幾何、集合起碼常識(shí)暴露中學(xué)數(shù)學(xué)一系列重大錯(cuò)誤

【摘 要】人類5千年來一直認(rèn)定各已知自然數(shù)n與1等的和n+1等均是已知自然數(shù)。2300年初等幾何、中學(xué)幾百年解析幾何一直認(rèn)定：共過空間兩異位的直線必重合；共面平行直線之間只有重合與非重合兩種關(guān)系；R2平面中的直線的方程必可是a：y（x）=kx+b。然而幾何、集合起碼常識(shí)凸顯：一切已知自然數(shù)組成的N有元n的對(duì)應(yīng)n+1是N外自然數(shù)而無窮大倍于1等，直線A沿本身平移或伸縮后就≠A了從而使R2中能由方程a表示的直線的全體只是該面上直線全體的滄海一粟。將各異直線誤為同一線自然就會(huì)將各異直線段誤為同一線段，從而使康脫推出“直線段部分點(diǎn)可與全部點(diǎn)一樣多”。人類幾千年來一直認(rèn)定各已知正數(shù)x的對(duì)應(yīng)x+3均是已知正數(shù)，然而區(qū)間概念凸顯R有“更無理”元x的對(duì)應(yīng)x+3?R。發(fā)現(xiàn)幾百年函數(shù)“常識(shí)”：變域?yàn)镽+的x≥0的各對(duì)應(yīng)kx≥0（正常數(shù)k≠1）、xk≥0、...的變域均=R+等等，其實(shí)是違反集合、幾何起碼常識(shí)的重大錯(cuò)誤。

【關(guān)鍵詞】N外無窮大自然數(shù)及其倒數(shù)；假自然數(shù)集（列）；貌似重合的偽二重直線（段）；推翻百年自然數(shù)公理和百年集論；直線的伸長與縮短變換；一次方程及其圖像；著名數(shù)學(xué)家朱梧槚、王世強(qiáng)

1 不是只有外國人才有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)危機(jī)的敏銳洞察力——不能不重視著名數(shù)學(xué)家朱梧槚9年前重大發(fā)現(xiàn)

中國著名數(shù)學(xué)家王世強(qiáng)敢于實(shí)事求是地強(qiáng)烈推薦[1]書，肯定朱梧槚教授、博導(dǎo)“在數(shù)學(xué)方面...得到一系列重大成果?！保╗1]書序1）[1]書4頁：“朱梧槚的‘...等一系列重大發(fā)現(xiàn)表明整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)大廈已經(jīng)岌岌可危！這一切將預(yù)示著怎樣的數(shù)學(xué)危機(jī)？”。李醒民著《激動(dòng)人心的年代》75至76頁：“危機(jī)是科學(xué)革命的前夜，...。只有清醒認(rèn)識(shí)到危機(jī)和...，才有可能...。相反，看不到危機(jī)的根源和危機(jī)的嚴(yán)重性，就難以感覺到變革舊理論的必要性和緊迫性，至多只能在舊理論框架內(nèi)修修補(bǔ)補(bǔ)，甚至還會(huì)把別人所發(fā)現(xiàn)的觸及舊理論基礎(chǔ)的新現(xiàn)象、所提出的革命性的新概念和新理論當(dāng)作異端邪說加以反對(duì)?！敝煳鄻?、肖奚安、杜國平、宮寧生4位數(shù)學(xué)家先知先覺地敏銳洞察到數(shù)學(xué)中占統(tǒng)治地位的百年集論中的“無窮集都是自相矛盾的非集[2]”。此9年前重大發(fā)現(xiàn)被許多沒能“清醒認(rèn)識(shí)到危機(jī)”的人視為“怪論”。有人因這發(fā)現(xiàn)非發(fā)表在某“權(quán)威”雜志上而認(rèn)為其非重大發(fā)現(xiàn)?！耙哉撐陌l(fā)表處取文”與“以衣帽取人”一樣都是幼稚而不成熟的表現(xiàn)，“英雄不問出處”和“看文不看人、不看出處”才是正確的；俄羅斯一數(shù)學(xué)家獲百萬美元獎(jiǎng)的論文甚至沒發(fā)表在任何紙質(zhì)期刊上！

著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙著《數(shù)學(xué)的明天》3頁：“數(shù)學(xué)不像有些人宣傳那樣，存在‘?dāng)?shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)在一日千里地前進(jìn)。”人類認(rèn)識(shí)自然數(shù)已有5千多年。“科學(xué)”共識(shí)：數(shù)學(xué)，尤其是關(guān)于自然數(shù)列和最簡單、基本的圖形：射線和直線（段）方面的中學(xué)知識(shí)絕不會(huì)有重大錯(cuò)誤更談不上有一系列...；現(xiàn)代數(shù)學(xué)的嚴(yán)密精確性就如2×2=4那樣成為不容爭辯的事實(shí)；若有人聲稱憑中學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)“初等數(shù)學(xué)中的初等數(shù)學(xué)”有重大錯(cuò)誤從而讓5千年都無人能識(shí)的自然數(shù)和中學(xué)幾百年解析幾何一直未能識(shí)的直線（段）一下子暴露出來（若屬實(shí)則是數(shù)學(xué)有史5千年來的最重大革命發(fā)現(xiàn)），那就是將全世界幾千年來一屆屆的高中畢業(yè)生都當(dāng)成是沒思考能力的傻瓜了?！胺纯茖W(xué)”的神話般“太狂妄”發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯的：①幾何起碼常識(shí)c：相等的圖形必合同。②集合起碼常識(shí)d：若有序數(shù)集A=B則A的元與B的元必可由小到大一一對(duì)應(yīng)相等即有x?y=x（表A各元x均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)y∈B且B各元y均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)x∈A）；若A只可～B的真子集而不可～B則B的元必多于A的元。③區(qū)間概念。設(shè)R所有非負(fù)元x≥0組成R+。復(fù)變函數(shù)論一直認(rèn)定平面z=x+iy的正實(shí)軸z=x≥0在映射z′=z2下“變?yōu)檎龑?shí)軸z′=x2≥0”（非保距變換），因有中學(xué)幾百年函數(shù)“常識(shí)”：定義域?yàn)镽+的y=x2≥0的值域=R+；其實(shí)這是違反常識(shí)c、d從而使中學(xué)數(shù)學(xué)自相矛盾的肉眼直觀錯(cuò)覺。

2 點(diǎn)集相等、合同概念暴露中學(xué)幾百年解析幾何重大錯(cuò)誤：將無窮多各異直線誤為同一線

點(diǎn)（物體）x移動(dòng)到新位置成點(diǎn)x′還是移動(dòng)前的點(diǎn)（物體）即移動(dòng)前后的點(diǎn)只有位置差別而無別的差別。至少有兩元的點(diǎn)集甲保距變?yōu)辄c(diǎn)集乙就稱甲≌乙——表示甲與乙可通過保距變換而重合。因相等的圖形（點(diǎn)集）必合同故有

h定理1：至少有兩元的點(diǎn)集A經(jīng)一次變換變?yōu)锽，B=A的必要條件是該變換是保距變換即A≌B。

設(shè)本文所說變數(shù)都可形象化為沿一維空間“管道”G內(nèi)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)（可固定一下），n個(gè)變數(shù)可形象化為同在G內(nèi)的n個(gè)動(dòng)點(diǎn)?！凹疉各數(shù)（點(diǎn)）”說明A是數(shù)（點(diǎn)）集。與x相異或相等的數(shù)均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）。說R軸即x軸各元點(diǎn)x可沿軸前移變?yōu)辄c(diǎn)x+△x=x+3=X就是說R軸可沿軸正向保距平移距離3變?yōu)樵獮辄c(diǎn)X的X=x+3軸。其余類推。

h定理2：管道G內(nèi)x軸各點(diǎn)變換為還在G內(nèi)的點(diǎn)x+△x=X形成元為點(diǎn)X的X=X（x）軸，x軸=X軸的必要條件是|x|=|X|（x的變域是x軸）。

證：x軸各點(diǎn)x到位置x=0的距離是|x|，X軸各點(diǎn)X到x=0處的距離是|X|，若兩軸是同一軸則這兩距離必是同一距離函數(shù)即|X|=|x|。證畢。

h定理3：起點(diǎn)在同一位置W的兩射線（或直線段）A與B相等的必要條件是A各點(diǎn)到W處的距離（這是變量）與B各點(diǎn)到W的距離是同一距離函數(shù)（證：若A與B是同一點(diǎn)集則這兩距離必是同一變量）。

x軸的射線x≥-1沿軸正向平移變?yōu)樵獮辄c(diǎn)X=x+1≥0的射線X=x+1≥0（x≥-1），其與射線x≥0有共同起點(diǎn)：位置x=0。射線x≥0各點(diǎn)x≥0到位置x=0的距離是ρ1=x≥0， 射線X≥0各點(diǎn)X=x+1≥0到x=0處的距離是ρ2=X=x+1≥0（x≥-1），由ρ1≠ρ2知這兩射線不重合。

按“橡皮幾何學(xué)”觀點(diǎn)R2面是橡皮面而可彈性伸縮。z=x+yi面伸展成3z=3x+3yi=X+Yi面（XY面）使z面的子部：x軸和y軸隨之伸長變換成X=3x軸和Y=3y軸， x軸的射線x≥0伸長變換成射線X=3x≥0。

中學(xué)生須正確認(rèn)識(shí)定義域?yàn)镽或N的y=kx（正常數(shù)k≠1）和y=x+k等一次函數(shù)的值域。自有函數(shù)概念幾百年來一直公認(rèn)的中學(xué)“y=kx的值域=R”其實(shí)是違反幾何常識(shí)c和集合常識(shí)d的肉眼直觀錯(cuò)覺。R軸即x軸可伸縮變換為X=kx軸（正常數(shù)k≠1）即x軸各元點(diǎn)x可變?yōu)辄c(diǎn)x+△x=kx=X（從而有x?X=kx）生成元為點(diǎn)X的X=kx軸；x軸≠X=kx軸（即定義域?yàn)镽的X=kx的值域≠R）的理由：①伸縮變換是非保距變換即x軸不≌X軸——推翻舉世公認(rèn)2300年的公理：凡直線必合同；據(jù)h定理1x軸≠X軸。②|x|=|X|=|kx|（x的變域是x軸）不成立，據(jù)h定理2x軸≠X軸。③顯然在x?kx中當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)才可有x?kx=x。故中學(xué)解析幾何一直將X=x軸與用而不知的X=2x軸、X=x/2軸、...等無窮多各異軸誤為同一軸：X=x軸，繼而將無窮多各根本不同的相應(yīng)平面等誤為同一平面R2等。這自然就搞錯(cuò)了無窮多變量的變域。

“z=x+iy面的實(shí)軸z=x在映射z′=z+3下變?yōu)閷?shí)軸z′=z+3=x+3”的理論依據(jù)是中學(xué)幾百年函數(shù)“常識(shí)”：定義域?yàn)镽（即x軸）的X=x+△x=x+3的值域=R。其實(shí)這是違反集合常識(shí)d的肉眼直觀錯(cuò)覺。理由：①比x大（小）的數(shù)y可稱是在x前（后）面的數(shù)y?！癗各元n都有對(duì)應(yīng)自然數(shù)2n及2n+1等”。N={n}={0，1，2，3，...}各元n變大為自然數(shù)n+1組成H={n+1}={1，2，3，4，...}各元n+1與各nn都在n的前面；N各元n只能與各n+1中的n=0，1，2，...一一對(duì)應(yīng)相等。同樣，各元x均有對(duì)應(yīng)數(shù)x+3的R各元x保距變大為X=x+3生成元為X的R′各元x+3與R各元x不可一一對(duì)應(yīng)相等，因各x+3>x都在x的前面，R各x只能與各x+3中的x一一對(duì)應(yīng)相等。②x軸沿軸保距平移變?yōu)樵獮辄c(diǎn)X=x+3的X=x+3軸，|x|=|X|=|x+3|（x的變域是x軸）不成立，據(jù)h定理2x軸與X=x+3軸不重合即定義域?yàn)镽的X=x+3的值域≠R。

管道G內(nèi)點(diǎn)集是由一個(gè)個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)列。至少有兩元的點(diǎn)列A各點(diǎn)x沿G正（負(fù)）向保距前（后）移變成點(diǎn)x+△x≠x形成點(diǎn)列B不可還=A了，因各點(diǎn)x+△x都在點(diǎn)x的前（后）面從而使...。在x?x+常數(shù)△x中顯然當(dāng)且僅當(dāng)△x=0時(shí)才可有x?x+△x=x。

極顯然：任一無窮有序數(shù)集A各數(shù)x全都變大為y>x組成的集不能還是A了，因各y>x都在x的前面從而使...。一句話：集隨元的變換而變換，數(shù)集各數(shù)全都保序增大形成的新數(shù)集不能還是原集了。凡不合邏輯的理論必是不符合實(shí)際的錯(cuò)誤理論。

注：直線y（x）=0的定義域是x軸而直線y（3x）=0中自變量3x的變域是X=3x軸≠x軸，同樣...。

3 幾何、集合起碼常識(shí)讓5千年都一直無人能識(shí)的自然數(shù)一下子暴露出來——中學(xué)幾百年重大錯(cuò)誤：將無窮多假N誤為N

設(shè)兩不交且非空A、B的并集記為A+B=C。N各元n變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)n、-n組成{n、-n}={n}∪{-n}各元n、-n 與N={n}各元n不可一一對(duì)應(yīng)相等。N各元n一增為二地變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)2n、2n+1組成N′={0，1；2，3；…；2n，2n+1；...}=N嗎？幾百年“N′=N”其實(shí)是重大錯(cuò)誤。理由：

①保距變換的特點(diǎn)之一：一個(gè)點(diǎn)只能變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)。射線R+各點(diǎn)x≥0變?yōu)閮牲c(diǎn)：x≥0、-x生成R軸不是保距變換。同樣N各點(diǎn)n變?yōu)閮牲c(diǎn)2n、2n+1生成N′不是保距變換即N不≌N′，據(jù)h定理1N′≠N。

②N各元n變大為2n、2n+1（n=0變?yōu)閮蓴?shù)2n=0和2n+1=1是變大了）形成N′={2n，2n+1}={2n}+{2n+1}不能還是原集N了。在管道G內(nèi)有3個(gè)N成三重點(diǎn)集N∪N∪N={（n，n，n）}=N而由一組組三重點(diǎn)（n，n，n）組成，現(xiàn)其中一N各點(diǎn)n≥0沿G正向前移成點(diǎn)2n≥0（生成{2n}），另一N各點(diǎn)n≥0前移成點(diǎn)2n+1（生成{2n+1}），各前移點(diǎn)2n、2n+1與各不動(dòng)點(diǎn)n∈N顯然不可一一對(duì)應(yīng)重合在一起，因各前移距離≠0的點(diǎn)2n>0和2n+1都在點(diǎn)n>0的前面；各前移點(diǎn)欲與各不動(dòng)點(diǎn)n∈N一一對(duì)應(yīng)重合顯然就只能各自退回到原位。

③因n?（2n，2n+1）故無人能證N各元n與N′各元2n、2n+1能一一配對(duì)，正如若每人有兩支筆則人和筆不可一一配對(duì)一樣；據(jù)集合常識(shí)d由N不可～N′知N′的元多于N的元——說明N′中必有N外自然數(shù)。N′={2n，2n+1}={0，1；2，3；4，5；…；... }中0與各2n>0之間的數(shù)n均∈N′，各2n中的n∈N′的全體組成I={n}=N各元n與N各元n可一一對(duì)應(yīng)相等；鮮明對(duì)比的是無人能證I=N各元n與N′各元2n、2n+1能一一對(duì)應(yīng)相等。n>0被限制只能代表區(qū)間

Q=（0，2n+1）=（0，n]+（n，2n]+（2n，2n+1）

內(nèi)的自然數(shù)，當(dāng)Q中n遍取N一切正數(shù)n時(shí)Q中（0，n]就包含N一切正數(shù)n；據(jù)區(qū)間概念和2n+1>2n>n（n遍取N一切正數(shù)）的含義，此時(shí)Q中至少有一偶數(shù)2n=T∈N′在（0，n]外而>一切已知自然數(shù)n∈N——推翻中學(xué)5千年“常識(shí)”：無自然數(shù)能>N一切數(shù)（注：非標(biāo)準(zhǔn)分析也認(rèn)定各標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)n的對(duì)應(yīng)2n等均是標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)）；5千年不識(shí)這類用而不知的N外T使中學(xué)一直將N的真擴(kuò)集N′誤為N從而誤以為～N的{2n}?N，...。顯然T的倒數(shù)1/T<任何有窮正數(shù)ε是用而不知的無窮小正數(shù)。人類由認(rèn)識(shí)自然數(shù)到發(fā)現(xiàn)T竟須歷時(shí)5千多年！

同理，N各元n變?yōu)?個(gè)數(shù)3n、3n+1、3n+2組成N″={0，1，2；3，4，5；…；3n，3n+1，3n+2；...}的元3倍于N的元（下節(jié)更有力證明此事實(shí)）；N各n變?yōu)?個(gè)數(shù)4n、4n+1、4n+2、4n+3組成的集的元4倍于N的元；...；N′各元m=0，1，2，…變?yōu)?個(gè)數(shù)2m、2m+1組成{2m，2m+1}的元2倍于N′的元使其是假N；...——說明已知整數(shù)全體僅是整數(shù)全體的滄海一粟?？梢妿缀?、集合起碼常識(shí)和區(qū)間概念使持續(xù)幾百年的將無窮多假N誤為N的重大錯(cuò)誤“N=N′=N″=....”一下子暴露出來。真正建立在此重大錯(cuò)誤之上的理論必是錯(cuò)上加錯(cuò)的更重大錯(cuò)誤。

4 數(shù)列起碼常識(shí)、相等與區(qū)間概念凸顯：N有最大元，R有正數(shù)x的對(duì)應(yīng)x+3?R

h定理4：不含負(fù)數(shù)的數(shù)（點(diǎn)）集A與B相等的充分必要條件：A各元x到0的距離|x|=x=y（B各元y到0的距離）即x=y，若y=y（x）則y（x）=x是恒等變換式。

證：A（或B）各元x（或y）（非負(fù)數(shù)）到0的距離是變量x-0（或y-0），顯然若A與B是同一集則x與y必是同一距離變量即y=x。證畢。

數(shù)列起碼常識(shí)：無窮數(shù)列A={an}（其中各數(shù)相異）各數(shù)an均有序號(hào)數(shù)n與之配對(duì)而均在第n號(hào)位；A各數(shù)任意改變前后位置后就形成≠A的數(shù)列了，故A是由數(shù)與容納數(shù)的位置兩部分組成，A第n項(xiàng)有兩要素：an和與其配對(duì)的第n號(hào)位置。所以相應(yīng)各數(shù)與各位置序號(hào)數(shù)n一一配對(duì)才能構(gòu)成一數(shù)列。級(jí)數(shù)論的“黎曼更序定理”說明數(shù)列N={0，1，2，3，...}各數(shù)n可任意改變前后位置例{0，1，2，4，3，6，8，5，10，12，...}（不同位置有不同的數(shù)）還由N全部數(shù)與位置組成；同樣...。顯然應(yīng)有h邏輯學(xué)常識(shí)：N各數(shù)任意改變前后位置形成的數(shù)列的各數(shù)與N各位置還是已一一配對(duì)，所以無論怎樣改配對(duì)方案，在各新配對(duì)方案下構(gòu)成的新數(shù)列的各數(shù)都在N的位置內(nèi)。N={0，1，2，...}各數(shù)n都“坐”在n號(hào)位，一n前移“奪占”n′的座位的同時(shí)其原座位也變空，故被奪座位的數(shù)都可后移到空位內(nèi)。所以N各非0數(shù)n=1，2，3，…均可左移一格改與n-1號(hào)位配對(duì)，在這新配對(duì)方案下原在第0號(hào)位的0也必可有N的座位與其配對(duì)即0可右移到空位內(nèi)從而處在新數(shù)列（由N全部數(shù)與座位組成）各非0數(shù)n≥1的后面而在第n=Ω號(hào)位，詳論見[3]。據(jù)相等概念若A=N則A各元n與N各元n不論在何配對(duì)法則下都必可一一配對(duì)而不是只有在某特殊配對(duì)法則（例n?n）下才可，即不論如何配對(duì)都必能保證A=N每一元n都能配到“配偶”∈N。否則“相等”是不合邏輯的假象。所以在A=N各非0數(shù)n≥1都有配偶n-1（≥0）∈N（所有配偶n-1組成{n-1}）的同時(shí)A=N的0也必可按另一配對(duì)法則有配偶Ω∈N；顯然這{n-1}外的Ω∈N是N的最大元。凡不合邏輯的理論必是不符合實(shí)際的錯(cuò)誤理論。文[4]有一改天換地的改偶定理：

h定理5：各x與各y一一配對(duì)成一無窮“夫妻”數(shù)偶集F={（x，y）}內(nèi)“男、女”雙方中有“人”“喜新厭舊另結(jié)新歡”改配偶使有的人變成“單身”后，一方出多少個(gè)單身，對(duì)方也只能出多少個(gè)單身。

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新夫妻的各自原配偶x0與y0就成一對(duì)單身，一單身x0“再婚”就或使對(duì)方一單身也再婚或拆散一對(duì)夫妻（x1，y1）而生一新單身x1，...，沒別的可能。故F中非單身任意改配偶（新配偶必是F中人）后一方出n個(gè)單身的同時(shí)對(duì)方也只能出n個(gè)單身。證畢。

h定理6：若非空A～B?無窮集C=（C-B）+B則A不可～C；故C的任何真子集B～B?C都不可～C。

證：用反證法。假設(shè)A～C成立則在A、C雙方的元一一配對(duì)后再令A(yù)各元x都改與C中B～A的元y配對(duì)從而有x?y∈B后，A～B?C就有0個(gè)單身，據(jù)h定理5（改偶定理）C=（C-B）+B也只有0個(gè)單身，然而事實(shí)上（C-B）?C各元都是單身，故假設(shè)不成立。證畢。

所以“可～其真子集”的“無窮集”確實(shí)“都是自相矛盾的非集[2]”。

N各數(shù)n≥0的后繼n+1≥1的全體組成H={1，2，...，n+1，...}～N， 中學(xué)幾百年“H=N一切正數(shù)n≥1組成的N+={1，2，...，n≥1，...}?N”其實(shí)是將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列。理由：⑴據(jù)h定理6～N的H不是N的真子集N+?N。⑵N+各點(diǎn)n≥1到點(diǎn)n=0的距離是n≥1， H各點(diǎn)n+1（n≥0）到點(diǎn)n=0的距離n+1≥1與n≥1不是同一距離函數(shù)，據(jù)h定理4N+≠H。⑶顯然當(dāng)區(qū)間E=[0，n+1]=[0，n≥0]+（n，n+1]中的n≥0由小到大遍取N一切數(shù)n時(shí)E中[0，n]就包含N，據(jù)區(qū)間概念此時(shí)E中至少有一自然數(shù)n0+1（>n0∈N）∈H在[0，n]外而>N?E一切數(shù)n；顯然n0=Ω是N的最大元——其后繼Ω+1是N外數(shù)。極顯然：能由可變E中n代表的數(shù)的全體N之外還有自然數(shù)∈E。

N各元n變?yōu)閮蓴?shù)n、n+1組成S={n、n+1}各元n、n+1與N各元n∈S不可一一對(duì)應(yīng)相等，包含N一切數(shù)n的S≠N說明S中至少有一數(shù)n0+1（>n0∈N）在N外而>N一切數(shù)n；顯然n0=Ω是N的最大元——...。

不斷增元的集是變集。其項(xiàng)不斷由n個(gè)增加到n+1個(gè)的數(shù)列是變數(shù)列B：由{0}變到{0，1}變到{0，1，2}變到…，當(dāng)且僅當(dāng)其項(xiàng)不再增加而有末項(xiàng)時(shí)B才成固定數(shù)列N?！皩?shí)無窮”觀認(rèn)為可有包含無窮多個(gè)項(xiàng)的固定數(shù)列，但又?jǐn)喽ㄆ錄]末項(xiàng)；這顯然是不合邏輯的自相矛盾。所以“沒最大元”的“無窮集N”確是“自相矛盾的非集”。詳論見[3]。稍有一點(diǎn)頭腦的人都不否認(rèn)：既然N={0，1，2，...}是無窮數(shù)列，那當(dāng)然就有與0相隔寫不完的那么多（即無窮多）個(gè)自然數(shù)的自然數(shù)n，雖然永生不死的人也不可由0寫到此n，但此n卻是數(shù)列中的無窮大自然數(shù)，否則就不是無窮數(shù)列了。所以“無窮集N各數(shù)n都是有窮大自然數(shù)”中的N確是“自相矛盾的非集”。以非集為集的理論必是錯(cuò)上加錯(cuò)的更重大錯(cuò)誤。

R各元x變大為x、x+3>x組成C={x、x+3}=R∪{x+3}（非保距變換）不能還是原集 R了，據(jù)h定理1也得此結(jié)論。包含R的C≠R說明C中必有數(shù)x+3>x∈R在R外而>R一切數(shù)x。同樣R+-{0}=U各元x>0變小為x、x/20。可見有用而不知的正實(shí)數(shù)分別>和0推翻百年“R完備、封閉”論。

R+所有≥3的數(shù)x≥3組成A（中學(xué)記A=[3，∞））?R+。R+各元x≥0保距變大為X=x+3≥3組成元為X≥3的A′（現(xiàn)有數(shù)學(xué)記A′=[3，∞））～R+。問題是A≠A′！理由：① 據(jù)h定理6～R+的A′不是R+的真子集A?R+。②A各元x≥3到0的距離是變量x≥3而A′各元X=x+3≥3到0的距離是x+3≥3，據(jù)h定理4A≠A′。③z=x+yi面有射線z=x≥0和z=x≥3，射線z=x≥0可平移成射線z+3=x+3≥3，說射線z+3≥3與射線z≥3重合就是說兩射線的差別為0：z+3-z=0或z-（z+3）=0，即說±3=0——矛盾；④據(jù)h定理3起點(diǎn)在同一位置的射線z+3≥3與射線z≥3不重合。⑤當(dāng)區(qū)間K=[3，x+3）=[3，x]+（x，x+3=X）中的x≥3由小到大遍取A一切數(shù)x≥3時(shí)K就包含A?R+，據(jù)區(qū)間概念此時(shí)K外至少有一數(shù)X=x+3（>x∈A）∈A′大于A?R+一切數(shù)x≥3。對(duì)A任何（一切）元x≥3有區(qū)間q=[x，x+3）（x≥3遍取A一切數(shù)），注意到A中一個(gè)不漏的一切數(shù)都由q中x代表，故據(jù)區(qū)間集概念在各q=[x，x+3）（x≥3）外必有數(shù)X=x+3（∈A′）>A一切（任何）數(shù)x≥3。不識(shí)這類用而不知的R+外數(shù)X∈A′及其倒數(shù)使中學(xué)一直將兩異集例A與A′誤為同一集?？梢娏鱾鲙装倌晔故廊松钚挪灰傻闹袑W(xué)函數(shù)“常識(shí)”：“射線A=A′”其實(shí)是被偽二重射線迷惑。

物理學(xué)要知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)p在各時(shí)刻的速度就須研究p的非0位移，而這位移的長ρ須可<“任意給定”的正數(shù)ε，當(dāng)ε=普朗克長度數(shù)P時(shí)非0的ρ<ε就是

5 幾何起碼常識(shí)暴露xoy平面上有無窮多類直線的方程均非y（x）=kx+b——集合起碼常識(shí)凸顯直線y=2x≠直線y+3=2x+2（3/2）

h定理7：任一數(shù)集A=B的必要條件之一：A各元x到0的距離|x|=|y|（B各元y到0的距離）；若A、B的元分別是復(fù)數(shù)z1、z2則|z1|=|z2|。

證：如[5]所述A（或B）各元x（或y）到0的距離是變量|x|（|y|），顯然若A與B是同一集則|x|與|y|必是同一距離變量；A（或B）各元z1（或z2）到位置z=0的距離是|z1|（或|z2|），若A=B則|z1|與|z2|必是同一距離變量。證畢。

射影幾何學(xué)有線束概念：過一定點(diǎn)a的直線繞a旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圖形稱為線束。中學(xué)生就要求直線y（x）=kx繞點(diǎn)x=y=0旋轉(zhuǎn)變成斜率為k+△k的新直線的方程，幾百年解析幾何一直認(rèn)定：方程必是y=（k+△k）x，R2面上過位置x=y=0的一切直線（⊥x軸的直線除外）的方程必是關(guān)于x、y的方程y=kx，斜率相同且過點(diǎn)x=y=0的直線必重合相等；其實(shí)這是違反幾何、集合起碼常識(shí)的“以井代天”錯(cuò)誤。

R軸的射線R+各元x≥0保序變?yōu)閤+△x=kx（正常數(shù)k≠1）≥0（非恒等變換）組成的集可記為kR+，據(jù)h定理4kR+≠R+。射線R+各元x≥0變?yōu)閤+△x=y=xn（n≥2）≥0組成元為y的J（非恒等變換也非保距變換），據(jù)h定理4或h定理1J≠R+；同樣...。所以中學(xué)幾百年“定義域?yàn)镽+的X=kx≥0的值域=R+”、“J=R+”等等，其實(shí)是違反幾何常識(shí)c的一系列肉眼直觀錯(cuò)覺。

將兩異射線誤為同一線自然就會(huì)將兩異直線段誤為同一線段，從而使康脫推出病態(tài)的“直線段部分點(diǎn)可與全部點(diǎn)一樣多”。線段D=[0，1]?射線R+各點(diǎn)x（非負(fù)數(shù)）變?yōu)辄c(diǎn)X=x+△x=xk（正常數(shù)k≠1）≥0組成元為點(diǎn)xk（0≤xk≤1）的D′覆蓋在D上是非恒等變換也非保距變換，據(jù)h定理4或h定理1 D′≠D；...。線段Z′=[0，2]?R+的子部D=[0，1]?Z′各點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)X=x+△x=2x∈2R+≠R+生成元為點(diǎn)X=2x的線段Z=[0，2]（～D）?2R+覆蓋在Z′上。Z′各點(diǎn)x到點(diǎn)x=0的距離是變量x，Z各點(diǎn)X=2x到點(diǎn)X=2x=0的距離是2x≠x，據(jù)h定理4或h定理3等長的Z′與Z不相等，是偽二重線段；據(jù)h定理6～D?Z′的Z≠Z′。同樣....。但限于篇幅本文無法詳談。

z=x+iy面的實(shí)軸z1=x繞其中心點(diǎn)z=0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角成斜率為k=tanθ的直線z2=z1（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=X+iY（Y/X=tanθ）即直線Y=tanθX=kX（0<θ<1800）（保距變換），直線z1=x各點(diǎn)z1=x+i0的高度（可<0）均由y=0變?yōu)閥=kx生成斜率為k的直線z3=x+ikx即y=kx是不保距變換，使直線z3不≌x軸從而也不≌直線z2；中學(xué)解析幾何一直認(rèn)定直線y=kx與直線Y=kX重合，其實(shí)這是違反幾何常識(shí)c的重大錯(cuò)誤。理由：①|(zhì)z3|=（x2+（kx）2）1/2=|x|（1+k2）1/2≠|(zhì)z2|=|x|，據(jù)h定理7直線z3≠直線z2；②據(jù)h定理1由直線z3不≌直線z2也得此結(jié)論。③兩線各點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與X=xcosθ不可一一對(duì)應(yīng)相等說明兩線不相等。④直線z3即直線y=kx在x軸的正投影是x軸（即y=kx的定義域是x軸）而直線z2=X+iY即直線Y=kX在x軸的正投影是X=xcosθ軸（即Y=kX的定義域是X=xcosθ軸）≠x軸——說明直線Y=kX≠直線y=kx。

z面上直線y=kx即z3=x+ikx伸縮變換為直線az3=ax+iakx（伸縮系數(shù)a≠1可取無窮多正數(shù)）≠直線z3的理由：①兩線各點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 與ax不可一一對(duì)應(yīng)相等說明兩線不相等。②直線z3=x+ikx在x軸的正投影是x軸而直線az3=ax+iakx=X+iY在x軸的正投影是X=ax軸≠x軸——說明兩線不相等。③|z3|≠|(zhì)az3|，據(jù)h定理7直線z3≠直線az3。④伸縮變換是非保距變換，據(jù)h定理1直線z3≠直線az3。

同理可證直線z3=x+ikx沿本身伸縮平移成直線z′=az3+c（覆蓋在直線z3上）≠直線z3，其中實(shí)常數(shù)a>0是伸縮因子，復(fù)常數(shù)c=b+ikb≠0是平移因子；顯然在點(diǎn)z3?點(diǎn)az3+c中當(dāng)且僅當(dāng)a=1、c=0時(shí)才可有點(diǎn)z3?點(diǎn)az3+c=z3。

直線y=x即直線z4=x+ix繞點(diǎn)z=0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角（0<θ<1350且θ≠450）成斜率為k=tan（450+θ）的直線z5=z4eiθ=（x+ix）（cosθ+isinθ）=x（cosθ-sinθ）+ix（sinθ+cosθ）=X+iY，Y=kX（保距變換）。直線y=x各點(diǎn)的高度均由y=x變?yōu)閥=kx生成直線y=kx（不保距變換）在x軸的正投影是x軸，而直線Y=kX在x軸的正投影是X=x（cosθ-sinθ）軸≠x軸——說明直線y=kx≠直線Y=kX；據(jù)h定理1或h定理7 也得此結(jié)論。

可見z面上過位置z=0且斜率為k的直線有無窮多條，而中學(xué)幾百年解析幾何一直只識(shí)其中的一條直線y=kx即z3=x+ikx，且將無窮多各異直線誤為同一線：直線z3。同樣...——說明已知直線全體僅是直線全體的滄海一粟。

c是非0實(shí)常數(shù)，直線L1：y（x）=kx（k≠0）沿本身保距平移變?yōu)樵獮辄c(diǎn)（X，Y）的直線L2：

y+c=kx+k（c/k）=k（x+c/k）即Y=kX

疊壓在L1上。L1≠L2的理由：①L1在x軸的正投影是x軸而L2在x軸的正投影是X=x+c/k軸≠x軸。②兩線各點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與Y=y+c不可一一對(duì)應(yīng)相等說明兩線不相等，雖然兩線有無窮多公共點(diǎn)即相應(yīng)的兩個(gè)二元一次方程組成的聯(lián)立方程組有無窮多組解。其余理由略。

6 結(jié)束語

錯(cuò)誤的基礎(chǔ)教育會(huì)使受教育者打歪成才的基礎(chǔ)。破除迷信、解放思想、實(shí)事求是才能創(chuàng)造幾千載難逢的神話般世界奇跡使數(shù)學(xué)發(fā)生革命飛躍：從以井代天的“井底”誤區(qū)一下子躍出從而不再被蒙在“井”里。目光太短淺、視野太狹窄的井底數(shù)學(xué)一直被無窮對(duì)象的假象迷惑從而將違反幾何、集合起碼常識(shí)的假無窮集誤為無窮集，“井”外數(shù)學(xué)才能用無窮大整數(shù)定量描述真正無窮集有多少個(gè)元，才能看到各固定射線均有固定長度從而應(yīng)有表示其長度的無窮大數(shù)。詳論見[5]。王前：“當(dāng)代數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾預(yù)言：21世紀(jì)將是中國數(shù)學(xué)界在世界上發(fā)揮重大影響的世紀(jì)[6]”。

備注：已對(duì)本文采取法律公證等法律保護(hù)措施。

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[責(zé)任編輯：湯靜]