題分析

PID控制器實(shí)際上是由比例環(huán)節(jié)P，積分環(huán)節(jié)I，微分環(huán)節(jié)D疊加構(gòu)成。那么究竟是其中哪一個(gè)環(huán)節(jié)使得輸出產(chǎn)生如此劇烈的振蕩，顯然，比例環(huán)節(jié)不可能使系統(tǒng)隨時(shí)間發(fā)散，它只會(huì)改變系統(tǒng)增益。因此，分別只采用單個(gè)積分或微分環(huán)節(jié)進(jìn)行離散化后觀察系統(tǒng)性能，以此找出產(chǎn)生振蕩的原因。

當(dāng)只采用積分環(huán)節(jié)時(shí)，D（s）=，D（z）=，G（z）=。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4所示：

從圖4及5可以看出，當(dāng)只采用積分環(huán)節(jié)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，超調(diào)量σ%=31，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=11.6s，上升時(shí)間tr=1.3s。積分環(huán)節(jié)只改變了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能變差，但沒(méi)有改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。而微分環(huán)節(jié)的控制器卻使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，動(dòng)態(tài)性能變得極差。系統(tǒng)的輸出經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后擾動(dòng)幅值不斷加劇，最終會(huì)使整個(gè)系統(tǒng)完全崩潰。

即σ2+ω2<1。這相應(yīng)于Z平面單位圓內(nèi)部。因此，雙線性變換將S平面上整個(gè)左半平面映射到Z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)部（這是Z平面上的穩(wěn)定區(qū)）。同理可知雙線性變換將S右半平面映射到單位圓外，將S平面上的虛軸映射到單位圓上（映射關(guān)系如圖6所示）[2-3] 。由于微分環(huán)節(jié)經(jīng)雙線性變換離散后，有一個(gè)z=-1的極點(diǎn)和一個(gè)z=1零點(diǎn)。z=-1的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)S平面上虛軸無(wú)窮遠(yuǎn)處，z=1的零點(diǎn)對(duì)應(yīng)S平面上原點(diǎn)。z=-1的極點(diǎn)使系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩曲線，同時(shí)z=1零點(diǎn)使系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量增大。所以，只采用微分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)輸出量很小，但系統(tǒng)輸出經(jīng)一段時(shí)間后上下擾動(dòng)加劇，并隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，這種擾動(dòng)的幅值不斷擴(kuò)大。

4 結(jié)論

因此，從上面仿真及原理性分析可知，采用雙線性變換法離散設(shè)計(jì)的數(shù)字PID控制器中真正使系統(tǒng)不穩(wěn)定的根源在于微分環(huán)節(jié)。所以，可以得出一般性的結(jié)論，即含微分環(huán)節(jié)的控制器不能采用雙線性法離散。

【參考文獻(xiàn)】

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[責(zé)任編輯：楊玉潔]